Il denominatore del rapporto di Sortino su cui nessuno è d'accordo

Sortino cambia due cose dello Sharpe, non una

Il riassunto corrente dice che Sortino sostituisce la volatilità totale con quella al ribasso. Vero e incompleto: sostituisce anche, al numeratore, il tasso privo di rischio con un rendimento minimo accettabile, cioè un obiettivo che scegli tu e non un tasso quotato dal mercato. Quei due cambiamenti sono indipendenti, e confonderli è esattamente il modo in cui si finisce per confrontare un Sortino calcolato contro un obiettivo nullo con uno calcolato contro un parametro di riferimento, prendendo la differenza per un'informazione sui fondi. Se vuoi che il confronto significhi qualcosa, fissa prima l'obiettivo e dichiaralo, poi lascia lavorare il denominatore.

Quando il denominatore lavora, può ribaltare una classifica, e quel ribaltamento è la ragione d'essere del rapporto. Metti il nostro regolare fondo A contro un fondo B i cui dodici mesi valgono 0,5, 8,0, 0,4, 0,6, 7,5, 0,5, −0,4, 9,0, 0,5, 0,4, −0,2 e 0,6 per cento — sostanzialmente piatto, con tre mesi esplosivi. Il fondo B ha una deviazione standard annualizzata del 12,3881 per cento contro il 4,3338 del fondo A, sicché lo Sharpe mette A davanti, 2,5843 contro 1,8728. Ma quasi tutta la variabilità di B è al rialzo: solo due mesi cadono sotto l'obiettivo e la somma dei loro scarti negativi al quadrato vale 0,8650 contro 2,0875 di A, sicché la deviazione al ribasso annualizzata di B è 0,9301 per cento contro 1,4448 di A. Il Sortino mette B davanti, 24,9448 contro 7,7518. Nessuna delle due misure è guasta. Lo Sharpe risponde a una domanda su quanto oscilla il rendimento; il Sortino risponde a una domanda su quanto spesso e quanto gravemente delude. Sono domande diverse, e un gestore che non perde mai denaro ma spesso ne guadagna molto sarà punito dalla prima e premiato dalla seconda.

Due denominatori, un fattore, e una classifica che si ribalta per colpa sua

La relazione fra le due convenzioni è meccanica. Entrambe partono dalla stessa somma di scarti negativi al quadrato; una divide per il numero di tutti i periodi, l'altra per il numero dei periodi sotto l'obiettivo; il secondo denominatore è dunque il primo moltiplicato per la radice quadrata del totale sui deficitari, e il secondo rapporto è il primo diviso per quello stesso fattore. Sul fondo A, con tre mesi su dodici sotto l'obiettivo, il fattore vale esattamente due. Sul fondo B, con due su dodici, vale 2,4495. Guarda che cosa implica: la seconda convenzione penalizza un fondo tanto più quanto meno periodi cattivi ha avuto, perché un divisore più piccolo gonfia il rischio di ribasso misurato. Un fondo con un solo mese cattivo su dodici è penalizzato dalla radice di dodici, cioè 3,4641, unicamente per la rarità di quel mese.

Quella proprietà non è una curiosità: può ribaltare una classifica da sola. Confronta un fondo C con rendimenti di 2,0, −0,2, 2,1, −0,3, 2,2, −0,1, 2,0, −0,2, 2,3, −0,3, 2,1 e −0,1 per cento — sei mesi su dodici appena sotto l'obiettivo, nessuno grave — con un fondo D di 1,6, 1,7, 1,5, 1,8, −0,9, 1,7, 1,6, 1,8, 1,5, 1,7, −0,8 e 1,7 per cento, che manca l'obiettivo solo due volte ma lo manca di più. Dividendo per tutti e dodici i mesi vince il fondo D, 6,2996 contro 5,3598. Dividendo solo per i mesi sotto l'obiettivo vince il fondo C, 3,7900 contro 2,5718. Stessi dati, stesso obiettivo, conclusioni opposte, e tutto il ribaltamento viene dal fatto che C è penalizzato dalla radice di due mentre D lo è dalla radice di sei. Se confronti due rapporti di Sortino, devono essere stati calcolati allo stesso modo, e se la fonte non dice quale, il numero non è confrontabile con nulla.

Sposta l'obiettivo e lo stesso fondo segna 17,90 o −1,83

Il rendimento minimo accettabile lavora almeno quanto la convenzione del denominatore e, a differenza di questa, dovrebbe essere una decisione. Tieni fissi i dodici rendimenti del fondo A e alza l'obiettivo. Contro un obiettivo nullo il rapporto di Sortino vale 17,9021. Contro il 3 per cento l'anno, 9,7199. Contro il 4,20, il nostro caso di riferimento, 7,7518. Contro il 6 per cento l'anno, 5,5199; contro il 12, 1,2944; e contro il 18 diventa negativo a −0,7195. Una sola serie, una sola convenzione di denominatore, e un numero che va da diciotto a sotto zero. Due cose si muovono quando l'obiettivo sale: il numeratore si restringe direttamente, e il denominatore cresce perché più periodi cadono sotto la linea e gli scarti esistenti si approfondiscono.

È un argomento per scegliere l'obiettivo di proposito invece di accettare un valore predefinito. Un obiettivo nullo chiede se il fondo abbia mai perso denaro, ed è la scelta giusta per la conservazione del capitale. Un obiettivo pari al tasso privo di rischio riproduce la domanda dello Sharpe e rende i due rapporti confrontabili nell'intento. Un obiettivo pari all'inflazione chiede se il potere d'acquisto sia stato conservato. Un obiettivo pari a quanto richiedono i tuoi impegni — una pensione da erogare, un tasso di prelievo, una soglia di commissione in un mandato — è la versione della domanda con conseguenze vere, ed è quella per cui l'impianto di Sortino è stato costruito. Dichiara l'obiettivo ogni volta che citi il numero, nella stessa frase, perché un rapporto di Sortino senza il suo obiettivo non è una grandezza specificata male: è una grandezza non specificata.

Dove il rapporto degenera, e che cosa farne

I modi di fallimento sono tutti fallimenti del denominatore, e conviene riconoscerli perché somigliano a una prestazione eccezionale. Se nessun periodo è caduto sotto l'obiettivo, la somma degli scarti negativi al quadrato è zero, la deviazione al ribasso è zero e il rapporto è infinito. Non è un fondo dal rendimento corretto per il rischio illimitato; è un campione che non contiene alcuna informazione sul rischio di ribasso, e il resoconto onesto è il numero di periodi e il fatto che nessuno abbia mancato, non una cifra. Se esattamente un periodo è caduto sotto, il rapporto è finito ma poggia interamente su quella osservazione: il nostro esempio di undici mesi attorno all'1,2 per cento e un mese a −9,0 dà una deviazione al ribasso annualizzata del 9,3500 per cento con la convenzione su tutti i periodi e del 32,3894 con l'altra, un fattore 3,4641 su un solo dato. I campioni piccoli fanno questo a ogni misura di rischio, ma le misure di ribasso soffrono di più perché scartano gran parte del campione per costruzione.

Due abitudini sistemano quasi tutto. Primo, riporta il numero di periodi sotto l'obiettivo accanto al rapporto; è una cifra in più e dice subito al lettore se il denominatore poggia su tre osservazioni o su trenta, e gli permette anche di convertire da sé fra le due convenzioni moltiplicando o dividendo per la radice del totale su quel numero. Secondo, tratta l'annualizzazione per l'ipotesi che è. Moltiplicare una deviazione mensile per la radice di dodici presuppone periodi indipendenti e identicamente distribuiti, cioè esattamente l'ipotesi che salta per le strategie che più spesso si misurano col Sortino: tutto ciò che ha rendimenti autocorrelati, valorizzazioni illiquide o un profilo di vendita di volatilità si vedrà sottostimare il rischio da quella scalatura. Il rapporto è uno strumento di confronto fra serie misurate allo stesso modo sulla stessa finestra, non una costante fisica, e va citato con il suo obiettivo, la sua convenzione, la sua frequenza e la lunghezza del campione.

Domande frequenti

Quale convenzione usa questo calcolatore, e come passo all'altra?

Divide la somma degli scarti negativi al quadrato per il numero di periodi della serie, e non per il numero di periodi sotto l'obiettivo, sicché la deviazione al ribasso che riporta è la radice di un momento parziale inferiore di ordine due attorno al tuo obiettivo. La conversione è una moltiplicazione. Per ottenere la versione ristretta ai soli periodi in difetto, moltiplica la deviazione al ribasso riportata per la radice quadrata del numero totale di periodi diviso il numero di quelli caduti sotto l'obiettivo — equivalentemente, dividi il rapporto di Sortino riportato per la stessa radice. Con tre scarti su dodici periodi il fattore vale due; con due su dodici, 2,4495; con uno su dodici, 3,4641. Il calcolatore non riporta direttamente il conteggio dei periodi sotto l'obiettivo, ma si legge senza fatica nella tua serie, ed è proprio il numero da annotare accanto al rapporto.

Un rapporto di Sortino alto è una prova migliore di uno Sharpe alto?

È una prova migliore su una domanda più stretta, e una prova peggiore di robustezza. Il Sortino è lo strumento giusto quando la distribuzione dei rendimenti è davvero asimmetrica e non vuoi che ti si presenti un grosso guadagno come un rischio — l'argomento è vero, e il nostro fondo B lo dimostra. Ma è stimato su meno osservazioni dello Sharpe, perché butta via ogni periodo sopra l'obiettivo: il suo errore campionario è più largo sugli stessi dati, e su una finestra corta si lascia lusingare più facilmente. È anche più facile da manipolare: qualunque strategia che venda assicurazione — vendita di opzioni, carry, rischio di credito, valorizzazioni illiquide — produce una lunga serie di piccoli guadagni e rare perdite grandi, cioè esattamente la forma che segna bene sul Sortino fino all'arrivo della perdita rara. L'uso onesto è leggerli insieme, con il conteggio dei periodi sotto l'obiettivo e il peggior periodo singolo, e insospettirsi anziché entusiasmarsi quando divergono nella direzione che favorisce il gestore.

Dove si colloca il rapporto di Treynor accanto a questi due?

Risponde alla stessa forma di domanda con un terzo denominatore, e la scelta fra i tre è in realtà una scelta su che cosa consideri rischio. Lo Sharpe divide il rendimento in eccesso per la volatilità totale: tratta ogni oscillazione come rischio. Il Sortino lo divide per la deviazione al ribasso attorno a un obiettivo: tratta come rischio solo la delusione. Il Treynor lo divide per il beta: tratta come rischio solo l'esposizione al mercato e assume implicitamente che il resto sia stato diversificato. Quell'assunzione è la spia: il Treynor è la misura giusta per un mattone dentro un portafoglio già diversificato, dove il rischio specifico si compensa davvero con le altre posizioni, e la misura sbagliata per una posizione isolata o un fondo concentrato, dove il rischio che il Treynor scarta è proprio quello che stai portando. Ne discende una conseguenza pratica per chi ordina gestori: un fondo che segna bene sul Treynor e male sul Sortino ti sta dicendo che i suoi guai non vengono dal mercato, ed è esattamente il caso in cui il numero di Treynor informa meno su ciò che vivrai.

Quanti periodi servono prima che il numero significhi qualcosa?

Poni la domanda sul denominatore e non sul campione, perché è lì che la stima è sottile. Non conta quanti periodi hai, ma quanti sono caduti sotto l'obiettivo, dato che sono gli unici a portare informazione sul rischio di ribasso. Dodici osservazioni mensili con tre scarti ti danno un denominatore stimato su tre numeri, e un solo mese diverso lo sposterebbe parecchio. Trentasei osservazioni mensili con dieci scarti sono un'altra faccenda. Nessuna soglia trasforma una stima cattiva in una buona, ma una disciplina aiuta: calcola il rapporto su più finestre sovrapposte e guarda la dispersione invece della stima puntuale, e abbassa l'obiettivo a zero come controprova, perché un fondo il cui rapporto crolla quando l'obiettivo si sposta di poco non stava venendo misurato: stava venendo lusingato dalla posizione della linea.