La loi de Hooke expliquée : F = kx, constantes de raideur réelles et limite de validité

F = kx : quelle force, quel signe, quelles unités

Dans F = kx, x n'est pas la longueur du ressort. C'est l'écart à sa longueur naturelle, à vide, et mesurer depuis la paillasse ou depuis le haut de la spire est l'erreur de montage la plus fréquente du chapitre. La constante k se mesure en newtons par mètre : un ressort de k = 200 N/m demande 200 N pour un allongement d'un mètre entier, ou 2,00 N pour 1,00 cm. Suspends-y une masse de 1,00 kg : la force appliquée est son poids, mg = 1,00 × 9,80665 = 9,80665 N avec l'accélération normale de la pesanteur du NIST, et le ressort se stabilise à x = 9,80665 / 200 = 0,0490 m, un peu moins de 5 cm.

On rencontre la loi écrite F = kx et F = −kx, et les deux sont justes car elles désignent des forces différentes. F = kx est la force que tu appliques pour maintenir le ressort à l'allongement x ; F = −kx est la force de rappel que le ressort exerce en retour, le signe moins indiquant seulement qu'elle pointe vers la position de repos. L'énergie stockée s'obtient en cumulant cette force sur la distance parcourue : U = ½kx². Le facteur un demi compte, et le carré aussi. Sur le même ressort de 200 N/m, x = 0,05 m stocke 0,25 J, x = 0,10 m stocke 1,00 J, x = 0,20 m stocke 4,00 J et x = 0,30 m stocke 9,00 J. La force croît proportionnellement à l'allongement ; l'énergie croît avec son carré, et c'est pourquoi bander un arc deux fois plus loin quadruple à peu près l'énergie restituée.

De quoi une constante de raideur est faite, et comment les ressorts se combinent

k n'est pas une propriété de matériau ; c'est une propriété d'un objet donné. Pour une barre droite tirée dans sa longueur, k = EA/L. Une tige d'acier de 1,00 m et 1 mm² de section, de module d'Young voisin de 200 GPa, a k = 200 × 10⁹ × 1 × 10⁻⁶ / 1,00 = 2,00 × 10⁵ N/m : une masse de 1,00 kg l'allonge de 0,049 mm. Coupe-la à 0,50 m et k double, à 4,00 × 10⁵ N/m — même acier, raideur double. Un ressort hélicoïdal suit k = Gd⁴/(8D³n), avec d le diamètre du fil, D le diamètre moyen d'enroulement et n le nombre de spires actives. Un fil d'acier de 1,0 mm enroulé en spires de 10 mm, 20 tours, module de cisaillement 79,3 GPa, donne k = 496 N/m. Passe le fil à 2,0 mm et k devient 7 930 N/m — exactement seize fois plus, car d intervient à la puissance quatre.

Deux ressorts bout à bout, en série, sont plus souples que chacun d'eux, car chacun apporte son propre allongement : 1/k = 1/k₁ + 1/k₂. Assemble 100 N/m et 300 N/m : l'ensemble se comporte comme 75 N/m. Vérifie avec une charge de 1,00 kg : les mêmes 9,80665 N traversent les deux, donc le premier s'allonge de 9,80665/100 = 9,81 cm et le second de 9,80665/300 = 3,27 cm, soit 13,08 cm au total — exactement 9,80665/75. Côte à côte, en parallèle, ils se partagent la charge et leurs constantes s'ajoutent : k = k₁ + k₂ = 400 N/m, l'ensemble s'allonge de 9,80665/400 = 2,45 cm, et les deux ressorts portent 2,452 N et 7,355 N, qui redonnent 9,80665 N. Deux ressorts identiques de 100 N/m donnent 50 N/m en série et 200 N/m en parallèle : c'est le contrôle le plus rapide de la règle que tu viens d'employer.

Là où la loi de Hooke cesse d'être vraie

La loi de Hooke est une approximation au premier ordre d'une courbe, pas une loi de la nature. Trace la force en fonction de l'allongement pour un vrai ressort : le trait n'est droit que sur une plage limitée. Le point où il s'incurve est la limite de proportionnalité ; un peu plus loin se trouve la limite élastique, le plus grand allongement depuis lequel le ressort revient encore exactement à sa longueur initiale. Au-delà, le matériau plastifie et garde une déformation permanente — relâche la charge et le ressort est plus long qu'au départ. Rien dans F = kx ne le signale, et c'est pourquoi les fabricants publient une flèche maximale d'utilisation à côté de la valeur de k, et pourquoi une manipulation qui empile les masses finit par produire des points qui s'écartent de la droite ajustée.

Les ressorts de compression ont une seconde limite, plus brutale, à l'autre bout : dès que les spires se touchent, le ressort est à hauteur bloquée et sa raideur devient celle d'un court cylindre d'acier, énorme et sans rapport avec k. La bonne habitude consiste à tenir k pour valable dans une plage annoncée de x, et à annoncer cette plage. La même prudence vaut lorsque la loi de Hooke tient lieu de raideur de matériau en général. La relation linéaire contrainte-déformation derrière k = EA/L décrit bien les métaux et les céramiques aux petites déformations, mais le caoutchouc, les polymères et les tissus biologiques s'écartent presque aussitôt de la droite : leur ajuster un k unique est un choix de modélisation à déclarer, non une mesure à citer.

Questions fréquentes

La loi de Hooke s'écrit-elle F = kx ou F = −kx ?

Les deux, pour des forces différentes. F = kx donne l'intensité de la force que tu appliques pour maintenir le ressort au déplacement x, ce qu'attendent en général un calculateur ou un compte rendu de TP. F = −kx donne la force de rappel exercée par le ressort sur ce qui y est attaché, le signe moins notant qu'elle pointe vers la position de repos — c'est elle que l'on injecte dans la deuxième loi de Newton pour obtenir le mouvement harmonique simple. Si l'énoncé demande la force à exercer, laisse le signe de côté ; s'il demande la force sur la masse, garde-le.

Quelles sont les unités de la constante de raideur ?

Des newtons par mètre, N/m, soit en unités SI de base kg/s². Puisque F = kx, k = F/x : une force en newtons divisée par une longueur en mètres. Deux conversions font trébucher : 1 N/mm = 1 000 N/m, la forme employée par les catalogues d'automobile et de machines, et 1 kgf/cm ≈ 980,665 N/m, encore présente sur d'anciennes fiches techniques. Si tu injectes une raideur en N/mm dans une formule attendant des N/m, toutes les forces sortent mille fois trop petites : vérifie l'unité sur la fiche avant le calcul, pas après.

La loi de Hooke s'applique-t-elle aux élastiques ?

Seulement sur un tout premier allongement, et encore, de façon grossière. La courbe force-allongement d'un élastique est en S : un k unique ne peut la décrire, l'élastique est d'abord souple puis se raidit brusquement quand les chaînes de polymère s'alignent. Il présente aussi une hystérésis — la courbe de retour est plus basse que celle de l'aller, donc une partie de l'énergie fournie revient en chaleur plutôt qu'en mouvement. D'où l'inadéquation d'un élastique pour l'expérience de Hooke et l'inapplicabilité des calculs en ½kx². Prends un ressort hélicoïdal en acier si l'objet de la manipulation est la loi linéaire.