Como encontrar a distância entre dois pontos

Porque a fórmula é, na verdade, Pitágoras

Marque dois pontos, trace uma horizontal a partir de um e uma vertical a partir do outro. Elas cruzam-se em ângulo reto e formam um triângulo retângulo cujos catetos são a diferença horizontal (x₂−x₁) e a vertical (y₂−y₁). A distância em linha reta entre os pontos é a hipotenusa desse triângulo.

Pitágoras diz cateto² + cateto² = hipotenusa², logo (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² = d². Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados obtém-se d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). É toda a fórmula — nada a decorar que o triângulo não explique, e por isso também se estende a três dimensões acrescentando um termo (z₂−z₁)².

Um exemplo resolvido do início ao fim

Tome os pontos A = (1, 2) e B = (4, 6). A diferença horizontal é x₂−x₁ = 4−1 = 3 e a vertical y₂−y₁ = 6−2 = 4. Ao quadrado: 3² = 9 e 4² = 16. A soma é 25, e √25 = 5, logo A e B estão exatamente a 5 unidades.

O ponto médio de A e B — o ponto a meio do segmento — faz a média das coordenadas: ((1+4)/2, (2+6)/2) = (2,5, 4). Confirme: a distância de A ao ponto médio é √(1,5² + 2²) = √(2,25 + 4) = √6,25 = 2,5, metade de 5, exatamente como esperado.

Erros comuns e verificações rápidas

O erro mais comum é elevar ao quadrado antes de subtrair — escrever x₂² − x₁² em vez de (x₂−x₁)². Não são iguais, e é a segunda forma que a fórmula exige. Calcule sempre primeiro a diferença e depois eleve-a ao quadrado. Uma diferença negativa não é problema: o quadrado torna-a positiva, por isso trocar os pontos dá o mesmo resultado.

Para uma verificação rápida, a distância nunca pode ser menor do que a diferença horizontal ou vertical isolada — a hipotenusa é sempre o maior lado. Se o seu resultado ficar menor que 3 no exemplo acima, cometeu um erro de cálculo. E se ambos os pontos partilharem o x ou o y, a fórmula reduz-se a uma simples subtração, útil para testar o seu método.

Perguntas frequentes

Importa qual ponto chamo de primeiro?

Não. Como cada diferença é elevada ao quadrado, (x₂−x₁)² = (x₁−x₂)², logo trocar os pontos dá exatamente a mesma distância. Escolha a ordem mais fácil de subtrair.

Como encontro o ponto médio entre dois pontos?

Faça a média das coordenadas: o ponto médio é ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Para (1, 2) e (4, 6) é (2,5, 4). O ponto médio está sempre sobre a reta que une os dois pontos.

A fórmula funciona em três dimensões?

Sim. Acrescente uma terceira diferença ao quadrado para o eixo z: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²). A mesma ideia de Pitágoras estende-se a qualquer número de dimensões somando um termo ao quadrado por eixo.

A distância pode ser negativa?

Não. Uma distância é um comprimento, e a raiz quadrada da fórmula devolve o valor não negativo. É zero apenas quando os dois pontos coincidem, e positiva nos restantes casos.