Une seule multiplication en croix derrière six problèmes différents

Ce sont les unités qui décident de l'arrangement valide

Quatre nombres peuvent se ranger en proportion de plusieurs façons, et certaines seulement veulent dire quelque chose. Pommes sur prix égale pommes sur prix est valide ; pommes sur prix égale prix sur pommes, ce sont quatre nombres dans la bonne forme et le mauvais ordre, et cela rend un chiffre sans interprétation. La parade consiste à écrire les unités à côté de chaque valeur avant de résoudre et à vérifier que la même unité occupe la même position des deux côtés. Fais-le une fois et l'arrangement s'impose de lui-même, ce qui retire l'à-peu-près qui rend ces problèmes plus difficiles qu'ils ne sont.

Une échelle de carte est un rapport sans unité

1:25 000 signifie qu'une unité quelconque sur le papier vaut vingt-cinq mille de la même unité sur le terrain : voilà pourquoi la notation ne porte pas d'unité et fonctionne identiquement en centimètres, en pouces ou en millimètres. Quatre centimètres deviennent 100 000 centimètres, et passer de là aux kilomètres est une seconde conversion distincte — division par 100 pour les mètres, puis par 1 000 pour les kilomètres. Séparer les deux étapes est ce qui évite l'erreur classique de diviser par 100 000 d'un coup, qui donne une réponse cent fois trop petite et paraît plausible sur une carte de randonnée.

Questions fréquentes

Pourquoi la multiplication en croix fonctionne-t-elle ?

C'est une étape d'algèbre ordinaire à laquelle on a donné un nom. Pars de a ÷ b = c ÷ x, multiplie les deux côtés par b puis par x — opération qui ne change rien, les deux côtés recevant le même traitement — et les fractions disparaissent, laissant a × x = b × c. Diviser ensuite par a isole x. Rien n'est croisé et aucune règle spéciale n'intervient ; les flèches en diagonale sont un moyen mnémotechnique pour deux multiplications qui étaient toujours permises.

Une proportion peut-elle contenir un zéro ?

Au dénominateur, jamais — un rapport avec zéro dessous n'est pas défini, et tout calculateur qui rend une valeur là cache une division par zéro. Au numérateur, c'est licite mais généralement dépourvu de sens dans le problème modélisé : zéro pomme pour cinq unités d'argent dit que le prix n'est pas défini, non qu'il vaut zéro, puisque rien n'a été acheté. Là où un zéro peut légitimement apparaître, la proportion est le mauvais modèle et une équation affine avec ordonnée à l'origine est le bon, car les relations proportionnelles sont précisément celles qui passent par l'origine.