Como calcular o declive de uma reta: variação vertical sobre horizontal

Variação vertical sobre horizontal, passo a passo

O declive responde a uma pergunta simples: ao avançar pela reta para a direita, quanto sobe ou desce? A subida é a variação vertical e o avanço a variação horizontal, e o seu quociente é o declive. Como uma reta tem uma inclinação constante, dois pontos quaisquer dão sempre o mesmo número.

A única regra a respeitar é a ordem: subtraia as coordenadas no mesmo sentido em cima e em baixo. Para (1, 2) e (4, 8), fazer (8 − 2) / (4 − 1) = 2 está correto, e também (2 − 8) / (1 − 4) = −6 / −3 = 2. O que estraga tudo é misturar a ordem — (8 − 2) / (1 − 4) = 6 / −3 = −2 — que inverte o sinal e dá um resultado errado.

O que significa o sinal do declive

Um declive positivo: a reta sobe da esquerda para a direita, como uma ladeira. Um declive negativo: desce. Quanto maior a magnitude, mais íngreme é a reta: um declive de 5 é muito mais íngreme que um de 0,5, e um de −3 cai acentuadamente. O sinal dá a direção e o tamanho a inclinação.

Dois casos especiais destacam-se. Uma reta horizontal tem declive zero: nunca sobe, a subida é 0 e 0 dividido por qualquer avanço é 0. Uma reta vertical tem declive indefinido: o avanço é 0, e dividir por zero não é permitido, logo o declive não existe. Estes dois extremos delimitam todas as outras retas.

O declive na equação da reta e na vida real

O declive é o m da equação y = mx + b, onde b é a ordenada na origem, o ponto onde a reta corta o eixo vertical. Uma vez conhecido o declive por dois pontos, substitua qualquer um deles em y = mx + b para achar b e tem a equação completa. A partir daí pode prever o valor y para qualquer x.

A ideia aparece por todo o lado fora da sala de aula. O declive de uma estrada exprime-se em percentagem, uma inclinação de 6% sobe 6 metros por cada 100 percorridos. Uma rampa para cadeira de rodas de 1 em 12 sobe uma unidade por cada 12 de comprimento. Num gráfico de distância sobre tempo, o declive é a velocidade. O declive transforma a imagem de uma reta numa taxa utilizável.

Perguntas frequentes

Importa qual chamo de ponto 1?

Não, desde que seja coerente. Qualquer que seja o ponto que nomeie primeiro, use as suas coordenadas primeiro em cima e em baixo da fração. Se subtrair os valores y numa ordem e os x na outra, inverte o sinal e obtém um declive errado.

Qual é o declive de uma reta horizontal?

Zero. Uma reta horizontal nunca sobe nem desce, logo y₂ − y₁ = 0, e zero dividido por qualquer avanço não nulo é zero. A sua equação é simplesmente y = b, uma constante. Isto é diferente de uma reta vertical, cujo declive é indefinido.

Como converto um declive em percentagem?

Multiplique o declive por 100. Um declive de 0,06 é uma inclinação de 6%, ou seja 6 unidades de subida por 100 de distância horizontal. É assim que sinais e rampas exprimem a inclinação, apenas o quociente subida/avanço em escala.

Como se relacionam os declives de retas paralelas e perpendiculares?

As retas paralelas têm declives iguais, pois sobem ao mesmo ritmo. As retas perpendiculares têm declives inversos e simétricos: multiplicando-os dá −1. Assim uma reta de declive 2 é perpendicular a uma de declive −1/2.