Le mouvement d'un projectile expliqué : portée, hauteur, durée — et pourquoi 45° n'est pas toujours optimal

Deux mouvements indépendants reliés par une seule horloge

Décompose la vitesse initiale : horizontalement v₀ cos θ, verticalement v₀ sin θ. Rien ne pousse le projectile latéralement une fois en l'air : la composante horizontale reste constante et la distance horizontale n'est que vitesse fois temps. Verticalement, c'est un problème de chute libre avec un départ vers le haut. Les deux axes ne communiquent que par la durée commune, et ce seul fait engendre les trois formules. La durée de vol vient du retour à zéro de l'axe vertical : T = 2v₀ sinθ/g. Injecte-la dans l'axe horizontal et tu obtiens la portée, v₀ cos θ × T, que la trigonométrie condense en v₀² sin(2θ)/g.

L'indépendance des deux axes a une conséquence contre-intuitive : une balle tirée à l'horizontale et une balle simplement lâchée de la même hauteur touchent le sol au même instant. La vitesse horizontale achète de la distance, jamais du temps de vol. Cela explique aussi que la composante verticale seule fixe le sommet et la durée, tandis que la composante horizontale seule convertit cette durée en distance. Quand un exercice mélange les deux — en substituant 20 m/s là où seule la composante verticale de 10,0 m/s d'un tir à 30° a sa place — tous les nombres suivants sont faux du même facteur trigonométrique.

Pourquoi 45° maximise la portée, et pourquoi les angles complémentaires font jeu égal

La formule de portée ne contient l'angle qu'à travers sin(2θ), et un sinus atteint sa valeur maximale de 1 quand son argument vaut 90 degrés, c'est-à-dire pour θ = 45°. La portée s'y réduit à v₀²/g, soit 40,79 m à 20 m/s. La même expression explique les égalités : sin(2θ) prend la même valeur en θ et en 90° − θ, car 2(90° − θ) = 180° − 2θ et le sinus d'un angle égale celui de son supplément. Ainsi 30° et 60° atterrissent tous deux à 35,32 m, et 15° et 75° tous deux à 20,39 m, à vitesse initiale identique.

Portée égale ne signifie pas trajectoire égale, et choisir entre deux angles à égalité est une vraie décision. Le tir à 60° monte à 15,30 m et reste 3,53 s en l'air ; celui à 30° culmine à 5,10 m et retombe en 2,04 s. Un joueur qui relaie vers une base veut l'option tendue, car le temps en l'air profite au coureur ; une pièce d'artillerie tirant par-dessus une crête veut l'option haute. Il vaut aussi la peine de savoir combien le maximum est plat : 40° et 50° donnent tous deux 40,17 m, à peine 1,5 % sous le meilleur possible de 40,79 m — deux degrés d'erreur de visée ne coûtent presque rien.

L'hypothèse que presque tous les exemples réels violent

R = v₀² sin(2θ)/g se déduit en demandant quand le projectile revient à sa hauteur de départ. Presque rien ne le fait. Une balle quitte la main à hauteur d'épaule et retombe sur l'herbe ; un poids est lancé depuis au-dessus du sol ; une pierre est jetée d'une falaise. Avec une hauteur de lancement h, la durée de vol devient t = (v₀ sinθ + √(v₀² sin²θ + 2gh))/g et la portée vaut v₀ cos θ × t. Pour 20 m/s à 45° lâchés de 2,00 m, cela fait 42,70 m au lieu de 40,79 m — 4,7 % de plus, et la formule du terrain plat sous-estime à chaque fois.

L'angle optimal se déplace aussi. Depuis une hauteur, le meilleur angle vérifie sin²θ = v₀²/(2v₀² + 2gh), soit 43,66° dans cet exemple, pour une portée de 42,74 m. Le gain par rapport au maintien de 45° est de quatre centimètres : en pratique, la hauteur compte bien plus que la ré-optimisation de l'angle. La résistance de l'air est l'autre omission, et la plus lourde pour tout ce qui est léger ou rapide : une balle réellement lancée perd de la portée et son meilleur angle descend nettement sous 45°, raison pour laquelle les formules données ici sont présentées comme l'idéalisation sans traînée, non comme la description d'un lancer réel.

Questions fréquentes

45 degrés est-il toujours le meilleur angle de tir ?

Seulement si départ et arrivée sont à la même hauteur et si l'on néglige la résistance de l'air. Élève le point de lancement et l'optimum descend sous 45° : depuis 2,00 m à 20 m/s, le meilleur angle vaut 43,66°. Ajoute la résistance de l'air et il descend encore, car une trajectoire plus tendue passe moins de temps à être freinée. Vise plus bas que le point de départ et l'optimum remonte au contraire au-dessus de 45°. Le résultat des 45° est la conséquence propre d'une hypothèse propre, pas une règle universelle.

Un projectile plus lourd va-t-il moins loin ?

Pas dans les formules idéalisées : la masse n'apparaît ni dans R, ni dans H, ni dans T, si bien que deux objets lancés à la même vitesse et sous le même angle suivent des trajectoires identiques quel que soit leur poids. Dans la réalité, la traînée départage, et elle départage en faveur du plus lourd : la force de freinage dépend de la taille et de la forme, alors que l'inertie qui lui résiste dépend de la masse, donc un corps dense de même forme est moins ralenti. C'est pourquoi une bille d'acier va plus loin qu'une bille de plastique de même diamètre lancée à l'identique, alors que les formules sans traînée les donnent à égalité.

Quelle est la vitesse au sommet de la trajectoire ?

Pas nulle — c'est le faux pas classique. Au sommet, seule la composante verticale s'est annulée ; la composante horizontale v₀ cos θ est intacte, car rien n'a agi horizontalement. Un tir à 20 m/s sous 30° file encore à 20 × cos 30° = 17,32 m/s à son apogée, et à 60° il fait encore 10,0 m/s. L'accélération au sommet n'est pas nulle non plus : c'est toujours 9,80665 m/s² dirigés vers le bas, et c'est précisément pour cela que la vitesse verticale ne reste pas à zéro.