Comment fonctionne l'effet Doppler : la formule, la convention de signes, et pourquoi déplacer la source n'équivaut pas à déplacer l'auditeur

Une formule, une convention de signes, énoncée avant tout calcul

Écris l'effet Doppler sonore une fois pour toutes : f' = f(v + v_o)/(v − v_s). Ici f est la fréquence émise par la source, f' celle entendue par l'observateur, et v la célérité du son dans le milieu — 343 m/s dans l'air à 20 °C. Les deux symboles restants sont des vitesses signées mesurées par rapport au milieu, non l'une par rapport à l'autre : v_o est la composante de vitesse de l'observateur vers la source, positive en approche, négative en éloignement ; v_s est celle de la source vers l'observateur, positive en approche également. Injecter un v_s positif réduit le dénominateur et élève la hauteur : c'est le contrôle physique à faire avant de croire un résultat.

Fais le calcul sur un la de diapason, f = 440 Hz. Une source qui approche à 30 m/s donne f' = 440 × (343 + 0)/(343 − 30) = 440 × 343/313 = 482,17 Hz. La même source qui s'éloigne correspond à v_s = −30, donc f' = 440 × 343/373 = 404,61 Hz. Au passage, la hauteur chute de 77,56 Hz, soit un rapport de fréquences de 1,1917, ce qui fait 304 cents sur une échelle musicale — presque exactement trois demi-tons. C'est l'intervalle réellement entendu quand une voiture passe à 108 km/h, et il vaut la peine de le retenir comme contrôle de vraisemblance : si un calculateur te rend un demi-ton ou une octave pour un véhicule routier, quelque chose cloche dans les unités.

Déplacer la source et déplacer l'auditeur ne donnent pas les mêmes nombres

La formule combinée unique cache une asymétrie réelle. Lorsque la source se déplace, elle poursuit ses propres ondes et raccourcit véritablement la longueur d'onde dans l'air : une source de 440 Hz a λ = 343/440 = 0,7795 m au repos, et en approche à 30 m/s elle émet λ' = (343 − 30)/440 = 0,7114 m. L'auditeur immobile rencontre ces ondes plus courtes à la célérité inchangée de 343 m/s et entend 343/0,7114 = 482,17 Hz. Lorsque c'est l'auditeur qui bouge, la longueur d'onde dans l'air reste à 0,7795 m ; l'auditeur percute simplement les crêtes à une vitesse de rapprochement de 343 + 30 = 373 m/s et entend 373/0,7795 = 478,48 Hz. Deux mécanismes différents, deux nombres différents, pour les mêmes 30 m/s.

L'écart croît avec la vitesse. À 10 m/s il vaut 0,39 Hz, à peine audible ; à 30 m/s, 3,69 Hz ; à 50 m/s, 10,95 Hz, soit 515,09 contre 504,14, c'est-à-dire 37 cents — environ un tiers de demi-ton, nettement perceptible pour une oreille exercée. Une subtilité à énoncer avec soin, car il est facile d'en dire trop : le rapport entre la hauteur en approche et celle en éloignement est le même dans les deux cas, (v + vitesse)/(v − vitesse), donc un passage couvre le même intervalle musical quel que soit celui qui bouge. Ce qui diffère, c'est la position de cet intervalle par rapport à la note émise. Précise lequel des deux est en mouvement, sinon la réponse n'est qu'approximativement juste.

Là où la formule sonore s'arrête : Mach 1, la météo et la lumière

Pousse v_s vers v et le dénominateur s'effondre. Une source de 440 Hz approchant à 300 m/s est entendue à 3 510 Hz ; à 340 m/s, 50 307 Hz ; à exactement 343 m/s, l'expression divise par zéro. Physiquement, la source suit désormais ses propres fronts d'onde, ceux-ci s'empilent en un choc unique, et l'image Doppler continue ne décrit plus rien. Au-delà, la formule renvoie des fréquences négatives : c'est la façon qu'a l'algèbre d'annoncer qu'elle a quitté son domaine. Une seconde dépendance, plus discrète, est le milieu lui-même : v = 331,3 × √(1 + T/273,15) pour l'air sec, donc la célérité du son vaut 325,18 m/s à −10 °C et 351,89 m/s à 35 °C. La même approche à 30 m/s donne alors 484,72 Hz par temps froid et 481,01 Hz par temps chaud. Un vent établi compte aussi, puisque v_o et v_s sont définies par rapport à l'air, non par rapport au sol.

La lumière est un autre problème, pas la même formule avec un v plus grand. Le son exige un milieu, et c'est ce qui permet de distinguer le cas de la source de celui de l'observateur ; la lumière n'en a pas, donc seule la vitesse relative entre source et observateur existe et les deux cas doivent donner des résultats identiques. La formule Doppler relativiste longitudinale fait précisément cela : f' = f√((1 + β)/(1 − β)) en approche, avec β = v/c, et l'inverse en éloignement. À β = 0,1, le facteur exact vaut 1,105542, tandis que les raccourcis calqués sur le son donnent 1/(1 − β) = 1,111111 pour une source mobile et 1 + β = 1,100000 pour un observateur mobile. Aucun n'est juste, et ils se contredisent — signe on ne peut plus clair que l'équation acoustique ne se transpose pas. À β = 0,5, une source qui approche est décalée vers le bleu d'un facteur 1,732 et une source qui s'éloigne vers le rouge à 0,577.

Questions fréquentes

Pourquoi la sirène baisse-t-elle de hauteur quand l'ambulance passe ?

Parce que le signe de v_s s'inverse au moment du passage. En approche, l'ambulance poursuit son propre son et la longueur d'onde qui te parvient est comprimée, donc la hauteur monte ; une fois passée, elle fuit le son qu'elle émet, la longueur d'onde s'étire et la hauteur baisse. Une sirène de 700 Hz sur un véhicule à 25 m/s est entendue à 755,0 Hz en approche et 652,4 Hz ensuite, soit une chute de 102,6 Hz. La sirène, elle, ne change jamais ; rien du son quittant le véhicule ne diffère avant et après. La chute n'est pas non plus progressive : elle est la plus rapide au plus près du passage, car c'est là que la composante de vitesse le long de la ligne vers ton oreille bascule du positif au négatif.

Quelle célérité du son faut-il mettre dans la formule ?

La célérité dans le milieu que l'onde traverse réellement, à sa température réelle. Pour l'air sec, v = 331,3 × √(1 + T/273,15) m/s, soit 331,3 m/s à 0 °C, 343,2 m/s à 20 °C et 351,9 m/s à 35 °C — les 343 m/s des manuels sont une valeur à température ambiante, pas une constante. L'effet sur le résultat est modeste mais réel : une source de 440 Hz approchant à 30 m/s est entendue à 484,72 Hz à −10 °C et 481,01 Hz à 35 °C. La pression et l'altitude comptent à peine pour l'air, mais le milieu, si : le son se propage à près de 1 480 m/s dans l'eau, donc un décalage Doppler sous-marin à la même vitesse de source est environ 4,6 fois plus faible.

Peut-on utiliser la même formule Doppler pour la lumière ?

Non. La formule acoustique distingue une source mobile d'un observateur mobile parce que le son se propage dans un milieu qui définit un référentiel de repos ; la lumière n'a pas de milieu, seule la vitesse relative a un sens physique et les deux cas doivent coïncider. L'expression longitudinale correcte est f' = f√((1 + β)/(1 − β)) en approche et f√((1 − β)/(1 + β)) en éloignement, avec β = v/c. À β = 0,1, cela donne un facteur de 1,105542, tandis que les raccourcis acoustiques donnent 1,111111 et 1,100000 selon le corps que l'on imagine en mouvement — différents entre eux et tous deux faux. Aux vitesses quotidiennes, les trois s'accordent à quelques millionièmes près, d'où l'emploi de la forme simple par les radars ; à une fraction appréciable de c, plus du tout.