Capabilité d'un procédé : Cp, Cpk et ce que le Six Sigma affirme vraiment

Le Cp : la tolérance face à la dispersion

Le Cp est un rapport de deux largeurs. Le numérateur est la largeur de la tolérance, LSS − LSI, la place que le plan te laisse. Le dénominateur est 6σ, la largeur qu'occupe le procédé — six écarts types, car ±3σ couvre 99,73 % d'une loi normale et 6σ est le raccourci conventionnel pour « tout le procédé ». Donc Cp = (LSS − LSI) ÷ 6σ, et il répond à une seule question : ce procédé tiendrait-il dans cette tolérance s'il était parfaitement visé ? Un Cp de 1,00 signifie que le procédé remplit exactement la tolérance sans marge. Un Cp de 1,33 signifie que la tolérance est un tiers plus large que ce dont le procédé a besoin.

Faisons-en un. Un arbre est spécifié entre 9,80 et 10,20 millimètres — une largeur de tolérance de 0,40 — et le procédé a un écart type de 0,05 millimètre. Cp = 0,40 ÷ (6 × 0,05) = 0,40 ÷ 0,30 = 1,333. Note bien ce qui n'est pas entré dans ce calcul : la moyenne. Le Cp est aveugle à la cible visée, et toutes les conséquences de cet article découlent de cet aveuglement.

Le Cpk : la pénalité du décentrage

Le Cpk répare cet aveuglement en mesurant chaque côté séparément et en gardant le plus mauvais. Cpk = min[(LSS − μ) ÷ 3σ, (μ − LSI) ÷ 3σ]. Le 3σ de chaque dénominateur est la moitié du 6σ du Cp, car chaque terme mesure désormais un côté de la distribution et non son ensemble. Quand le procédé est exactement au milieu de la tolérance, les deux termes sont égaux et le Cpk vaut le Cp. Toute dérive hors du milieu rend un terme plus petit, si bien que le Cpk est toujours inférieur ou égal au Cp, et l'écart entre les deux mesure purement le décentrage.

Le couple mérite d'être gardé ensemble car il répond à deux questions de management différentes. Le Cp demande si la machine et la méthode sont capables tout court — si la variation est assez faible pour la pièce. Le Cpk demande si le procédé est correctement réglé en ce moment. Un Cp faible est un problème d'ingénierie : il faut une meilleure machine, un meilleur montage ou une méthode plus serrée. Un Cp élevé avec un Cpk faible est un problème de réglage : l'équipement en est capable, il suffit que quelqu'un déplace la visée, ce qui est généralement rapide et peu coûteux.

Même dispersion, 359 fois plus de rebut

Prends la même tolérance et le même σ = 0,05, donc un Cp de 1,333 dans les deux cas, et fais-y passer deux moyennes. Centré sur 10,00, chaque limite se trouve à (0,20 ÷ 0,05) = 4 écarts types, donc Cpk = 4 ÷ 3 = 1,333, égal au Cp. La fraction hors tolérance vaut Φ(−4) de chaque côté, soit 31,671 par million par queue et 63,34 par million au total — une pièce sur 15 787.

Déplace maintenant la moyenne à 10,10, deux écarts types plus haut, sans toucher à la dispersion. Le Cp vaut toujours 1,333 — le procédé est exactement aussi serré qu'avant. Mais la limite supérieure n'est plus qu'à (10,20 − 10,10) ÷ 0,05 = 2 écarts types tandis que l'inférieure est à 6, donc Cpk = min(2 ÷ 3, 6 ÷ 3) = 0,667. Le taux de rebut vaut Φ(−2) au-dessus de la limite haute, soit 22 750,13 par million, plus un Φ(−6) = 0,000987 par million parfaitement négligeable en dessous de la limite basse. Total : 22 750 défauts par million, 2,275 %, une pièce sur 44.

C'est là toute la raison d'être des deux indices. Deux procédés au Cp identique de 1,333 — machines identiques, variation identique, capabilité identique au sens de l'ingénierie — produisent 63 défauts par million et 22 750 défauts par million, un facteur 359. Un rapport de capabilité qui ne cite que le Cp ne t'a rien dit du rebut. Si tu ne dois regarder qu'un nombre, regarde le Cpk ; si tu dois agir, regarde les deux, car ils désignent des corrections différentes.

3,4 par million, et la dérive de 1,5σ qui le produit

« Six sigma » comme niveau de qualité signifie que la limite de tolérance la plus proche se trouve à six écarts types de la moyenne, soit, pour un procédé centré, un Cp et un Cpk de 2,00. Calcule directement le taux de défaut depuis la loi normale et tu obtiens 2 × Φ(−6) = 0,00197 défaut par million. Soit environ deux pièces par milliard. Ce n'est pas 3,4, et ce n'est pas proche de 3,4 — les deux chiffres diffèrent d'un facteur 1 722.

Le 3,4 vient d'une hypothèse ajoutée. La convention veut qu'une moyenne de procédé ne reste pas en place : au fil des heures, des équipes, des changements d'outil et des lots de matière, elle dérive, et la tolérance admise pour cette dérive à long terme est de 1,5σ. Suppose la moyenne à 1,5σ de la cible et la limite proche n'est plus qu'à 6 − 1,5 = 4,5 écarts types. Calcule cette queue : Φ(−4,5) = 3,398 par million. La limite éloignée est désormais à 7,5σ et contribue pour 0,0000000319 par million, c'est-à-dire rien. Le nombre vaut donc 3,398, cité comme 3,4 défauts par million d'opportunités. C'est arithmétiquement exact — la dérive étant admise.

La même convention réécrit tout le tableau. À trois sigma, la loi normale centrée donne 2 699,80 défauts par million ; avec la dérive, 66 810,6, vingt-cinq fois plus. À quatre sigma, 63,34 devient 6 209,68. À cinq sigma, 0,573 devient 232,6. L'écart croît avec le niveau sigma parce qu'on retire un 1,5σ fixe à une queue de plus en plus raide. C'est pourquoi la dérive compte le plus là précisément où les arguments commerciaux sont les plus sonores.

D'où vient la dérive, et à quel point elle est contestée

La tolérance de 1,5σ n'est pas issue de la mesure d'un procédé particulier. Elle descend de travaux de tolérancement statistique des années 1970 — la règle empirique de Bender pour le cumul des tolérances prévoyait un facteur pour le fait que les moyennes se déplacent — et elle a été adoptée chez Motorola dans les années 1980 comme correction standard entre la capabilité à court terme, mesurée sur une série de pièces consécutives, et la performance à long terme sur des semaines de production. L'intention était raisonnable : une étude de capabilité menée en une équipe, avec un opérateur et une barre de matière, sous-estime réellement la variation que verra le client.

Ce qui est contesté, c'est l'universalité du nombre. Rien n'oblige un procédé continu bien maîtrisé à dériver d'exactement 1,5σ, ni un procédé par lots mal maîtrisé à ne dériver que de cela. Les justifications statistiques de 1,5 comme valeur générale — y compris la plus connue, qui la déduit de la probabilité qu'une carte de contrôle sur petits sous-groupes ne détecte pas un décalage de cette taille — sont des constructions a posteriori, et la littérature qualité en débat depuis des décennies. Traite 1,5σ pour ce que c'est : une convention documentée qui rend comparables les niveaux sigma publiés, non une propriété empirique de ton procédé.

La conséquence pratique est une règle d'étiquetage. Tout niveau sigma ou chiffre DPMO devrait porter la mention « avec dérive de 1,5σ » ou « sans », car les deux diffèrent de trois ordres de grandeur au niveau six sigma. Côté indices, c'est la même distinction qu'entre Cp et Cpk d'une part, Pp et Ppk d'autre part : le premier couple utilise conventionnellement une estimation de σ intra-sous-groupe et décrit la capabilité à court terme, le second utilise l'écart type total de toutes les données et décrit la performance réellement livrée.

Trente pièces ne font pas une étude de capabilité

Tous les chiffres ci-dessus supposaient σ connu. Il ne l'est pas : il est estimé sur un échantillon, et l'estimation est bien plus bruitée qu'on ne le croit. Comme (n − 1)s² ÷ σ² suit une loi du khi-deux, un intervalle de confiance à 95 % pour le Cp va de Ĉp × √(χ²₀,₀₂₅,ₖ ÷ k) à Ĉp × √(χ²₀,₉₇₅,ₖ ÷ k) avec k = n − 1 degrés de liberté. À n = 30, ces multiplicateurs valent 0,7439 et 1,2556, donc un Cp mesuré à 1,333 donne un intervalle de 0,992 à 1,674.

Traduis les deux bornes en rebut et le problème devient visible. Un procédé centré à Cp = 0,992 produit 2 920,35 défauts par million ; à Cp = 1,674, il en produit 0,511. C'est la même mesure compatible avec des taux de défaut séparés d'un facteur 5 711. Augmenter l'échantillon aide, mais lentement : à n = 50 l'intervalle va de 1,070 à 1,596, à n = 100 de 1,148 à 1,519 — encore un rapport de 110 sur le taux de défaut — à n = 200 de 1,202 à 1,464 et à n = 500 de 1,251 à 1,416.

Un indice de capabilité calculé sur trente pièces doit donc être publié avec son intervalle, ou pas publié du tout, et l'usage consistant à accepter un procédé sur un seul Ĉpk de 1,33 issu d'une série de trente pièces constitue une preuve plus faible qu'il n'y paraît. Rappelons aussi qu'une série courte sous-estime la variation pour une seconde raison, distincte : trente pièces consécutives partagent un opérateur, un outil, un réglage et un lot de matière ; elles mesurent donc la variation intra-sous-groupe et ne disent rien de la variation inter-sous-groupes que le client rencontrera.

Tout cela suppose la normalité — donc teste-la

Convertir un indice de capabilité en taux de défaut utilise la loi normale, et chaque chiffre en ppm de cet article — y compris le fameux 3,4 — ne vaut que ce que vaut cette hypothèse. L'ennui est que les indices de capabilité vivent dans les queues extrêmes, précisément là où les lois diffèrent le plus et là où l'on a le moins de données pour les vérifier.

Chiffre un écart léger. Prends une loi de Student remise à l'échelle pour avoir exactement le même écart type, donc le même Cp, et calcule la queue au-delà de six écarts types. À 30 degrés de liberté — un excès d'aplatissement de 0,2, à peine détectable — la queue vaut 0,3875 par million contre 0,000987 pour la normale, soit 393 fois plus lourde. À 10 degrés de liberté, 26,55 par million, 26 900 fois plus lourde. À 5 degrés de liberté, 286,6 par million, environ 290 000 fois plus lourde. Une loi que tu aurais du mal à rejeter avec cent points de données détruit l'estimation que tu as bâtie dessus.

Fais donc trois choses avant de publier un chiffre de capabilité. Confirme que le procédé est stable, carte de contrôle à l'appui, car un indice calculé sur un procédé hors contrôle ne décrit rien. Teste la distribution au lieu de la supposer, et si elle est réellement dissymétrique — comme le sont d'ordinaire planéité, circularité, concentricité et toute caractéristique bornée à zéro — utilise les indices fondés sur les percentiles définis pour les données non normales dans la série ISO 22514 plutôt que de forcer un ajustement normal. Et publie le Cpk avec son intervalle de confiance et sa taille d'échantillon, pour que le lecteur suivant sache ce qui relève de la mesure et ce qui relève du bruit.

Questions fréquentes

Le Cpk peut-il dépasser le Cp ?

Jamais. Le Cpk retient la plus petite des deux distances à une limite et la divise par 3σ, tandis que le Cp divise la demi-largeur de tolérance par 3σ. Quand le procédé est exactement centré, les deux distances sont égales et le Cpk vaut le Cp ; toute dérive en rend une plus petite. Donc Cpk ≤ Cp toujours, et si un rapport affiche un Cpk supérieur au Cp, il y a une erreur de calcul ou les deux ont été calculés sur des données différentes. L'écart entre les deux est à lui seul une mesure propre du décentrage.

Quelle différence entre Cp/Cpk et Pp/Ppk ?

Les formules sont identiques ; l'estimation de σ ne l'est pas. Le Cp et le Cpk utilisent par convention une estimation intra-sous-groupe — à partir de l'étendue moyenne ou de l'écart type moyen de petits sous-groupes rationnels — qui ne capte que la variation présente sur quelques pièces consécutives. Le Pp et le Ppk utilisent l'écart type global de toutes les données, qui contient aussi la dérive entre sous-groupes, les changements d'outil et les lots de matière. Le Cp et le Cpk décrivent donc la capabilité à court terme et le Pp et le Ppk la performance livrée, écart que la convention de dérive de 1,5σ a précisément été inventée pour combler.

3,4 défauts par million sont-ils réellement atteignables ?

C'est une cible définie, non une constante physique, et son caractère atteignable dépend entièrement de la caractéristique. Ce que ce nombre ne peut pas faire, c'est être vérifié par la mesure dans la plupart des usines : démontrer un taux de 3,4 par million avec un minimum de confiance exige des centaines de milliers de pièces ; en pratique, il est donc toujours déduit d'un indice de capabilité et jamais observé. Compte tenu des intervalles de confiance du Cpk aux tailles d'échantillon réalistes, cette déduction porte bien plus d'incertitude que ne le suggère un chiffre à deux décimales.

Combien de pièces faut-il pour une étude de capabilité ?

Plus que les trente que suggère l'usage, et la bonne façon de choisir est de décider de la largeur d'intervalle acceptable. À n = 30, un Cp mesuré à 1,333 porte un intervalle à 95 % de 0,992 à 1,674 ; à n = 100 il se resserre de 1,148 à 1,519 ; à n = 200 de 1,202 à 1,464. La précision progresse à peu près comme la racine carrée de l'échantillon : diviser l'intervalle par deux coûte quatre fois plus de pièces. Tout aussi important : répartir l'échantillon entre équipes, opérateurs, changements d'outil et lots de matière, car un grand échantillon prélevé en une seule série mesure la mauvaise variation avec une grande précision.

Et si mes données ne sont pas normales ?

Alors ne convertis pas l'indice en taux de défaut avec la loi normale, car l'erreur se loge entièrement dans la queue qui t'intéresse. Les caractéristiques bornées à zéro — planéité, circularité, faux-rond, rugosité, comptages de contamination — sont généralement dissymétriques par construction et ne doivent jamais être forcées dans un ajustement normal. La série ISO 22514 définit des indices de capabilité fondés sur les percentiles précisément pour ce cas, en utilisant les quantiles à 0,135 % et 99,865 % de la loi réellement ajustée à la place de μ ± 3σ. Les autres voies sont de transformer les données ou d'ajuster une loi adaptée ; ce qu'il ne faut pas faire, c'est publier un Cpk qui a supposé la normalité en silence.