Les quatre équations de la cinématique : laquelle choisir, et ce que chacune omet

Cinq variables, quatre équations, une absente à chaque fois

Il n'y a en réalité qu'une seule physique ici — l'accélération est le taux de variation de la vitesse, et le déplacement est l'aire sous une courbe vitesse-temps — et les quatre équations en sont quatre écritures. Deux seulement sont indépendantes ; les deux autres s'obtiennent en éliminant une variable entre les deux premières. Voilà pourquoi chaque équation ignore exactement une des cinq grandeurs : la variable absente est celle qui a été éliminée pour la produire.

Il en découle une règle de sélection qui rend le sujet mécanique. Lis l'énoncé, marque les variables fournies et celle qui est demandée : l'une des cinq restera intacte. Cette variable intacte désigne ton équation. Une voiture qui ralentit de 25 m/s jusqu'à l'arrêt avec 5,00 m/s² de décélération ne dit rien du temps et n'en demande rien : c'est donc v² = v₀² + 2aΔx, et la réponse tient en une ligne, 62,5 m. Doubler la vitesse d'entrée à 50 m/s quadruple cette distance à 250 m, car le déplacement suit le carré de la vitesse — la leçon la plus utile de cette équation.

La chute libre, ce sont les quatre mêmes équations avec a déjà connue

La chute libre n'est pas un sujet distinct. C'est le cas à accélération constante avec a fournie d'avance : près de la surface de la Terre, l'accélération normale de la pesanteur vaut exactement 9,80665 m/s² par définition. Lâche un objet sans vitesse sur 45,0 m sans qu'aucune durée ne soit donnée : v² = v₀² + 2aΔx donne v = √(2 × 9,80665 × 45,0) = 29,71 m/s ; si c'est la durée qui t'intéresse, Δx = ½at² se réarrange en t = √(2 × 45,0 / 9,80665) = 3,029 s. Réinjecter cette durée dans v = at redonne 29,71 m/s, et c'est la vérification qui vaut la peine.

Le nombre 9,80665 m/s² est une convention définie, non une mesure de ton lieu. La pesanteur locale réelle varie de quelques millièmes selon la latitude et l'altitude, bien en dessous de la précision d'un énoncé qui commence par « on néglige la résistance de l'air ». C'est cette seconde hypothèse qui limite vraiment le résultat : un objet dense et compact lâché de quelques dizaines de mètres est bien décrit, alors qu'une feuille de papier, ou tout ce qui tombe pendant de nombreuses secondes, atteint une vitesse limite que les équations ignorent.

L'hypothèse qui rend les quatre valables

Chacune de ces équations suppose l'accélération constante sur tout l'intervalle. Ce n'est pas un détail que l'on peut ignorer discrètement. La quatrième forme, Δx = ½(v₀ + v)t, semble n'utiliser qu'une vitesse moyenne et devrait donc valoir partout — mais la moyenne arithmétique des vitesses initiale et finale n'égale la vraie vitesse moyenne que si la vitesse varie linéairement, c'est-à-dire précisément dans le cas d'une accélération constante. Applique-la à une voiture qui accélère fort puis roule sur son erre, et elle te donnera silencieusement une mauvaise distance.

Quand l'accélération varie réellement, la solution honnête consiste à découper le mouvement en intervalles où elle est à peu près constante, à appliquer les équations à chacun et à additionner les déplacements. C'est ainsi que se calcule vraiment une distance d'arrêt : une phase de réaction à vitesse constante, puis une phase de freinage à décélération à peu près constante. Si l'accélération varie continûment et qu'il te faut mieux, les équations cessent d'être de l'algèbre et deviennent du calcul intégral — la vitesse comme intégrale de l'accélération, le déplacement comme intégrale de la vitesse — et les quatre formules ne sont que la réponse fermée du cas particulier où l'intégrande est constante.

Questions fréquentes

Pourquoi quatre équations et non une seule ?

Parce que cinq variables reliées par deux relations indépendantes se combinent de quatre façons utiles, chacune éliminant une variable différente. Disposer des quatre permet de résoudre tout problème soluble en une étape au lieu de deux. On pourrait se contenter de v = v₀ + at et Δx = v₀t + ½at², mais tout énoncé qui tait la durée obligerait alors à résoudre d'abord une équation du second degré — précisément le travail supplémentaire que v² = v₀² + 2aΔx est là pour éviter.

La décélération est-elle une accélération négative ?

Seulement par rapport au sens que tu as déclaré positif. L'accélération est un vecteur : ce qui compte est qu'elle pointe dans le sens du mouvement ou à son encontre. Une voiture qui freine en avançant dans le sens positif a un a négatif ; la même voiture freinant en marche arrière a un a positif, alors qu'elle ralentit toujours. La bonne habitude : tracer un axe, déclarer le sens positif, et laisser les signes de v₀, v et a découler de cette déclaration plutôt que des mots de l'énoncé.

Ces équations fonctionnent-elles en deux dimensions ?

Oui, appliquées séparément à chaque axe. Les mouvements horizontal et vertical sont indépendants : on écrit un jeu d'équations pour x et un autre pour y, et la seule grandeur commune est la durée t. C'est exactement ainsi que se résout un tir balistique : l'accélération horizontale est nulle, donc x = v₀ cos θ × t, tandis que l'axe vertical porte toute l'accélération de la chute libre. Ne mélange jamais les composantes dans une même équation : une vitesse de 20 m/s à 30 degrés n'est pas un nombre substituable à v₀ dans l'équation verticale, seule sa composante verticale de 10,0 m/s l'est.