Le patron à plat d'un cône est un secteur, pas un disque

Pourquoi l'angle vaut 360 fois le rayon sur l'apothème

Le cercle de base du cône doit devenir l'arc extérieur du secteur une fois le patron roulé : ces deux longueurs sont donc égales. La circonférence de base vaut 2πr. L'arc d'un secteur de rayon s et d'angle θ vaut 2πs fois θ sur 360. Égalise et tout se simplifie sauf θ = 360 r ÷ s. Cette seule ligne est toute la construction, et c'est pourquoi l'angle du secteur ne dépend que du rapport rayon/apothème et pas du tout de la taille du cône.

Deux limites en découlent directement. Un cône très plat a un apothème à peine plus long que son rayon : le rapport tend vers un et l'angle vers 360 degrés — le patron devient un disque à qui il manque un éclat, soit 353 degrés à dix millimètres de hauteur. Un cône très haut a un apothème bien plus long que son rayon : le rapport tend vers zéro et le secteur se réduit à une pointe — 44,7 degrés à 400 mm de hauteur. Rien entre les deux ne surprend une fois la formule en main.

Un tronc de cône a un apex qu'il n'atteint jamais

Le patron d'un tronc de cône se trace depuis l'apex du cône entier dont il a été coupé, alors même que cet apex n'est nulle part sur l'objet. C'est pourquoi le rayon extérieur du patron d'un tronc dépasse son apothème : pour le tronc 50/20 mm sur 80 mm, l'apothème vaut 85,44 mm mais le rayon extérieur du patron vaut 142,40 — les 56,96 mm supplémentaires sont le morceau retiré, et ils deviennent le rayon intérieur du secteur annulaire.

La conséquence est celle qui piège les fabricants d'abat-jour. À mesure que le rayon supérieur se rapproche de l'inférieur, l'apex imaginaire s'enfuit à l'infini et le rayon du patron avec lui. En gardant 100 mm de rayon inférieur et 250 mm de hauteur, le rayon du patron vaut 269 mm pour un cône entier, 633 mm à 60 mm de haut, 1 254 mm à 80, 2 502 mm à 90 et 25 mètres à 99. Un abat-jour qui tient dans une main demande un compas qui n'existe pas dans le commerce.

Comment tracer un arc de deux mètres sur une table de cuisine

Le rayon du patron est énorme, mais le patron ne l'est pas. Prends l'abat-jour : 200 mm de diamètre en bas, 140 en haut, 250 de haut. Son apothème vaut 251,8 mm, le rayon extérieur de son patron 839 mm, et son secteur seulement 42,9 degrés. Ce secteur est une bande de 252 mm de large — l'écart entre les rayons extérieur et intérieur — et de 628 mm de long le long de son arc extérieur. Elle tient sur une feuille de 30 sur 70 centimètres, alors que le cercle dont elle provient fait 1,68 mètre de diamètre.

Ne trace donc pas le cercle. Fixe une ficelle de 839 mm à un point au sol, ou prends une latte percée à 839 et 587 millimètres, et ne balaie que les quarante-trois degrés utiles. Ou saute l'arc : reporte la longueur de l'arc extérieur le long d'une règle souple posée sur la courbe et relie les points — c'est ce que fait le canevas de l'outil, et ce que fait un atelier avec un trusquin à verge. La géométrie est exacte dans les deux cas ; seul le mode de tracé doit être praticable.

Questions fréquentes

Quelle surface de matière consomme un cône ?

L'aire latérale vaut π fois le rayon fois l'apothème pour un cône entier, et π fois la somme des deux rayons fois l'apothème pour un tronc. Le cône de 50 mm et 80 mm de haut consomme 148,2 cm² ; le tronc 50/20 mm à la même hauteur en consomme 187,9 — plus de matière pour moins de volume, ce qui surprend jusqu'à ce qu'on remarque que le tronc est plus large sur toute sa hauteur. Ajoute une marge de couture le long d'un bord droit et, pour un abat-jour, un rempli sur les deux arcs.

Puis-je obtenir le patron en ne connaissant que l'apothème ?

Oui, et c'est souvent la mesure la plus naturelle à relever sur un objet existant — un mètre passé le long du flanc incliné donne directement l'apothème. L'outil demande la hauteur parce que c'est ce qu'un dessin indique d'ordinaire, mais les deux sont interchangeables par Pythagore : hauteur = √(apothème² − rayon²) pour un cône entier, et √(apothème² − (r₁ − r₂)²) pour un tronc. Mesure celle que tu peux mesurer avec précision et déduis l'autre.

Pourquoi mon cône roulé ne se referme-t-il pas exactement ?

Presque toujours à cause de l'épaisseur du matériau. La formule décrit une surface sans épaisseur : elle donne donc le patron de la surface moyenne ; roule une tôle de 2 mm et l'extérieur parcourt plus de chemin que l'intérieur, ce qui se traduit par un recouvrement ou un jour à la couture. En tôlerie, la correction de métier consiste à calculer sur la fibre neutre — la mi-épaisseur — et pour du carton ou du tissu, un millimètre d'ajustement à la couture absorbe l'écart. Couper à la surface moyenne et prévoir un joint à recouvrement plutôt qu'à bord franc est la réponse pratique.