Quarante à l'aller et soixante au retour font quarante-huit de moyenne

Les trois moyennes sont toujours dans cet ordre

L'harmonique n'est jamais supérieure à la géométrique, et la géométrique jamais supérieure à l'arithmétique, pour tout ensemble de nombres positifs. Elles coïncident seulement quand toutes les valeurs sont identiques, et l'écart entre elles s'élargit avec la dispersion — ce qui fait de la différence entre deux d'entre elles une mesure grossière de l'inégalité des données. Pour 40 et 60, les trois tiennent en deux unités ; pour 1 et 100, l'harmonique vaut 1,98 et l'arithmétique 50,5, un facteur vingt-cinq. Voir une moyenne arithmétique très au-dessus de la moyenne harmonique des mêmes données signale de façon fiable que quelques grandes valeurs portent la moyenne.

Elle apparaît aussi là où personne ne la nomme

Le score F1 qui résume un classifieur est la moyenne harmonique de la précision et du rappel, choisie précisément parce qu'elle refuse de se laisser flatter par l'une des deux : un système à 0,6 de précision et 0,8 de rappel obtient 0,686, plus proche du nombre le plus faible que ne le placerait une moyenne arithmétique. Le même raisonnement donne le PER moyen d'un portefeuille, qu'il faut calculer harmoniquement puisque chaque ratio porte les bénéfices au dénominateur. Partout où la grandeur moyennée est un rapport et où ce sont les dénominateurs qui restent fixes, la moyenne harmonique est celle qui garde le total juste.

Questions fréquentes

Que se passe-t-il si une valeur est nulle ?

La moyenne n'est pas définie, l'inverse de zéro n'ayant pas de valeur. Ce n'est pas une limite de la formule mais une description correcte de la situation modélisée : un tronçon parcouru à vitesse nulle ne s'achève jamais, la vitesse moyenne du trajet entier n'est donc pas un nombre. Il en va de même du score F1 d'un classifieur qui ne rappelle rien. Là où les zéros sont des données légitimes plutôt que le signe que rien n'a eu lieu, la moyenne harmonique est le mauvais résumé et une moyenne arithmétique ou une médiane est le bon.

Comment savoir quelle moyenne un problème réclame ?

Demande-toi ce qui doit rester vrai après la moyenne. Si le total est une somme — de coûts, de masses, d'effectifs — c'est la moyenne arithmétique qui le conserve. Si le total est un produit, comme pour des taux de croissance successifs, c'est la géométrique. Si les grandeurs sont des taux et que ce qui est fixe se trouve à leur dénominateur, c'est la moyenne harmonique qui fait sortir le taux global juste. Écrire la quantité à préserver prend un instant et choisit la moyenne sans aucune règle apprise par cœur.