Os descontos acumulados não se somam

Os descontos multiplicam-se, não se somam

Pense no que sobrevive em vez do que é retirado. Um desconto de 20 % deixa 80 % do preço, ou seja uma multiplicação por 0,80. Mais 10 % deixam 90 % do que estiver à frente, uma multiplicação por 0,90. Aplicar ambos deixa 0,80 × 0,90 = 0,72 do original, portanto o desconto total é 1 − 0,72 = 0,28, vinte e oito por cento. O segundo corte é menor em valor absoluto do que o primeiro porque opera sobre um número mais pequeno — os dois pontos em falta são exatamente 10 % dos 20 % já retirados. É esse todo o mecanismo, e generaliza-se de imediato: para qualquer cadeia de descontos, a fração sobrevivente é o produto das frações sobreviventes individuais, e o desconto total é 1 − Π(1 − dᵢ).

A tabela acima percorre as combinações habituais. Repare como o erro da soma ingénua cresce com o tamanho dos cortes: 20 % e 10 % sobrestima apenas dois pontos, mas 40 % e 30 % sobrestima doze, e uma loja que anuncia 50 % e depois 30 % e depois 20 % está longe de oferecer a mercadoria — o número real é 72 %, não 100 %. Na verdade, nenhuma cadeia de descontos vulgares consegue chegar aos 100 %, porque cada fator é estritamente positivo e o produto também. Cem cortes sucessivos de 10 % deixam ainda 0,9¹⁰⁰, pequeno mas não nulo. É uma verificação de bom senso útil ao ler uma oferta: se os descontos anunciados somarem mais de 100 %, a aritmética não está a ser feita como a faria.

A ordem é irrelevante para percentagens e decisiva para vales

Dois descontos percentuais comutam, e prova-se numa linha: 0,80 × 0,90 e 0,90 × 0,80 são ambos 0,72. Num artigo de 120 € paga 86,40 € em qualquer ordem que a caixa os aplique, portanto qualquer discussão ao balcão sobre qual promoção vai primeiro é fôlego perdido. Não é uma coincidência destes números concretos; a multiplicação é comutativa para qualquer par, logo nenhuma ordenação de percentagens puras pode mudar o resultado. Se uma loja afirmar o contrário, uma das ofertas não é uma percentagem.

Acrescente um vale de valor fixo e a simetria desmorona-se, porque subtrair uma constante e multiplicar por um fator não comutam. Tome um artigo de 120 € com uma promoção de 25 % e um vale de 20 €. Primeiro a percentagem: 120 × 0,75 = 90 €, menos o vale, 70 €. Primeiro o vale: 120 − 20 = 100 €, menos 25 %, 75 €. Cinco euros bem reais separam os dois caminhos, e a diferença não é arbitrária — é sempre o vale multiplicado pela taxa de desconto, aqui 20 × 0,25 = 5. Suba os números e o que está em jogo cresce: num artigo de 200 € com 40 % de desconto e um vale de 30 €, a percentagem primeiro dá 90 € e o vale primeiro dá 102 €, uma diferença de 30 × 0,40 = 12 €. A percentagem primeiro é sempre melhor para o cliente e o vale primeiro é sempre melhor para a loja, e é por isso que a ordem é escrita nas condições em vez de deixada ao acaso.

O que o imposto faz à resposta — e não é igual dos dois lados do Atlântico

Na Europa o preço exibido já inclui o IVA, pelo que um desconto percentual incide exatamente sobre o que paga. Tome um artigo de 120 € num país com IVA de 20 %: a etiqueta contém 100 € sem imposto e 20 € de IVA. Com 20 % de desconto paga 96 €, dos quais 80 € sem imposto e 16 € de IVA. Poupa exatamente 24 €, ou seja exatamente 20 % do que teria pago — nenhuma surpresa na caixa. A razão é que o desconto e o IVA são duas multiplicações que comutam: aplicar 0,80 ao preço com imposto ou ao preço sem imposto antes de voltar a acrescentar o IVA dá os mesmos 96 €. O sistema de preço com imposto incluído torna, portanto, a promessa literalmente verdadeira.

O caso interessante, em regime de preço com imposto incluído, é o vale de valor fixo, porque leva consigo a sua parte de IVA. Um vale de 20 € sobre esse artigo de 120 € deixa 100 € a pagar, dos quais 83,33 € sem imposto e 16,67 € de IVA: o próprio vale decompõe-se em 16,67 € sem imposto e 3,33 € de IVA. O comerciante não oferece, portanto, 20 € de margem: oferece 16,67 € de faturação e recupera o IVA correspondente. Isso explica por que as cadeias preferem muitas vezes os vales aos descontos percentuais em cestos elevados, e por que as condições quase sempre precisam por que ordem se aplicam as vantagens — um detalhe que, como vimos, vale o vale multiplicado pela taxa de desconto.

Ao contrário: o desconto único equivalente

A pergunta que quem compra faz de facto não é o que a combinação faz, mas a que desconto único equivale, e isso sai diretamente da mesma fórmula: multiplique as frações sobreviventes e subtraia de um. Uma combinação de 20 % e 10 % equivale a 28 %. Uma de 25 % e 15 % equivale a 36,25 %. Uma de 50 %, 30 % e 20 % equivale a 72 %. Ler as ofertas assim torna-as comparáveis num relance, que é a única forma de saber se os 35 % planos de um concorrente batem a loja da frente que anuncia 25 % mais 15 % adicionais. Batem por pouco: 35 % contra 36,25 % é uma derrota por pouco mais de um ponto.

A mesma fórmula responde à pergunta de conceção do outro lado. Se quiser uma promoção em dois passos que aterre exatamente em 50 % de desconto, dois cortes de 25 % não servem — isso dá 43,75 %. Dois descontos iguais d que se combinem em 50 % têm de satisfazer (1 − d)² = 0,5, portanto d = 1 − √0,5 = 29,29 %. E se estiver a construir uma combinação de cartaz, lembre-se de que o primeiro corte faz quase todo o trabalho: depois de um desconto de 50 %, um 20 % adicional só retira mais dez pontos do preço original. O ganho comercial de uma longa cadeia de pequenas ofertas adicionais é muito menor do que parece no cartaz, e é precisamente por isso que as cadeias longas acabam nos cartazes.

A margem que desfaz um desconto é maior do que o desconto

Um desconto de 20 % leva um preço a 80 % de si mesmo. Para voltar ao original é preciso dividir por 0,80, o que é multiplicar por 1,25 — uma margem de 25 %, não de 20 %. A regra geral é que reverter um desconto de d exige uma margem de d ÷ (1 − d), e as duas só convergem para valores muito pequenos. Depois de um desconto de 25 % precisa de 33,33 %. Depois de 30 %, precisa de 42,86 %. Depois de 50 %, precisa de duplicar o preço. Esta assimetria não é uma curiosidade: é a razão pela qual um retalhista que marca um custo de 100 com 20 % até 120, e depois anuncia 20 % de desconto, vende a 96 e perde quatro por cento sobre o custo. Marcar uma margem percentual e descontar a mesma percentagem nunca fica empatado.

Isto conta quando um desconto é negociado numa unidade e tarifado noutra. Se um comprador pede 15 % de desconto e o vendedor tem 15 % de margem bruta, concedê-lo não reduz o lucro a metade — elimina-o por completo e mais alguma coisa, porque a margem foi calculada sobre o preço de venda enquanto o desconto se aplica a esse mesmo preço de venda. A forma rigorosa de conduzir estas conversas é converter tudo em multiplicadores antes de aceitar seja o que for: custo vezes margem dá o preço, preço vezes (1 − desconto) dá o montante recebido, e os dois só são comparáveis nessa forma. Percentagens expressas sobre bases diferentes não se somam, e neste caso concreto o erro aritmético paga-se diretamente no resultado.

Perguntas frequentes

20 % de desconto mais outros 10 % é o mesmo que 30 %?

Não. É 28 %. O primeiro corte deixa 80 % do preço e o segundo deixa 90 % disso, portanto sobrevive 0,80 × 0,90 = 0,72, e o desconto total é 1 − 0,72 = 0,28. Os dois pontos em falta são exatamente 10 % dos 20 % já retirados, porque o segundo desconto se aplica a um número mais pequeno. A regra geral é que o total é 1 menos o produto das frações sobreviventes, e a soma ingénua sobrestima-o sempre — tanto mais quanto maiores forem os cortes. 30 % e 20 % dão 44 % e não 50 %; 40 % e 30 % dão 58 % e não 70 %; 50 %, depois 30 %, depois 20 % dão 72 % e não os 100 % que a adição sugere. Nenhuma cadeia de descontos percentuais vulgares consegue chegar aos 100 %, o que é uma verificação útil de qualquer anúncio.

A ordem dos descontos muda o preço final?

Não para percentagens, e de forma decisiva para vales de valor fixo. Dois descontos percentuais comutam porque a multiplicação comuta: 0,80 × 0,90 e 0,90 × 0,80 são ambos 0,72, portanto um artigo de 120 € custa 86,40 € em qualquer ordem que a caixa aplique. Meta um vale na cadeia e os dois caminhos separam-se. Num artigo de 120 € com 25 % de desconto e um vale de 20 €, primeiro a percentagem dá 120 × 0,75 = 90 €, menos 20 € são 70 €; primeiro o vale dá 120 − 20 = 100 €, menos 25 % são 75 €. A diferença é sempre o vale multiplicado pela taxa de desconto — aqui 20 × 0,25 = 5 € — e cresce portanto com ambos. Num artigo de 200 € a 40 % com um vale de 30 €, a diferença é 30 × 0,40 = 12 €. Primeiro a percentagem favorece o cliente, primeiro o vale favorece a loja, e condições sérias indicam qual se aplica.

Como é que o IVA afeta um desconto?

Na Europa o preço exibido já inclui o IVA, pelo que um desconto percentual incide exatamente sobre o que paga e não há surpresas na caixa. Um artigo de 120 € num país com IVA de 20 % contém 100 € sem imposto e 20 € de imposto. Com 20 % de desconto paga 96 €, ou seja 80 € sem imposto e 16 € de IVA, e poupa exatamente 24 €. A razão é que o desconto e o IVA são duas multiplicações que comutam: aplicar 0,80 ao preço com imposto ou ao preço sem imposto antes de acrescentar o IVA dá o mesmo resultado. Os vales de valor fixo comportam-se de outra forma, porque levam consigo a sua parte de imposto: um vale de 20 € sobre esse artigo deixa 100 € a pagar, isto é 83,33 € sem imposto e 16,67 € de IVA, e o próprio vale decompõe-se em 16,67 € sem imposto mais 3,33 € de IVA.

A que desconto único equivale uma combinação?

Multiplique as frações sobreviventes e subtraia o resultado de um: o desconto único equivalente é 1 − Π(1 − dᵢ). Uma combinação de 20 % e 10 % equivale a 28 %; 25 % e 15 % equivale a 36,25 %; 30 % e 20 % equivale a 44 %; 50 %, 30 % e 20 % juntos equivalem a 72 %. Converter cada oferta no seu equivalente único é a única forma fiável de as comparar, e resolve depressa as discussões: uns 35 % planos perdem para uns 25 % seguidos de 15 %, porque estes últimos valem 36,25 %. A fórmula também funciona ao contrário quando desenha uma promoção. Dois cortes iguais que tenham de se combinar exatamente em 50 % não são de 25 % cada — satisfazem (1 − d)² = 0,5, portanto d = 1 − √0,5 = 29,29 %. Note que nenhuma cadeia de descontos percentuais vulgares chega alguma vez aos 100 %, porque um produto de fatores estritamente positivos é estritamente positivo.

Que margem reverte um desconto de 20 %?

Vinte e cinco por cento, não vinte. Um desconto de 20 % deixa 80 % do preço, portanto repor o original significa dividir por 0,80, o que é multiplicar por 1,25. A regra geral é que reverter um desconto de d exige uma margem de d ÷ (1 − d): depois de um corte de 25 % precisa de 33,33 %, depois de 30 % precisa de 42,86 %, e depois de 50 % precisa de duplicar o preço. A assimetria tem uma consequência comercial direta. Um retalhista que marca um custo de 100 com 20 % até chegar a 120, e depois anuncia 20 % de desconto, vende a 96 e fica quatro por cento abaixo do custo — marcar margem e descontar a mesma percentagem nunca fica empatado, porque as duas percentagens se calculam sobre bases diferentes. Se negoceia descontos contra uma margem bruta, converta tudo em multiplicadores antes de aceitar: conceder 15 % de desconto quando a sua margem bruta é de 15 % não reduz o lucro a metade, elimina-o.