Dividir a renda entre quartos que não são iguais

Terços iguais: o método que só é justo por acaso

Partamos do apartamento que serviremos ao longo do artigo: 2 400 € por mês, três quartos. O quarto A tem 18 m² e nada de especial. O B tem 12 m² e nada de especial. O C tem apenas 10 m², o mais pequeno da casa, mas tem casa de banho privativa — e é por isso que este exemplo vale a pena trabalhar, já que área e desejabilidade apontam em sentidos opostos.

A divisão igual cobra 800 € a cada um. Tem uma virtude genuína: não exige informação nem discussão, e é a resposta certa num único caso, aquele em que os quartos são realmente intermutáveis, como em certas residências de estudantes construídas para isso. Em tudo o resto é um imposto sobre quem fica com o pior quarto, cobrado em silêncio todos os meses durante todo o contrato. No nosso apartamento tarifa identicamente 18 m² e 10 m², o que ninguém defenderia em voz alta, e é por isso que o arranjo costuma sobreviver só porque ninguém o menciona.

A área, e a área ponderada: melhores metros, a mesma pergunta sem resposta

Dividir pela área é a melhoria evidente e é realmente melhor do que nada. Os três quartos somam 40 m², logo o A leva 18 ÷ 40 = 45 % da renda, o B 30 % e o C 25 %: 1 080,00 €, 720,00 € e 600,00 €. A aritmética é transparente, verificável com uma fita métrica, e elimina a injustiça mais grosseira da divisão igual.

Também cobra menos ao quarto mais pequeno, num apartamento onde o mais pequeno é o que tem casa de banho própria. O remendo evidente é ponderar a área pelos extras: dê ao quarto C um coeficiente de 1,35 pela casa de banho, e as unidades ponderadas passam a 18, 12 e 13,5, num total de 43,5. O A leva então 18 ÷ 43,5 = 41,379 %, o B 27,586 % e o C 31,034 %, ou seja 993,10 €, 662,07 € e 744,83 €, cuja soma dá exatamente a renda.

É uma melhoria real e continua a ser o tipo errado de resposta, porque o peso é inventado. Porquê 1,35 e não 1,2, ou 1,6? Uma casa de banho privativa vale muitíssimo para quem sai cedo e absolutamente nada para quem toma banho no ginásio. Assim que escreve uma ponderação, está a afirmar uma preferência em nome de toda a gente, e a aritmética que se segue apenas veste a sua afirmação de decimais. A secção seguinte mostra o que isso custa neste apartamento concreto: mesmo a divisão ponderada deixa um colega a preferir estritamente o quarto de outro.

A ausência de inveja: a definição certa de justo

Deixe de perguntar quanto vale cada quarto e faça uma pergunta mais afiada: existe alguma atribuição de quartos e algum conjunto de preços, somando a renda, tal que ninguém preferisse o quarto de outro a esse preço? Uma divisão com essa propriedade chama-se livre de inveja, e é o alvo certo porque é verificável. Não tem de concordar com as valorizações alheias; basta confirmar, por si, que prefere o seu próprio negócio a cada um dos outros que estão em cima da mesa.

O tranquilizador é que tal divisão existe. O artigo de Francis Su publicado em 1999 no American Mathematical Monthly demonstrou a harmonia do arrendamento com o lema de Sperner, apoiando-se no resultado de existência anterior de Alkan, Demange e Gale na Econometrica, e a versão prática do enunciado é fácil de levar: se as valorizações próprias de cada colega somarem pelo menos a renda, existe uma atribuição de quartos com preços que somam a renda sob os quais ninguém inveja ninguém, e ninguém paga pelo seu quarto mais do que disse que valia. Não anda à procura de algo que pode não existir.

Três colegas, três quartos, cálculo completo

Ana, Ben e Clara escrevem cada um quanto vale para si cada quarto, com os seus três números a somar os 2 400 € de renda. A Ana trabalha em casa e trocaria área pela casa de banho privativa: A 750, B 600, C 1 050. O Ben quer o quarto maior e mais nada lhe importa: A 1 050, B 750, C 600. A Clara quer luz e chão e não liga à casa de banho: A 900, B 900, C 600. Ninguém tem de justificar isto; são preferências, e todo o interesse está em que o procedimento não precisa que elas concordem.

Examine agora as seis formas de distribuir os quartos e some as propostas de cada vez. Ana em A, Ben em B, Clara em C dá 750 + 750 + 600 = 2 100. Ana em A, Ben em C, Clara em B dá 750 + 600 + 900 = 2 250. Ana em B, Ben em A, Clara em C dá 600 + 1 050 + 600 = 2 250. Ana em B, Ben em C, Clara em A dá 600 + 600 + 900 = 2 100. Ana em C, Ben em B, Clara em A dá 1 050 + 750 + 900 = 2 700. E Ana em C, Ben em A, Clara em B dá 1 050 + 1 050 + 900 = 3 000, o vencedor claro. Cada um fica com o quarto que mais queria, coincidência agradável neste exemplo e que não é o objetivo da regra — a regra maximiza o total, não um indivíduo.

O total vencedor, 3 000, excede a renda em 600. Esse excedente é o ganho de atribuir os quartos a quem mais os valoriza; pertence à casa e não a um só membro, por isso divide-se em três: 200 para cada um. O preço de cada um é então a sua própria proposta menos a sua parte do excedente. A Ana paga 1 050 − 200 = 850 € pelo quarto C. O Ben paga 1 050 − 200 = 850 € pelo A. A Clara paga 900 − 200 = 700 € pelo B. Os três preços somam 2 400 €, exatamente a renda, e não é sorte: decorre de o total vencedor ter sido 3 000 e terem sido devolvidos 600.

Verifiquemos agora a ausência de inveja, pessoa a pessoa. A Ana valoriza o seu quarto C em 1 050 e paga 850, logo o seu excedente é 200; o quarto A dar-lhe-ia 750 − 850 = −100 e o B 600 − 700 = −100, ambos piores. O Ben valoriza o A em 1 050 e paga 850, excedente 200; o B dar-lhe-ia 750 − 700 = 50 e o C 600 − 850 = −250, ambos piores do que 200. A Clara valoriza o B em 900 e paga 700, excedente 200; o A dar-lhe-ia 900 − 850 = 50 e o C 600 − 850 = −250. Nove comparações, nenhuma inveja, e os excedentes são iguais por construção, exatamente 200 cada. Uma ressalva que vale a pena dizer: os preços de excedente igual são o primeiro candidato natural, mas não são livres de inveja em todos os problemas. Quando uma verificação falha, ajustam-se os preços até todas as desigualdades se cumprirem ao mesmo tempo — é um pequeno programa linear, e é o que as implementações públicas resolvem.

Onde a divisão pela área deixa alguém verdadeiramente invejoso

Passe as mesmas três pessoas e a mesma atribuição pelos preços de área — quarto A a 1 080,00 €, B a 720,00 €, C a 600,00 € — e a falha salta à vista. A Ana no C está encantada: valoriza-o em 1 050 e paga 600, um excedente de 450. A Clara no B valoriza-o em 900 e paga 720, um excedente de 180. O Ben no A valoriza-o em 1 050 e paga 1 080, logo o seu excedente é menos 30. Preferia o quarto B da Clara a 720, que vale 750 para ele e lhe deixaria mais 30. Preferia até o quarto C da Ana a 600, que valoriza exatamente em 600, o que o deixaria a zero. O Ben inveja estritamente os outros dois, e a medição que produziu este resultado era perfeitamente exata.

A divisão ponderada também não a salva, e esse é o resultado mais interessante. A 993,10 €, 662,07 € e 744,83 €, a Ana conserva 305,17 de excedente e a Clara 237,93, enquanto o Ben tem 1 050 − 993,10 = 56,90 no seu próprio quarto e obteria 750 − 662,07 = 87,93 no da Clara. Continua a invejá-la em 87,93 €. Acrescentar um coeficiente afinou os números sem os tornar justos, porque a ponderação exprimia a opinião do seu autor sobre quanto vale uma casa de banho, e as únicas opiniões que contam são as três do apartamento.

Curiosamente, a divisão igual não produz inveja estrita neste apartamento concreto: a 800 € cada um, a Ana conserva 250, o Ben 250 e a Clara 100, e a Clara está exatamente indiferente entre o seu quarto a 800 e o A da Ana a 800. Mas repare nesses excedentes: 250, 250, 100. Duas pessoas obtêm duas vezes e meia o benefício da terceira, e a Clara está a uma unidade da inveja estrita. A ausência de inveja é um chão, não um teto: uma divisão pode passá-lo e ainda assim distribuir o ganho desigualmente, e é por isso que o método por propostas iguala o excedente além de eliminar a inveja.

Espaços comuns, casais, e a regra que evita mesmo a discussão

Os espaços comuns resolvem-se sozinhos, e isso surpreende. Como cada um licita pelo pacote completo — um quarto mais a mesma cozinha, a mesma sala e a mesma fila para a casa de banho que os outros — as zonas comuns anulam-se na comparação, por serem idênticas para todos os licitantes. O que não se anula é o uso exclusivo: se quem ocupa o quarto A tem a única varanda, ou quem ocupa o C guarda uma bicicleta na entrada, isso tem de constar da descrição antes de alguém licitar, ou as propostas não incidem sobre os mesmos objetos.

O casal que partilha um quarto é o caso que mais vezes corre mal, porque se misturam duas perguntas. Para a renda, um casal num quarto é um só licitante com um só orçamento: ocupa um quarto e apresenta um só conjunto de números. Para tudo o que escala com o número de pessoas, são dois: água, aquecimento, eletricidade, produtos de limpeza, fila para a casa de banho. A convenção praticável é dividir a renda por quarto com o método acima e o consumo por cabeça, e escrevê-lo desde o início, porque a casa que descobre este desacordo ao sétimo mês tem uma conversa mais difícil do que a que o resolveu na primeira semana.

Mais duas previsões poupam problemas depois. Decidam de antemão o que acontece quando alguém sai: ou quem chega assume simplesmente o quarto de quem sai ao preço dele, o que é simples e um pouco injusto para um recém-chegado com outros gostos, ou se redivide todo o apartamento com propostas novas, o que é mais equitativo e significa que a renda de todos pode mexer-se. Qualquer das duas serve; não decidir, não. E verifique como está redigido o seu contrato, porque quem deve o quê ao senhorio é uma questão jurídica distinta de quem deve o quê a quem: um contrato único com cláusula de solidariedade pode tornar cada inquilino responsável por toda a renda seja qual for o acordo privado, por isso leia o contrato e, quando importar, procure aconselhamento local.

Perguntas frequentes

Porque é que as minhas propostas têm de somar a renda total?

Porque essa restrição torna comparáveis os números de pessoas diferentes. Sem ela, um colega podia inflacionar tudo e outro deflacionar tudo, e os totais mediriam entusiasmo em vez de preferência. Exigir que os três números de cada um somem a renda transforma o exercício numa repartição da mesma quantia: o que carrega informação é a forma das suas propostas — quanto mais vale para si um quarto do que outro — e não o seu nível. É também o que sustenta a garantia: quando os valores de cada pessoa somam pelo menos a renda, existe um conjunto de preços sem inveja em que ninguém paga pelo seu quarto mais do que disse que valia.

E se duas pessoas licitarem mais alto pelo mesmo quarto?

Nada se parte; é precisamente o caso para o qual o procedimento foi feito. A atribuição é escolhida para maximizar a soma das propostas no conjunto dos quartos, e não quarto a quarto: um dos dois fica com ele e os preços ajustam-se para que o outro não se importe. Na prática, quem fica com o quarto disputado paga-o visivelmente mais caro e o outro é compensado com um preço menor no seu, e a verificação de inveja confirma que a compensação chega. Se a verificação falhar aos preços de excedente igual, deslocam-se os preços até todas as desigualdades se cumprirem — o resultado de existência garante que há solução.

Alguém pode manipular o processo licitando estrategicamente?

Em princípio sim, e na prática os incentivos são suficientemente desagradáveis para desencorajar. Sobrevalorizar um quarto sobe o preço que paga se ficar com ele, e subvalorizar arrisca receber um quarto que não queria a um preço calculado a partir da sua própria subvalorização. Duas salvaguardas contam mais do que qualquer teoria. Primeiro, as propostas têm de ser seladas e reveladas em simultâneo, porque uma revelação sequencial permite ao último jogar contra pessoas e não sobre quartos. Segundo, todos devem saber antes de licitar como os preços serão calculados, para que ninguém tenha de adivinhar o mecanismo enquanto adivinha os quartos.

O método funciona com quatro, cinco ou mais colegas?

Sim, e a matemática não muda; só a busca cresce. Três pessoas dão seis atribuições possíveis, quatro dão vinte e quatro, cinco dão cento e vinte, e a certa altura verificá-las à mão deixa de fazer sentido. O passo que está a executar é o clássico problema de atribuição, que algoritmos padrão resolvem eficientemente a qualquer dimensão de agregado, e o passo de fixar preços continua a ser um pequeno sistema de desigualdades. Existem implementações públicas — a ferramenta de divisão de renda do Spliddit e o interativo construído sobre o método de Su são as mais conhecidas — por isso com mais de quatro quartos use um solver e não uma folha de cálculo e uma tarde de sábado.

Como deve contar-se um casal que partilha um quarto?

Separe as duas perguntas. Para a renda, são um só licitante com um só orçamento: ocupam um quarto, apresentam um só conjunto de valores que soma a renda e pagam um só preço. Para tudo o que escala com o número de pessoas na casa — água, aquecimento, eletricidade, produtos de limpeza e a pressão real sobre a casa de banho e a cozinha — são dois, e uma divisão por cabeça dessas despesas é o tratamento honesto. Combinem isto antes de alguém se mudar e escrevam-no, porque é um dos dois ou três desacordos que aparecem sem falta mais tarde e é muito difícil de resolver depois de alguém sentir que anda a pagar a mais há meses.

Uma divisão privada muda o que devemos ao senhorio?

Não, e é aqui que a divisão justa acaba e o direito do arrendamento começa. Quem deve o quê a quem dentro do apartamento é um acordo privado entre colegas; quem deve o quê ao senhorio é determinado pelo contrato. Um contrato único, sobretudo com cláusula de solidariedade, pode tornar cada inquilino responsável perante o senhorio pela totalidade da renda independentemente da divisão interna, pelo que um colega que deixa de pagar deixa os outros expostos pelo montante todo. Contratos separados por quarto funcionam de outra maneira. Leia o documento e, quando o que está em jogo o justificar, procure aconselhamento no país onde arrenda em vez de confiar numa descrição geral.