La formula con la radice quadrata del lotto economico, e dove smette di essere vera

Perché la risposta è una radice quadrata

Due costi si muovono in direzioni opposte quando cambi la dimensione di un ordine. Il costo di ordinazione è il lavoro fisso di emettere l'ordine, riceverlo e pagare la fattura, e lo sostieni D/Q volte l'anno — quindi cala quando l'ordine cresce. Il costo di mantenimento è capitale, spazio, assicurazione e obsolescenza sulla scorta media detenuta, cioè Q/2 — quindi sale quando l'ordine cresce. Scrivi la somma, D/Q × S + Q/2 × H, derivala, ponila a zero: all'ottimo i due termini sono uguali. Risolvi quell'uguaglianza e salta fuori la radice quadrata: Q* = √(2DS/H).

Quell'uguaglianza va ricordata come verifica. Con 25 000 unità l'anno, 80 € per ordine e 4 € per unità-anno di mantenimento, la formula dà 1 000 unità. Venticinque ordini l'anno a 80 € sono 2 000 € di costo di ordinazione; una scorta media di 500 unità a 4 € sono 2 000 € di mantenimento. Coincidono, come devono. Il totale, 4 000 €, si legge anche direttamente come √(2DSH) — gli stessi numeri riorganizzati. Se il tuo foglio di calcolo produce un lotto ottimo in cui le due righe di costo non sono uguali, è l'aritmetica a essere sbagliata, non la teoria.

Il fondo piatto è la vera notizia

Dividi il costo a qualsiasi quantità per il costo all'ottimo e quasi tutto si semplifica. Resta ½(Q/Q* + Q*/Q) — un rapporto che dipende solo da quanto sei fuori, non dalla domanda, non da S, non da H. Ordina il 20 % in più e paghi l'1,7 % in più. Ordina il 20 % in meno e paghi il 2,5 % in più. Ordina il 50 % in più e paghi l'8,3 % in più. Devi arrivare al doppio o alla metà dell'ottimo perché il conto salga del 25 %. Vicino al fondo, la curva è quasi un'orizzontale.

Questa è la cosa più pratica che il lotto economico dice, e di solito resta sepolta. La formula produce raramente un numero utilizzabile in magazzino: 1 000 unità possono essere 41 cartoni o due terzi di pallet. La piattezza dice: arrotonda. Passare al pallet pieno con 1 200 unità costa 67 € l'anno su una base di 4 000 €. Passare al camion con 1 500 costa 333 €. Contro i risparmi di movimentazione, rotture e amministrazione dello spedire unità di imballaggio intere, entrambi sono di norma buoni scambi. Il lotto economico non è l'ordine di ordinare esattamente 1 000; è l'affermazione che qualsiasi cifra fra circa 800 e 1 250 sta entro il 2,5 % del meglio possibile.

Per fortuna, perché S e H sono i numeri più difficili di tutti

La domanda annua la estrai dal sistema di vendita. Gli altri due devi costruirli. S dovrebbe essere il costo incrementale di un ordine in più — ma gran parte di quanto costa un ufficio acquisti è stipendio che non cambia sia che emetta 25 ordini sia che ne emetta 30. Dividi il budget dell'ufficio per il numero di ordini e ottieni una media, non un costo marginale, e quella media è quasi sempre troppo alta. H è peggio: costo del capitale, stoccaggio, assicurazione, cali, obsolescenza. La sola componente di capitale ti obbliga a scegliere un tasso di sconto, e quella di obsolescenza è una scommessa sul futuro.

La piattezza ti salva. Poiché Q* è proporzionale a √(S/H), conta solo il rapporto, e un errore sul rapporto viene dimezzato dalla radice quadrata prima di arrivare alla quantità. Sbaglia di un fattore due su S/H, in un senso o nell'altro, e la quantità raccomandata si sposta del 41 % — il che, dalla tabella sopra, costa il 6,1 %. Sbaglia di un fattore quattro e la quantità raddoppia o si dimezza, per il 25 %. Tutto ciò che sta al di sotto di un errore di fattore quattro sulle tue ipotesi di costo è una differenza di arrotondamento. Metti lo sforzo sul dato di domanda e sui vincoli; sono quelli a muovere davvero la risposta.

Rottura uno: gli sconti quantità

La formula non vede mai il prezzo della merce, perché a prezzo unitario costante il costo d'acquisto vale D × C comunque tu divida gli ordini — è lo stesso in ogni scenario e sparisce dal confronto. Uno sconto quantità distrugge tutto questo. Supponi un costo unitario di 20 €, un costo di mantenimento fissato al 20 % del valore (che dà esattamente i 4 € usati sopra), e un fornitore che offre il 2 % di sconto a partire da 2 500 unità. Lo sconto vale il 2 % di 500 000 €, cioè 10 000 € l'anno. Non è un numero piccolo accanto a un totale di 4 000 € fra ordinazione e mantenimento.

Fai il conto per intero. Comprare 2 500 alla volta significa 10 ordini l'anno, 800 € di costo di ordinazione. Il costo unitario scontato è 19,60 €, quindi il mantenimento al 20 % del valore diventa 3,92 € per unità-anno, e una scorta media di 1 250 unità costa 4 900 €. Ordinazione più mantenimento sale da 4 000 € a 5 700 € — un aumento di 1 700 € — mentre la fattura d'acquisto scende da 500 000 € a 490 000 €. Tutto compreso: 504 000 € contro 495 700 €, un risparmio netto di 8 300 € l'anno. La risposta del lotto economico è ampiamente battuta dal listino di un fornitore, ed è per questo che ogni valutazione seria di uno sconto calcola il costo totale a ogni scaglione di prezzo e non all'ottimo senza vincoli.

Rottura due: domanda irregolare e riapprovvigionamento a ritmo finito

Il lotto economico presuppone che la domanda arrivi a ritmo regolare e costante. Prendi le stesse 25 000 unità l'anno ma concentrane 15 000 in due mesi. Durante il picco il ritmo annualizzato è di 90 000 unità, e la quantità corretta lì è √(2 × 90 000 × 80 / 4) = 1 897. Per le restanti 10 000 distribuite su dieci mesi il ritmo annualizzato è 12 000 e la quantità corretta 693. Fai girare il lotto annuo di 1 000 durante il picco e la formula del rapporto ti addebita il 21,2 % in più di quanto costerebbe una quantità stagionale. Ogni prodotto con stagionalità reale richiede un lotto ricalcolato per stagione, o un metodo di lot-sizing dinamico — Wagner-Whitin è quello esatto, Silver-Meal l'approssimazione praticabile.

Il secondo presupposto strutturale è che l'intero ordine arrivi in una volta. Quando produci invece di comprare, la scorta cresce mentre la produzione gira e cala quando si ferma, quindi la scorta media è inferiore a Q/2 e puoi permetterti lotti più lunghi. Il lotto economico di produzione lo corregge: √(2DS / (H(1 − D/P))). A un ritmo di produzione di 50 000 unità l'anno contro una domanda di 25 000, il fattore (1 − D/P) vale 0,5, il lotto ottimo sale a 1 414 unità, la scorta di picco è di soli 707, e il costo minimo reale scende a 2 828 €. Applica il lotto d'acquisto di 1 000 in quel contesto e paghi 3 000 € — il 6,1 % in più, e per giunta sottodimensioni ogni lotto di produzione.

A cosa serve ancora il lotto economico

Trattalo come una verifica di ordine di grandezza, non come un'istruzione. Ti dice se l'ordine giusto è dell'ordine del centinaio di unità o delle diecimila, ed è proprio la domanda che la maggior parte sbaglia — di solito ordinando troppo spesso articoli economici e voluminosi, e troppo di rado articoli costosi e compatti. Una volta che il lotto economico ha fissato l'ordine di grandezza, comandano i vincoli: quantità per pallet, importi minimi d'ordine, riempimento del container, durata di conservazione, scaglioni di prezzo del fornitore e capacità di ubicazione in magazzino. Poiché la curva è piatta, lasciar vincere quei vincoli non costa quasi nulla.

E tienilo nella sua corsia. Il lotto economico risponde a quanto ordinare; non dice nulla su quando. Quello è il punto di riordino, che dipende dal lead time e dalla variabilità della domanda durante quel lead time, ed è lì che vive la scorta di sicurezza. Le due domande sono indipendenti nel modello classico e conviene di norma tenerle indipendenti anche in pratica: dimensiona l'ordine con il lotto economico e i vincoli, e fallo scattare con un punto di riordino che rifletta il livello di servizio promesso.

Domande frequenti

Di quanto può discostarsi la mia quantità d'ordine prima che costi davvero?

Usa ½(Q/Q* + Q*/Q). Al 20 % dall'ottimo in una delle due direzioni la penalità è sotto il 2,5 %; al 50 % in più è dell'8,3 %; devi raddoppiare o dimezzare la quantità per arrivare al 25 %. Nell'esempio svolto significa che qualsiasi cifra fra circa 800 e 1 250 unità non costa più di 100 € l'anno sopra i 4 000 € ottimali. Arrotonda a ciò che chiedono il tuo imballaggio, il tuo pallet o il tuo camion.

Cosa devo mettere davvero come costo di ordinazione S?

Solo costi che cambiano davvero quando emetti un ordine in più: il trasporto in entrata fatturato per spedizione, la manodopera di ricevimento e il controllo, e ogni onere di fornitore o doganale per ordine. Lascia fuori lo stipendio del buyer, la licenza dell'ERP e i costi di struttura dell'ufficio — ci sono che tu ordini 25 o 30 volte. Dividere il costo totale d'acquisto per il numero di ordini dà una media che sovrastima S e distorce gli ordini verso l'alto. Poiché la curva è piatta, anche un errore di fattore due costa solo il 6,1 %: non tormentarti, sii solo coerente fra S e H.

Il lotto economico mi dice quando riordinare?

No. Il lotto economico risponde a quanto; il punto di riordino risponde a quando. Il punto di riordino è la domanda media durante il lead time più la scorta di sicurezza, e questa dipende da quanto variano domanda e lead time e dal livello di servizio scelto. Nel modello classico le due decisioni non interagiscono, quindi puoi dimensionare l'ordine con il lotto economico e impostare il grilletto separatamente senza che l'uno rovini l'altro.

Un fornitore offre uno sconto sopra il mio lotto economico. Come decido?

Calcola il costo annuo completo — acquisti più ordinazione più mantenimento — al tuo lotto economico e di nuovo a ogni scaglione di prezzo, e confronta i totali. Ricorda di ricalcolare il costo di mantenimento sul valore scontato se lo esprimi in percentuale. Nell'esempio sopra, uno sconto del 2 % a 2 500 unità alza ordinazione più mantenimento di 1 700 € ma taglia la fattura d'acquisto di 10 000 €, quindi lo sconto vince per 8 300 € l'anno. Gli sconti vincono di solito, perché la fattura d'acquisto è un ordine di grandezza superiore ai costi che il lotto economico ottimizza.

Il lotto economico è ancora rilevante con la fornitura just-in-time?

Sì, ma punta nella direzione opposta a quella che si crede. Il just-in-time non è un rifiuto del lotto economico; è un attacco a S. Dimezza il costo di emissione di un ordine — ordine elettronico, contratti quadro, cambi di produzione più rapidi — e la quantità ottima cala del 29 %, e il costo rilevante totale cala con essa, perché l'ottimo vale √(2DSH). Le consegne piccole e frequenti sono economiche solo dopo aver schiacciato il costo fisso di una consegna. Il lotto economico è proprio la formula che quantifica quanto vale quella riduzione.