La fórmula de la cuota explicada — y por qué alargar el plazo beneficia sobre todo al prestamista

Qué hace realmente cada letra de la fórmula

C = P·i·(1+i)^n ÷ ((1+i)^n − 1) parece arbitraria hasta que se ve de dónde sale. Un préstamo es un intercambio: el prestamista entrega P hoy, el prestatario devuelve n pagos iguales. Para que el intercambio sea justo al tipo pactado, el valor actual de esos n pagos debe igualar a P. Descontar un pago constante C durante n periodos da C·(1 − (1+i)^−n) ÷ i; igualar eso a P y despejar C produce la fórmula. Cada término cumple una función: (1+i)^n mide cuánto crece una unidad monetaria en todo el plazo, el numerador cobra intereses sobre el capital entero y el denominador reparte esa carga entre las cuotas.

La trampa es i. Es el tipo periódico, no el anual, y en casi todo contrato de consumo vale el tipo nominal anual dividido entre 12, no la raíz doceava de uno más el tipo anual. En un préstamo al 6 %, i vale exactamente 0,005. Ese convenio implica que el tipo efectivo anual queda algo por encima del anunciado — 1,005 elevado a doce da 1,0617, o sea 6,17 % — lo que explica en parte que una TAE rara vez coincida con el tipo nominal del mismo contrato. Equivócate en i usando el tipo anual, o en n usando años en vez de meses, y el resultado no queda algo desviado: es otro préstamo.

Doblar el plazo gana un 29 % y cuesta un 123 %

La cuota no es proporcional al plazo, porque los intereses se componen. Estira 300 000 € al 6 % de 15 a 30 años y la cuota baja de 2 532 € a 1 799 € — un 29 % menos por el doble de compromiso. Los intereses totales, en cambio, suben de 155 683 € a 347 515 €, un 123 % más. La razón se lee en la fórmula: cuando n crece, (1+i)^n crece con él, de modo que numerador y denominador se inflan a la vez y el cociente se aplana. Pasado cierto punto la cuota tiende a ser solo el interés sobre el capital — 1 500 € al mes aquí — y ningún alargamiento la baja más.

La forma más limpia de ver qué es realmente el plazo largo: quien firma a 30 años conserva 733 € al mes que el de 15 años no tiene, durante 180 meses, o sea 131 925 € de liquidez adicional. Después, del año 16 al 30, paga 180 cuotas de 1 799 € que el otro no paga, o sea 323 757 €. Resta una de otra y salen 191 832 € — exactamente el exceso de intereses. No se creó nada: se compraron 131 925 € de holgura de tesorería al precio de 323 757 € de pagos posteriores. Que sea buen negocio depende por completo del uso de ese dinero liberado. Si renta más del 6 % neto de impuestos, gana el plazo largo; si financia gasto corriente, no.

Por qué los primeros años parecen no cambiar nada

Como los intereses se calculan sobre el capital pendiente, el reparto dentro de una cuota constante se desplaza mes a mes. La primera cuota del préstamo a 30 años son 1 500 € de intereses y 299 € de capital: el 83 % nunca toca la deuda. En la versión a 15 años, esos mismos 1 500 € de intereses van dentro de una cuota de 2 532 €, así que el 59 % va a intereses y 1 032 € al capital desde el primer mes. Esa única diferencia de estructura resume toda la tabla anterior.

Despliega el cuadro de amortización a 30 años y el efecto es brutal. A los diez años el prestatario ha pagado 215 838 € — más de dos tercios de lo prestado — y todavía debe 251 057 €. Solo se han ido 48 943 € de capital; 166 895 € fueron a intereses. El capital no se reduce a la mitad hasta el mes 252, veintiún años dentro de un plazo de treinta. En el préstamo a 15 años ese punto medio llega en el mes 110, a los nueve años y dos meses. Por eso un tropiezo de pago tardío en un plazo largo es tan peligroso: el patrimonio que permitiría refinanciar o vender para salir aún no se ha formado.

Preguntas frecuentes

¿La cuota incluye impuestos, seguro y comisiones?

No. La fórmula devuelve solo capital e intereses. El impuesto sobre el inmueble, los seguros de hogar y de vida, las comisiones de garantía, los gastos de cuenta y cualquier comisión de apertura quedan fuera, y en una hipoteca pueden añadir una quinta parte o más a lo que realmente sale de tu cuenta cada mes. También alteran el coste efectivo del crédito: por eso la TAE — que incorpora los gastos obligatorios — es la cifra con la que comparar ofertas, no la cuota. Pide a cada entidad el coste total del crédito junto al importe mensual.

¿Por qué la cifra de mi banco difiere de la fórmula en unas pocas unidades?

Tres cosas explican casi todas las diferencias pequeñas. Primera, el redondeo: las entidades redondean la cuota al céntimo o a la unidad y absorben el resto en la última, que suele ser algunas unidades mayor o menor que las demás. Segunda, la base de cálculo: algunos contratos devengan intereses por días reales en vez de por doceavos, de modo que un mes de 31 días cuesta algo más que uno de 30. Tercera, comisiones incorporadas a la cuota — una prima de seguro mensual o gastos de cuenta — que la fórmula nunca ve. Diferencias de unas unidades son normales; diferencias de decenas significan que comparas dos tipos o dos plazos distintos.

¿Qué reduce más los intereses: un plazo más corto o un tipo más bajo?

En este préstamo son casi equivalentes, y es una sorpresa útil. Reducir el plazo a la mitad, de 30 a 15 años al 6 %, lleva los intereses de 347 515 € a 155 683 €, un ahorro de 191 832 €. Reducir el tipo a la mitad, del 6 % al 3 % manteniendo 30 años, los deja en 155 332 €, un ahorro de 192 183 € — a 351 € del anterior. La diferencia práctica es que el plazo se elige y el tipo casi nunca, y que el plazo corto exige 733 € más cada mes mientras el tipo bajo no exige nada. Si hay una bajada de tipo accesible mediante subrogación, tómala y conserva el plazo; si no, el plazo es la única palanca que controlas.