Comprimento de correia entre duas polias: a geometria, e porque o resultado não é o que se encomenda

Porque não é duas vezes a distância entre centros mais as duas circunferências

A soma ingénua conta quase tudo a dobrar. Uma correia toca cada polia num arco e depois sai pela tangente; nunca dá a volta completa a nenhuma. Na polia grande o arco excede um pouco a meia circunferência; na pequena fica um pouco aquém, e os dois desvios em relação a metade compensam-se quase na perfeição — daí a resposta exata conter uma só circunferência média, π(D1 + D2)/2, e não duas inteiras. Some as duas circunferências completas e terá contado uma volta inteira de cada polia que a correia nunca dá.

Os ramos retos são a outra metade da surpresa, e vão em sentido contrário: são mais curtos do que a distância entre centros, não mais compridos. Cada tangente é o cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a distância entre centros e cujo outro cateto é a semidiferença dos diâmetros, logo mede a raiz de C² − ((D1 − D2)/2)². Com polias de 200 e 100 mm afastadas 400 mm, cada ramo reto mede 396,86 mm em vez de 400 — menos 3,14 mm, duas vezes. O termo corretivo (D1 − D2)²/(4C) da fórmula é o que recupera isso e mais um pouco, e é o único sítio onde a diferença de tamanho entre as duas polias aparece. No exemplo métrico vale 6,25 mm em 1 277,49 — meio por cento. Com duas polias do mesmo diâmetro é exatamente zero, o abraço é exatamente 180° em ambas, e a correia vale simplesmente duas vezes a distância entre centros mais uma circunferência.

A fórmula, a variante cruzada e quanto deriva a aproximação

A ferramenta aplica as formas fechadas clássicas. Aberta: L = 2C + π(D1 + D2)/2 + (D1 − D2)²/(4C). Cruzada: os mesmos dois primeiros termos, mas a correção passa a (D1 + D2)²/(4C), porque uma correia cruzada abraça as duas polias em mais de metade. No exemplo métrico, a aberta dá 1 277,49 mm e a cruzada 1 327,49 mm — mais 50 mm com o mesmo material, o que convém saber antes de encomendar. A ferramenta imprime ainda os dois primeiros termos sozinhos, como segundo resultado, com o rótulo de comprimento sem o termo de correção: 1 271,24 mm. Esse valor não é uma correia, é um diagnóstico: diz-lhe que parte da resposta é geometria pura e que parte vem do desajuste entre polias.

Ambas as formas fechadas são aproximações, não identidades. A resposta exata precisa de um arco-seno, porque o ângulo de abraço em cada polia depende da geometria: 180° mais duas vezes o arco-seno da semidiferença sobre a distância entre centros na polia grande, e 180° menos o mesmo na pequena. Corra o caso por omissão da ferramenta e o desvio é invisível: 1 277,49 mm contra 1 277,50 exato, oito micra. Force a relação e cresce: polias de 250 e 50 mm afastadas 160 mm abraçam a pequena só 102,6°, e aí a fórmula sai 2,33 mm curta, ou 0,27 %. As correias cruzadas derivam mais depressa porque o seu termo corretivo é maior. O enviesamento vai sempre no mesmo sentido — a aproximação fica aquém — e esse é o bom sentido para errar, porque prefere encontrar a correia ligeiramente esticada a meio do ajuste do que ligeiramente frouxa no fim do curso.

O comprimento calculado é uma entrada de catálogo, não uma encomenda

Ninguém fabrica uma correia ao milímetro que você escolheu. As correias são moldadas e vulcanizadas em tambores numa série normalizada de comprimentos, marcadas com uma letra de secção e um código de comprimento, e armazenadas nessa série — e é precisamente por isso que o fluxo útil corre ao contrário do que se espera. Calcula o comprimento que a sua geometria atual pede, procura-o, vê que cai entre duas medidas em stock, e escolhe então em torno de que medida disponível construir a transmissão, deslocando o motor em conformidade.

A aritmética desse deslocamento é mais fácil do que parece, porque o comprimento é dominado pelo seu primeiro termo. Derive e obtém dL/dC = 2 − (D1 − D2)²/(4C²), que no exemplo métrico vale 1,984 — chame-lhe dois. Cada milímetro que desloque o motor muda a necessidade de correia em pouco menos de dois milímetros, e a mesma relação vale em polegadas. Portanto, se a ferramenta diz 1 277,49 mm a 400 mm entre centros e quer aterrar em 1 250 mm, tem de perder 27,49 mm de correia, ou seja aproximar os veios 13,86 mm: ponha C em 386,14 mm. Volte a meter 386,14 na ferramenta e devolve 1 250,00 mm — a verificação que vale a pena fazer em vez de confiar na derivada.

Duas restrições práticas limitam essa escolha. O motor tem de manter curso suficiente nos dois sentidos: folga para calçar a correia nova sem a forçar por cima da aba, o que arruína os cabos, e curso de tensionamento de reserva para o alongamento que ela vai tomar nas primeiras horas de serviço. E há um piso de ângulo de abraço. Abaixo de uns 120° na polia pequena, uma correia trapezoidal começa a patinar antes de transmitir a sua potência nominal, o que a tabela abaixo traduz numa distância mínima entre centros para um dado par de polias. Ambas são razões para projetar para o meio da gama de ajuste e não para um número.

Velocidade, relação e qual a polia motriz

Preencha uma velocidade motriz e a ferramenta acrescenta dois números que decidem se a transmissão serve para alguma coisa. A velocidade movida é a motriz vezes a relação de diâmetros: uma polia de 200 mm a 1 450 rpm a mover uma de 100 mm dá 2 900 rpm — mas só se o seletor disser que a de 200 mm é a motriz. Inverta-o e o mesmo material reporta 725 rpm, porque a relação se inverte. Esse seletor é fácil de deixar como estava sem reparar, e o sintoma é um número perfeitamente plausível, errado pelo quadrado da relação se depois raciocinar sobre o binário a partir dele.

O outro número é a velocidade linear da correia, igual à circunferência da polia motriz vezes a sua velocidade: 15,18 m/s no exemplo métrico. Importa porque cada secção de correia tem uma gama de velocidade em que se comporta, e as duas pontas são reais. Demasiado lenta, a correia tem de suportar demasiada força para transmitir a mesma potência: precisa de mais secção ou de mais ramos. Demasiado rápida, a força centrífuga começa a levantar a correia da gola, o que corta justamente a aderência de que vive, e a secção aquece. Note que esta saída fica em metros por segundo seja qual for o mercado, porque o motor de apresentação não tem conversão imperial prevista para essa unidade.

O que a ferramenta não lhe dirá

Não verifica se a montagem é fisicamente possível. Peça-lhe polias de 200 e 100 mm com apenas 120 mm entre veios e devolve 732,07 mm sem comentário, embora os dois raios somem 150 mm e as polias ocupassem portanto o mesmo espaço. Ponha a distância entre centros a zero: uma saída vai para infinito enquanto a outra ainda mostra uns finitos 471,24 mm, o segundo termo a calcular-se sozinho e sossegado. Ponha o diâmetro movido a zero: continuará a dar-lhe um comprimento de correia e uma velocidade, e só o campo da velocidade movida fica vazio. É sempre a mesma classe de lacuna: a fórmula é avaliada, o desenho não.

O seletor de unidade merece o seu próprio aviso, porque governa os três comprimentos ao mesmo tempo. Escreva 200, 100 e 400 deixando a unidade em polegadas e obtém uma correia de 32 448,2 mm — aritmeticamente perfeita, e a descrever uma transmissão do tamanho de um autocarro. Não há cruzamento entre os diâmetros e a distância entre centros, e nada no resultado assinala a incoerência. A regra é simples: fixe a unidade antes de escrever seja o que for, e confira o resultado contra duas vezes a distância entre centros — a correia vale sempre um pouco mais do que isso mais uma circunferência média, e nunca outra coisa.

Perguntas frequentes

Que diâmetro se mede numa polia trapezoidal?

Aquele em que a correia corre de facto, que não é o que a craveira alcança mais facilmente. Uma correia trapezoidal afunda na sua gola: a linha de contacto fica abaixo do diâmetro exterior da polia, numa quantidade que depende da secção da correia e do desgaste da gola. Os catálogos chamam-lhe diâmetro primitivo ou efetivo e dão-no para cada polia; use esse valor. Medir pela borda e introduzir esse resultado sobrestima os dois arcos e dá uma correia uns pontos percentuais comprida de mais — o suficiente para esgotar o curso de ajuste. As correias planas e dentadas são mais simples: uma plana corre na superfície exterior, e uma dentada numa linha primitiva logo acima do fundo dos dentes, de novo indicada no catálogo.

Com que tensão deve ficar a correia?

Suficientemente tensa para não patinar, e nada mais, porque tudo o que passe desse ponto vai para os rolamentos e não para a carga. O método de oficina é a flecha: carrega-se o meio do ramo livre mais comprido com uma força conhecida e verifica-se que a correia afunda uma distância dada, da ordem de 1/64 do vão por unidade de vão, com a força e a flecha ambas retiradas da tabela do fabricante para essa secção. A regra ser relativa ao vão deve-se a um ramo longo ser intrinsecamente mais mole à mesma tensão. Dois erros são frequentes e opostos: esticar de mais porque a transmissão guinchou uma vez, o que mata os rolamentos do motor e do veio meses depois sem que se liguem as duas coisas; e nunca voltar a verificar, quando uma correia nova faz a maior parte do assentamento e do alongamento nas primeiras horas — a rotina certa é esticar, fazê-la rodar brevemente em carga e voltar a esticar.

Porque é que a correia cruzada precisa de mais comprimento do que a aberta?

Porque cruzar a correia aumenta o abraço nas duas polias ao mesmo tempo, em vez de o trocar entre elas. Numa montagem aberta a correia ganha arco na polia grande e perde o mesmo na pequena, pelo que o total fica perto de uma circunferência média. Cruze-a e tem de atravessar duas vezes a linha dos centros, o que abraça cada polia em mais de metade e alonga os dois ramos retos. Daí o termo corretivo passar de (D1 − D2)² para (D1 + D2)², muito maior: no exemplo métrico leva a correia de 1 277,49 mm a 1 327,49 mm, mais 50 mm. Esse abraço extra explica também porque as montagens cruzadas aderem bem e porque se gastam depressa — a correia roça contra si própria no cruzamento —, daí serem usadas para inverter um veio lento e não para transmitir potência a sério.

A ferramenta dá dois comprimentos. Qual uso?

A primeira, sempre. A segunda tem o rótulo de comprimento sem o termo de correção e são apenas os dois primeiros termos da fórmula: duas vezes a distância entre centros mais uma circunferência média, 1 271,24 mm no exemplo métrico contra 1 277,49 mm no total. É o comprimento que seria preciso se ambas as polias fossem abraçadas em exatamente 180°, o que só acontece se forem do mesmo tamanho. O seu uso é de diagnóstico: a diferença entre os dois valores diz-lhe de relance quanto da resposta vem do desajuste entre polias, e se essa diferença ficar grande face ao total, está na zona em que a forma fechada começa a afastar-se do resultado exato com arco-seno. Com duas polias iguais as duas saídas coincidem: é a ferramenta a dizer-lhe que o termo corretivo é zero.

Não posso simplesmente medir a correia velha?

Pode, e primeiro deve ler o código moldado nas costas dela, porque essa é a resposta sem medir nada. Se a marcação estiver ilegível, medir funciona, com duas armadilhas. Uma correia usada esticou, por vezes um por cento ou mais, portanto medi-la dá um comprimento que nunca foi um tamanho de catálogo. E uma correia trapezoidal mede-se na sua linha primitiva, nem por fora nem por dentro: passar uma fita pela face exterior sobrestima e pela interior subestima — o improviso habitual é enrolar um cordel na gola de uma polia de tamanho conhecido. A calculadora contorna as duas partindo da geometria que ainda está na máquina: duas polias mensuráveis e uma distância entre centros mensurável, e nada disso esticou.