Leva, liquidazione e l'asimmetria delle perdite

Derivare il prezzo di liquidazione

Prendi una posizione lunga isolata. Depositi capitale E e la piattaforma ti lascia controllare un nozionale N = L × E, dove L è la leva. Se il prezzo scende di una frazione d, la posizione perde N × d, quindi il tuo capitale residuo è E − N·d. La piattaforma ti chiude quando quel capitale residuo scende al requisito di mantenimento, cioè un'aliquota m applicata al valore corrente della posizione, N × (1 − d).

Uguaglia: E − N·d = m·N·(1 − d). Sostituisci E = N ÷ L e dividi per N: ogni riferimento alla dimensione della posizione sparisce: 1 ÷ L − d = m − m·d. Raccogli i termini in d e ottieni d = (1 ÷ L − m) ÷ (1 − m). Il prezzo di liquidazione di una posizione lunga aperta a P è quindi P × (1 − d), e per una corta lo stesso ragionamento a segno invertito dà d = (1 ÷ L + m) ÷ (1 + m). Nota che cosa non compare nella formula: la dimensione del tuo conto, l'attivo, la direzione del mercato. Solo la leva e l'aliquota di mantenimento.

La scorciatoia comune è dire che una posizione a L× muore su un movimento di 1 ÷ L — 5 per cento a 20×, 10 per cento a 10×. È la risposta quando m è zero, ed è sempre troppo generosa. Con un'aliquota di mantenimento dello 0,5 per cento, un ingresso a 100 liquida una lunga 5× a 80,402 anziché 80, una 10× a 90,452 anziché 90, una 20× a 95,477 anziché 95 e una 100× a 99,497 anziché 99. Sul lato corto, dove la posizione cresce mentre si muove contro di te, le distanze sono più ampie: 5,473 per cento a 20× invece di 4,523. Ognuno di questi numeri presuppone un'esecuzione pulita, senza commissioni e senza salto di quotazione attraverso il livello di liquidazione, e tutte e tre le ipotesi cadono proprio nelle condizioni che producono liquidazioni.

A 20×, il movimento fatale sta dentro una giornata normale

Mettiamo numeri sulle leve che la gente usa davvero. Con un'aliquota di mantenimento dello 0,5 per cento, una lunga 2× sopravvive a un calo del 49,75 per cento, una 5× al 19,60, una 10× al 9,55, una 20× al 4,52, una 50× all'1,51 e una 100× allo 0,50. Le piattaforme non tengono quell'aliquota costante fra i livelli di leva, e una leva più alta di solito porta un'aliquota più alta: al 2,5 per cento il dato di 20× scende al 2,56, e al 5 per cento una posizione 20× non è nemmeno offribile, perché il requisito di mantenimento eguaglierebbe già l'intero deposito. Per questo la tabella sopra segna le celle ad alta leva all'aliquota del 2,5 per cento come impossibili anziché come numeri piccoli — una borsa deve abbassare m man mano che alza la L massima, e il preciso schema differisce per piattaforma e strumento e va letto lì.

Se il 2,56 o il 4,52 per cento siano tanti dipende dall'attivo, e per uno volatile non lo sono. Ricorda l'aritmetica dell'articolo compagno sulla volatilità: un attivo con il 60 per cento di volatilità annualizzata ha una deviazione standard giornaliera del 3,141 per cento. È una giornata da una deviazione standard. Su un attivo simile la distanza di liquidazione del 2,56 per cento a 20× è inferiore al movimento tipico di una singola giornata ordinaria, e la distanza del 4,52 per cento vale circa una volta e mezza — un'ampiezza che si verifica con regolarità, senza alcuna notizia, più volte al mese. Ecco la frase da tenere: ad alta leva il mercato non ha bisogno di darti torto nel merito per chiuderti la posizione, gli basta essere rumoroso.

L'asimmetria del recupero, valida anche senza leva

Perdi una frazione L del tuo capitale e ti resta (1 − L). Per tornare al punto di partenza, quel resto va moltiplicato per 1 ÷ (1 − L), quindi il guadagno richiesto è g = 1 ÷ (1 − L) − 1. La funzione è convessa e accelera con forza. Perdere il 5 per cento richiede il 5,26 di ritorno. Perdere il 10 richiede l'11,11. Perdere il 20 richiede il 25,00. Perdere il 25 richiede il 33,33, perdere un terzo richiede il 50,00, perdere metà richiede il 100,00. Perdere il 60 per cento richiede il 150; il 75 richiede il 300; il 90 richiede il 900; il 95 richiede il 1 900; il 99 richiede il 9 900 per cento, un fattore cento, per stare dove già si stava.

Questo non ha nulla a che vedere con la leva né con un mercato particolare. È una proprietà delle percentuali, ed è il motivo per cui un portafoglio che alterna guadagni e perdite di uguale ampiezza percentuale deriva verso il basso — lo stesso fatto che l'articolo compagno sulla volatilità chiama freno da volatilità. L'asimmetria spiega anche perché evitare le perdite grandi conta più che catturare i guadagni grandi: una singola perdita del 50 per cento annulla un raddoppio, in qualunque ordine arrivino.

La leva moltiplica sia la perdita sia il requisito di recupero

Componi i due. Una posizione a k× trasforma un movimento di mercato x in un movimento di capitale kx. Un movimento avverso del 2 per cento costa il 4 per cento del capitale a 2×, il 10 a 5×, il 20 a 10×, il 40 a 20× e il 50 a 25×. Immetti ciascuno di quei numeri nella formula di recupero e il guadagno richiesto è rispettivamente del 4,17; 11,11; 25,00; 66,67 e 100,00 per cento. Ora traduci di nuovo in movimento di mercato, per una posizione riaggiustata per mantenere la stessa leva sul capitale ridotto: il mercato deve muoversi del 2,08 per cento a 2×, 2,22 a 5×, 2,50 a 10× e 3,33 a 20× per annullare un movimento del 2 per cento. A 20×, il mercato deve risalire 1,67 volte più di quanto sia sceso.

Una distinzione conta qui ed è spesso sfumata. Se apri una posizione di nozionale fisso e non la tocchi mai, un prezzo che scende e poi torna esattamente al tuo ingresso ti lascia in pari: l'asimmetria sta nella percentuale di capitale, non nel prezzo. La distanza in più compare quando la leva è mantenuta — quando vieni riaggiustato, quando integri per tenere lo stesso multiplo, o quando detieni un prodotto che si ribilancia a leva costante ogni giorno. Nel caso mantenuto la posizione si riduce col capitale, quindi lo stesso recupero di mercato ricompra meno di quanto sia costato. I prodotti a leva costante sono l'esempio quotidiano di questo, ed è la ragione per cui i regolatori impongono loro di avvertire che non sono pensati per essere detenuti a lungo.

Scommesse a leva ripetute perdono anche con un vantaggio positivo

È questo il risultato che sorprende, ed è lo stesso argomento sulla media geometrica sviluppato dall'articolo compagno sulla volatilità. Costruisci un mercato davvero favorevole: ogni periodo si muove del +2 per cento con probabilità 0,52 e del −2 per cento con probabilità 0,48. Il movimento atteso è 0,52 × 2 − 0,48 × 2 = +0,08 per cento per periodo. È un vantaggio reale, del tipo che quasi nessuno possiede, ed è positivo a ogni leva: tieni la posizione a k× e il rendimento aritmetico atteso per periodo è dello 0,08k per cento, che cresce senza limite al crescere di k.

Il tasso di crescita composto è un'altra grandezza. Poiché gli esiti si moltiplicano, ciò che conta è il logaritmo atteso: g(k) = 0,52·ln(1 + 0,02k) + 0,48·ln(1 − 0,02k). A 1× è +0,0600 per cento per periodo. A 2× è +0,0800 per cento, il massimo, che cade esattamente sulla frazione di Kelly (p − q) ÷ b = 0,04 ÷ 0,02 = 2. A 3× torna a +0,0600. Attraversa lo zero a k = 3,9957 — in sostanza 4× — e da lì diventa negativo: −0,1012 per cento per periodo a 5×, −1,2302 a 10×, −7,0231 a 20× e −12,1869 a 25×. Oltre 50×, un solo periodo avverso è rovina totale, dato che 0,02 × 50 = 1.

Su 250 periodi le probabilità binomiali esatte rendono concreto il quadro. Senza leva, questo mercato favorevole ti lascia sotto il capitale iniziale il 32,87 per cento delle volte. A 2× sale leggermente al 37,56 per cento, ancora col miglior esito composto. A 5× è il 57,50 per cento, e il 9,19 per cento delle traiettorie perde il 90 per cento o più. A 10× finisci sotto il punto di partenza l'82,88 per cento delle volte e perdi il 90 per cento o più nel 57,50 per cento delle traiettorie. A 20× i dati sono 99,54 e 99,06 per cento. Il rendimento atteso è rimasto positivo per tutto il tempo. Ciò che ha fatto l'aumento della leva è stato convertire un gioco favorevole in uno sfavorevole, senza cambiare il gioco.

Finanziamento, commissioni e la conclusione onesta

Tutto quanto precede presupponeva che tenere la posizione sia gratis. Non lo è. I futures perpetui addebitano un pagamento di finanziamento periodico fra lunghi e corti, e quel meccanismo — come si fissa il tasso, quale lato paga e perché esiste — è derivato nell'articolo compagno sui tassi di finanziamento anziché ripetuto qui. Ciò che conta per questo articolo è come la leva lo scala: il finanziamento è addebitato sul nozionale, e il tuo nozionale è k volte il tuo capitale, quindi il costo in percentuale del tuo capitale è k volte il tasso dichiarato. A un tasso indicato dello 0,01 per cento ogni otto ore, cioè lo 0,03 per cento al giorno sul nozionale, una posizione 1× paga lo 0,03 per cento di capitale al giorno e una 20× paga lo 0,60 — il 16,52 per cento in trenta giorni. Quel tasso è un'illustrazione e non una quotazione; il finanziamento reale varia di continuo, può essere negativo e va letto sulla piattaforma.

Aggiungi le commissioni di negoziazione, anch'esse addebitate sul nozionale e quindi anch'esse moltiplicate per k, e aggiungi lo slittamento in entrata e in uscita, e il freno diventa un terzo meccanismo che agisce nella stessa direzione dei due precedenti. Nulla di ciò cambia la forma della conclusione, e tutto la rafforza.

La conclusione non è incoraggiante e non c'è modo onesto di renderla tale. I regolatori europei impongono alle società che offrono prodotti a leva al pubblico retail di pubblicare la quota di conti retail che perdono denaro, e l'analisi alla base di quelle misure di intervento riportava valori dell'ordine di tre quarti fino a quasi nove decimi a seconda dell'intermediario. Non è un'affermazione su una società o uno strumento in particolare, e l'informativa vigente per il prodotto che stai guardando è sulla pagina di quell'intermediario — ma la direzione è coerente con tutto quanto derivato sopra. Questo articolo esiste per rendere leggibile l'aritmetica, non per suggerire che comprenderla converta una struttura perdente in una vincente. Nulla di questo è consulenza, e la cosa più sicura che queste formule possono dirti è quanto dovresti aver ragione.

Domande frequenti

Il prezzo di liquidazione è semplicemente il mio ingresso meno 1 ÷ leva?

No, e la scorciatoia è sempre ottimistica. La distanza corretta è (1 ÷ L − m) ÷ (1 − m), dove m è l'aliquota di margine di mantenimento, e la scorciatoia è il caso particolare m = 0. Con un'aliquota di mantenimento dello 0,5 per cento i valori veri sono il 19,60 per cento a 5× invece di 20, il 9,55 a 10× invece di 10 e il 4,52 a 20× invece di 5. Con un'aliquota del 2,5 per cento la distanza a 20× è solo del 2,56 per cento. Le commissioni trattenute all'ingresso e ogni finanziamento già addebitato riducono il tuo capitale prima ancora che il prezzo si muova, avvicinando ulteriormente il livello, e nei mercati veloci l'esecuzione può essere peggiore del livello di innesco. Tratta ogni prezzo di liquidazione pubblicato come il caso migliore e non come il confine.

Perché la distanza di liquidazione è diversa per una posizione corta?

Perché una posizione corta cresce mentre si muove contro di te. Quando il prezzo sale, il nozionale che devi sale con esso, quindi il requisito di mantenimento — una percentuale del nozionale corrente — sale anch'esso, mentre il tuo capitale scende. La stessa algebra a segni invertiti dà d = (1 ÷ L + m) ÷ (1 + m) invece di (1 ÷ L − m) ÷ (1 − m). A 20× con un'aliquota di mantenimento dello 0,5 per cento una lunga sopravvive al 4,523 per cento contro e una corta al 5,473, quindi la corta ha un po' più di spazio in termini percentuali. Non è un vantaggio: il caso peggiore della lunga è limitato, poiché il prezzo non può scendere sotto zero, mentre la perdita della corta non ha tetto, che è l'asimmetria più importante fra i due lati.

Se il mio rendimento atteso è positivo, perché più leva peggiora le cose?

Perché il rendimento atteso e il tasso a cui il denaro capitalizza davvero sono due grandezze diverse, e solo la seconda determina con che cosa finisci. La leva moltiplica il rendimento atteso per k e la varianza per k al quadrato, e il tasso di crescita composto è all'incirca il rendimento atteso meno metà della varianza — quindi la penalità cresce più in fretta del premio. Nell'esempio sviluppato, un mercato con un vantaggio reale di +0,08 per cento per periodo capitalizza al +0,0600 per cento senza leva, culmina a +0,0800 a 2×, attraversa lo zero verso 4× e scende a −1,2302 per cento per periodo a 10×. Su 250 periodi quella posizione 10× finisce sotto il capitale iniziale l'82,88 per cento delle volte e perde il 90 per cento o più nel 57,50 per cento delle traiettorie, il tutto mentre il rendimento atteso resta positivo. È lo stesso meccanismo di freno da volatilità dell'articolo compagno, applicato a una posizione la cui volatilità hai scelto tu.

Uno stop-loss mi protegge dalla liquidazione?

Può portare l'uscita più vicina del livello di liquidazione, il che vale qualcosa, ma non elimina l'aritmetica. Uno stop è un'istruzione di chiudere a mercato appena un innesco è toccato, quindi il prezzo che ricevi davvero dipende da ciò che è disponibile in quel momento; in un movimento veloce può essere sensibilmente peggiore dell'innesco, e se il mercato salta oltre entrambi i livelli lo stop e la liquidazione avvengono praticamente nello stesso punto. Il problema più profondo è che ad alta leva lo stop non ha quasi dove andare: a 20× la liquidazione è a 2,56 o 4,52 per cento a seconda dell'aliquota di mantenimento, quindi ogni stop deve stare dentro, il che su un attivo volatile è ben dentro il movimento ordinario di una giornata. Dove collocare uno stop rispetto alla volatilità propria di un attivo è sviluppato nell'articolo compagno sulla collocazione degli stop.

Esiste un livello di leva matematicamente sicuro?

Nessun livello è sicuro, e l'aritmetica identifica solo quali livelli sono autodistruttivi. Nell'esempio sviluppato il tasso di crescita composto è massimo a 2×, che coincide con la frazione di Kelly (p − q) ÷ b = 2, e diventa negativo sopra circa 4×. Ma quel numero dipende interamente dal conoscere p e b — la vera probabilità e la vera ampiezza del tuo vantaggio — e nessuno li conosce; sono stimati da un campione, e un vantaggio sovrastimato produce una posizione sovraleveraggiata con rendimento composto negativo che sulla carta appare comunque positivo. I professionisti che usano questo schema ne applicano infatti di norma una frazione. Il riassunto onesto è che l'aritmetica può indicarti un livello sopra il quale perdi con certezza nel tempo, e non può indicarti un livello in cui sei al sicuro. Nulla in questo articolo è una raccomandazione a usare una qualsiasi leva.