Una sola multiplicación cruzada detrás de seis problemas distintos

Las unidades deciden qué disposición es válida

Cuatro números pueden disponerse en proporción de varias maneras, y solo algunas significan algo. Manzanas sobre precio igual a manzanas sobre precio es válido; manzanas sobre precio igual a precio sobre manzanas son cuatro números con la forma correcta y el orden equivocado, y devuelve una cifra sin interpretación. La salvaguarda es escribir las unidades junto a cada valor antes de resolver y comprobar que la misma unidad ocupa la misma posición a ambos lados. Hazlo una vez y la disposición se impone sola, lo que quita la conjetura que hace parecer estos problemas más difíciles de lo que son.

Una escala de mapa es una razón sin unidades

1:25.000 significa que una unidad cualquiera sobre el papel vale veinticinco mil de la misma unidad sobre el terreno: por eso la notación no lleva unidad y funciona igual en centímetros, en pulgadas o en milímetros. Cuatro centímetros pasan a 100.000 centímetros, y llevar eso a kilómetros es una segunda conversión aparte — dividir entre 100 para los metros y otra vez entre 1.000 para los kilómetros. Separar los dos pasos es lo que evita el error clásico de dividir entre 100.000 de una vez, que da una respuesta cien veces menor y parece plausible en un mapa de senderismo.

Preguntas frecuentes

¿Por qué funciona la multiplicación cruzada?

Es un paso de álgebra corriente al que se le ha puesto nombre. Parte de a ÷ b = c ÷ x, multiplica ambos lados por b y luego por x — operación que no cambia nada, ya que los dos lados reciben el mismo trato — y las fracciones desaparecen, dejando a × x = b × c. Dividir después por a despeja x. Nada se cruza y no interviene ninguna regla especial; las flechas diagonales son una ayuda de memoria para dos multiplicaciones que siempre estuvieron permitidas.

¿Puede una proporción tener un cero?

En el denominador, nunca — una razón con cero debajo no está definida, y toda calculadora que devuelva un valor ahí esconde una división por cero. En el numerador es lícito pero suele carecer de sentido en el problema modelado: cero manzanas por cinco unidades de dinero dice que el precio no está definido, no que valga cero, puesto que no se compró nada. Donde un cero puede aparecer legítimamente, la proporción es el modelo equivocado y una ecuación lineal con ordenada en el origen es el correcto, porque las relaciones proporcionales son precisamente las que pasan por el origen.