O molde plano de um cone é um setor, não um círculo
Publicado a 02/09/2026 · 6 min de leitura · Calculadoras do dia a dia
Lena Hoffmann — Redatora de Ciência e Educação na Allin
Matemática · Física
Verificado a partir de 3 fontes
Um cone desenrola-se num setor circular cujo raio é a geratriz e cujo ângulo vale 360° vezes o raio da base a dividir por essa geratriz. Para um cone de 50 mm de raio de base e 80 mm de altura a geratriz é √(50² + 80²) = 94,34 mm, pelo que o molde é um setor de 94,34 mm que abrange 360 × 50 ÷ 94,34 = 190,8 graus. Um tronco de cone desenrola-se num setor anular — a mesma construção com a ponta cortada — pelo que um tronco de raios 50 e 20 mm sobre 80 mm tem um raio exterior de molde de 142,40 mm, um interior de 56,96 e um setor de 126,4 graus. O ângulo nunca chega a 360 graus num cone real: isso seria um disco plano.
Enrola um cone de 50 mm de raio e 80 mm de altura: o seu molde é uma fatia de 190,8° num círculo de 94 mm. Desenrola um abajur quase cilíndrico e o raio do molde chega a 839 mm — quanto menor a conicidade, mais longe o vértice.
Porque o ângulo vale 360 vezes o raio sobre a geratriz
O círculo de base do cone tem de se tornar o arco exterior do setor quando o molde é enrolado, pelo que esses dois comprimentos têm de ser iguais. A circunferência da base é 2πr. O arco de um setor de raio s e ângulo θ é 2πs vezes θ a dividir por 360. Iguala e tudo se simplifica exceto θ = 360 r ÷ s. Essa única linha é toda a construção, e é por isso que o ângulo do setor depende apenas da razão raio/geratriz e nada do tamanho do cone.
Dois limites saem daí diretamente. Um cone muito plano tem uma geratriz mal mais longa do que o seu raio: a razão tende para um e o ângulo para 360 graus — o molde torna-se um disco a que falta uma lasca, 353 graus a dez milímetros de altura. Um cone muito alto tem uma geratriz muito mais longa do que o raio: a razão tende para zero e o setor reduz-se a uma bicada — 44,7 graus a 400 mm de altura. Nada pelo meio surpreende assim que se tem a fórmula.
Um tronco de cone tem um vértice a que nunca chega
O molde de um tronco de cone traça-se a partir do vértice do cone completo de onde foi cortado, embora esse vértice não esteja em parte alguma do objeto. É por isso que o raio exterior do molde de um tronco excede a sua geratriz: para o tronco de 50/20 mm sobre 80 mm, a geratriz é 85,44 mm mas o raio exterior do molde é 142,40 — os 56,96 mm a mais são o pedaço retirado, e tornam-se o raio interior do setor anular.
A consequência é a que apanha quem faz abajures. À medida que o raio superior se aproxima do inferior, o vértice imaginário foge para o infinito e o raio do molde com ele. Mantendo 100 mm de raio inferior e 250 mm de altura, o raio do molde é de 269 mm para um cone completo, 633 mm com 60 mm em cima, 1254 mm com 80, 2502 mm com 90 e 25 metros com 99. Um abajur que cabe numa mão pede um compasso que não se vende.
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O raio do molde é enorme, mas o molde não é. Toma o abajur: 200 mm de diâmetro em baixo, 140 em cima, 250 de altura. A sua geratriz é 251,8 mm, o raio exterior do seu molde 839 mm, e o seu setor apenas 42,9 graus. Esse setor é uma tira de 252 mm de largura — a diferença entre os raios exterior e interior — e de 628 mm de comprimento ao longo do arco exterior. Cabe numa folha de 30 por 70 centímetros, embora o círculo de onde vem tenha 1,68 metros.
Portanto não traces o círculo. Fixa um cordel de 839 mm a um ponto no chão, ou usa uma ripa com dois furos a 839 e 587 milímetros, e varre apenas os quarenta e três graus úteis. Ou salta o arco: marca o comprimento do arco exterior ao longo de uma régua flexível pousada na curva e une os pontos, que é o que a tela da ferramenta faz e o que uma oficina faz com uma vara de traçar. A geometria é exata nos dois casos; só o método de traçado tem de ser praticável.
| Altura | Geratriz | Ângulo do setor | Aspeto do molde |
|---|---|---|---|
| 10 mm | 51,0 mm | 353,0° | Quase um disco inteiro |
| 30 mm | 58,3 mm | 308,7° | Um disco a que falta uma fatia |
| 50 mm | 70,7 mm | 254,6° | Dois terços de disco |
| 80 mm | 94,3 mm | 190,8° | Pouco mais de meio disco |
| 150 mm | 158,1 mm | 113,8° | Menos de um terço |
| 400 mm | 403,1 mm | 44,7° | Uma fatia estreita |
Perguntas frequentes
- Quanto material gasta um cone?
- A área lateral é π vezes o raio vezes a geratriz num cone completo, e π vezes a soma dos dois raios vezes a geratriz num tronco. O cone de 50 mm e 80 mm de altura gasta 148,2 cm²; o tronco de 50/20 mm à mesma altura gasta 187,9 — mais material para menos volume, o que surpreende até se reparar que o tronco é mais largo em toda a sua altura. Junta uma margem de costura por uma borda direita e, num abajur, uma dobra nos dois arcos.
- Posso obter o molde sabendo só a geratriz?
- Sim, e é muitas vezes a medida mais natural de tirar de um objeto existente — uma fita corrida pelo lado inclinado dá a geratriz diretamente. A ferramenta pede a altura porque é o que um desenho costuma indicar, mas as duas são intercambiáveis por Pitágoras: altura = √(geratriz² − raio²) num cone completo, e √(geratriz² − (r₁ − r₂)²) num tronco. Mede a que consegues medir com precisão e deduz a outra.
- Porque é que o meu cone enrolado não fecha exatamente?
- Quase sempre por causa da espessura do material. A fórmula descreve uma superfície sem espessura, pelo que dá o molde da superfície média; enrola uma chapa de 2 mm e o exterior percorre mais caminho do que o interior, o que aparece como sobreposição ou folga na costura. Em chapa, a correção de ofício é calcular sobre a fibra neutra — a meia espessura — e em cartão ou tecido um milímetro de ajuste na costura absorve-o. Cortar à superfície média e prever uma junta sobreposta em vez de topo a topo é a resposta prática.
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Fontes
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