Pontos percentuais não são por cento

Duas afirmações verdadeiras sobre um mesmo movimento

A confusão não está em que uma descrição seja certa e a outra falsa. Está em que ambas são corretas e medem coisas diferentes. Um ponto percentual é uma diferença na própria escala: 5 % menos 4 % é um ponto percentual, tal como cinco metros menos quatro metros é um metro. Uma variação em por cento é um rácio: a subida de um, dividida pelo valor de partida de quatro, dá 0,25, portanto a taxa subiu vinte e cinco por cento. A primeira responde a "quanto se moveu na escala", a segunda a "quanto maior é do que era". Uma taxa pode mover-se muito numa medida e quase nada na outra, e nada nas palavras por cento e ponto percentual diz ao leitor qual se pretende.

A tabela acima torna a divergência visível com sete pares. Repare que a coluna dos pontos e a dos por cento se movem de forma independente: uma subida de um ponto vale cem por cento partindo de 1 %, cinquenta por cento partindo de 2 % e vinte e cinco por cento partindo de 4 %, ao passo que uma subida de cinco pontos vale vinte e cinco por cento desde 20 % e apenas dez por cento desde 50 %. A leitura relativa é inversamente proporcional à base, o que significa que quem reporta uma variação a partir de uma base pequena pode produzir uma percentagem impressionante quase à vontade. O truque inverso também funciona: reporte uma variação a partir de uma base grande em termos relativos e parecerá trivial. Nenhum dos dois é mentira. Ambos são escolhas sobre que número verdadeiro imprimir.

Onde a diferença muda a decisão

Tome uma taxa de juro. Um empréstimo a trinta anos de 300 000 € a 4 % custa 1 432,25 € por mês; a 5 % custa 1 610,46 €. Isso é um ponto percentual na taxa, mais 12,4 % na prestação mensal e mais 64 158,83 € de juros totais — uma subida de 29,8 % naquilo que entrega ao credor ao longo do empréstimo. Três percentagens legítimas, um único movimento de fundo, e cada uma sustenta uma frase diferente. Se um intermediário lhe disser que a taxa subiu "apenas um ponto" e um comentador afirmar que o custo do crédito "disparou trinta por cento", estão a descrever o mesmo acontecimento e nenhum lhe mente.

A mesma divisão aparece na fiscalidade e na conversão. Suba uma taxa de imposto sobre o rendimento de 20 % para 22 %: a taxa mexeu-se dois pontos, a fatura fiscal subiu 10 %, e o líquido passou de 80 % para 78 % do bruto — uma queda de apenas 2,5 % em relativo. Sobre um rendimento de 50 000, isso são 10 000 de imposto que passam a 11 000, e 40 000 líquidos que passam a 39 000. Três manchetes, todas defensáveis, todas a apontar em direções diferentes. Do lado comercial o efeito joga a seu favor: subir uma taxa de conversão de 2,0 % para 2,5 % é meio ponto percentual, o que soa desprezável, mas é um ganho relativo de 25 % — sobre 100 000 sessões, 2 000 encomendas passam a 2 500, e com um valor médio de encomenda de 60 a faturação passa de 120 000 para 150 000. Meio ponto vale 30 000. A regra vale para ler e para escrever: diga sempre que medida usa, e se uma fonte não o fizer, calcule a outra antes de agir.

Subir e descer a mesma percentagem não devolve ao ponto de partida

Multiplique, não some. Uma subida de x é uma multiplicação por (1 + x) e uma descida de x uma multiplicação por (1 − x), portanto fazer ambas em qualquer ordem multiplica por (1 + x)(1 − x). Desenvolva e os termos cruzados anulam-se: o produto é 1 − x². É sempre menor que 1 para qualquer x não nulo, logo acaba sempre abaixo de onde começou, e a falta é exatamente o quadrado do movimento. Suba 10 % e desça 10 %: fica com 0,99, uma perda de 1 %. Suba 20 % e desça 20 %: fica com 0,96, uma perda de 4 %. Suba 50 % e desça 50 %: fica com 0,75 — um quarto do valor evaporou-se em dois movimentos que parecem compensar-se. A ordem é indiferente, porque a multiplicação comuta, o que é outra forma de dizer que a perda é estrutural e não uma questão de sequência.

O corolário prático é a regra de recuperação, aquela em que mais se erra quando há dinheiro em jogo. Para desfazer uma queda de d é preciso uma subida de d ÷ (1 − d), sempre maior. Depois de uma queda de 20 % é preciso 25 % para voltar. Depois de 25 %, é preciso 33,33 %. Depois de 50 %, é preciso 100 % — duplicar — para regressar ao ponto inicial. É por isso que as quedas máximas de carteira são citadas com tanto cuidado, por isso um desconto e a margem que o reverte nunca são o mesmo número, e por isso fazer a média de variações percentuais entre períodos não significa nada se não multiplicar os fatores e tirar a raiz. Some percentagens apenas quando partilham base; caso contrário, multiplique.

Percentagens de bases diferentes não se somam

Uma percentagem não significa nada sem o número de que é percentagem, e duas percentagens calculadas sobre bases diferentes não são comparáveis. Se um departamento corta custos em 10 % e outro em 20 %, a empresa não cortou custos em 30 %, nem em 15 %, nem em qualquer número dedutível apenas desses dois — são precisos os orçamentos reais. Fazer a média sem ponderar é a versão mais comum do erro, e assume em silêncio que as duas bases são iguais. A mesma armadilha aninha-se em todo o resumo de inquérito que dá percentagens por subgrupo e depois cita um número global: a menos que os subgrupos tenham o mesmo tamanho, a percentagem global não é a média das percentagens por subgrupo, e a discrepância chega por vezes para inverter a conclusão.

A armadilha de redação associada é "de" contra "mais do que". Cento e cinquenta por cento de 80 é 1,5 × 80 = 120. Cento e cinquenta por cento mais do que 80 é 80 + 1,5 × 80 = 200. Os dois diferem do montante original, e a distância cresce com o multiplicador, o que torna a formulação digna de uma segunda leitura em qualquer contrato ou orçamento. O mesmo vale no extremo pequeno: "duas vezes mais rápido" e "cem por cento mais rápido" dizem o mesmo, ao passo que "duzentos por cento mais rápido" significa três vezes mais rápido, não duas. Na dúvida, reformule a afirmação como multiplicador — essa forma não tem ambiguidade nenhuma.

Pontos base: a solução que as finanças adotaram mesmo

Os mercados movem taxas em incrementos pequenos e não podem dar-se ao luxo de uma frase com duas leituras, por isso inventaram uma unidade que só tem uma. Um ponto base é um centésimo de ponto percentual: 100 pontos base são um ponto percentual, 25 pontos base são um quarto de ponto. Um banco central que sobe taxas 25 pontos base leva 4,00 % a 4,25 %, sem ambiguidade — e isso é uma subida relativa de 6,25 %, precisamente o número que teria dado discussão se alguém tivesse escrito "um quarto de por cento". A unidade é aditiva na escala por construção, pelo que os pontos base se somam e subtraem sem pensar, que é exatamente o que uma mesa de negociação precisa.

Vale a pena interiorizar o que um ponto base compra. Vinte e cinco pontos base sobre um milhão de capital são 2 500 por ano: 4,00 % rende 40 000 e 4,25 % rende 42 500. Um número pequeno na taxa e um número real no fluxo de caixa, e esse desencontro é toda a razão de ser da unidade. Pode pedir emprestada essa disciplina fora das finanças sem custo. Reporte taxas de conversão, taxas de erro, quotas de mercado e cobertura vacinal em pontos quando quiser dizer a diferença na escala, em por cento quando quiser dizer a variação relativa, e diga qual das duas na mesma frase. Custa três palavras a mais e elimina toda uma classe de discussões.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre um ponto percentual e um por cento?

Um ponto percentual é a diferença aritmética entre duas percentagens; uma variação em por cento é a diferença relativa. Passar de 4 % para 5 % é uma subida de um ponto percentual, porque 5 − 4 = 1, e simultaneamente uma subida de vinte e cinco por cento, porque 1 ÷ 4 = 0,25. Ambas as descrições são corretas e respondem a perguntas diferentes: a primeira pergunta quanto a taxa se moveu na escala, a segunda quanto maior é do que antes. A distância entre as duas leituras alarga à medida que a base encolhe — um ponto é cem por cento a partir de uma base de 1 %, cinquenta por cento a partir de 2 %, vinte e cinco por cento a partir de 4 % e apenas dois por cento a partir de 50 %. Sempre que reportar uma variação numa taxa, nomeie a medida explicitamente, porque o leitor não a consegue inferir e os dois números podem diferir numa ordem de grandeza.

Se um preço sobe 50 % e depois desce 50 %, volta ao ponto de partida?

Não. Acaba nos 75 % do original, uma perda de um quarto. Uma subida de x multiplica por (1 + x) e uma descida de x por (1 − x), portanto o par multiplica por (1 + x)(1 − x) = 1 − x². Para x = 0,5 isso é 1 − 0,25 = 0,75. A falta é sempre o quadrado do movimento, logo é pequena para movimentos pequenos e brutal para grandes: 10 % para cima e para baixo deixa 0,99, 20 % deixa 0,96, 50 % deixa 0,75 e 80 % deixa 0,36. A ordem não muda nada, porque a multiplicação comuta. O corolário é a regra de recuperação: desfazer uma queda de d exige uma subida de d ÷ (1 − d), portanto uma queda de 20 % exige 25 %, uma de 25 % exige 33,33 %, e uma de 50 % exige 100 % — duplicar — para voltar ao nível.

O que é um ponto base?

Um centésimo de ponto percentual, portanto 100 pontos base equivalem a um ponto percentual e 25 pontos base a um quarto de ponto. A unidade existe precisamente para matar a ambiguidade de que trata este artigo: um ponto base é sempre uma diferença na escala e nunca uma variação relativa, pelo que se soma e subtrai sem risco de má leitura. Uma taxa que sobe 25 pontos base a partir de 4,00 % passa a 4,25 %, o que é também uma subida relativa de 6,25 % — e esse segundo número é exatamente o que teria causado discussão se alguém tivesse escrito "um quarto de por cento". Foram os montantes financeiros que impuseram a convenção: 25 pontos base sobre um milhão de capital são 2 500 por ano, já que 4,00 % rende 40 000 e 4,25 % rende 42 500. Pode adotar a mesma disciplina em qualquer área que publique taxas.

Posso somar ou fazer a média de percentagens?

Só quando partilham a mesma base. Duas percentagens calculadas sobre denominadores diferentes não são comparáveis, portanto se um departamento corta custos 10 % e outro corta 20 %, a empresa não cortou 30 % nem 15 % — não pode responder sem os orçamentos reais. Fazer a média sem ponderar assume em silêncio bases iguais, a forma mais comum do erro, e é por isso que uma percentagem global de inquérito não costuma ser a média das percentagens por subgrupo, a não ser que estes tenham o mesmo tamanho. As variações sucessivas são piores: multiplicam-se, não se somam. Três quedas consecutivas de 10 % deixam 0,9³ = 0,729, uma queda total de 27,1 %, não de 30 %. Para fazer a média de uma série de variações, multiplique os fatores e tire a raiz de índice n — a média geométrica — em vez de fazer a média das percentagens.

"150 % de" significa o mesmo que "150 % mais do que"?

Não, e os dois diferem exatamente do montante original. Cento e cinquenta por cento de 80 é 1,5 × 80 = 120. Cento e cinquenta por cento mais do que 80 é 80 + 1,5 × 80 = 200. O primeiro é um multiplicador aplicado à base; o segundo é um aumento acrescentado por cima da base. A distância alarga à medida que a percentagem cresce, pelo que vale a pena reler a formulação em qualquer contrato, orçamento ou alegação de desempenho. A mesma distinção espreita nas comparações de velocidade e tamanho: "duas vezes mais rápido" e "cem por cento mais rápido" coincidem, mas "duzentos por cento mais rápido" significa três vezes mais rápido, não duas. Ao escrever, o hábito mais seguro é enunciar um multiplicador — "1,5 vezes" ou "2,5 vezes" — porque um multiplicador tem uma só leitura e não precisa de convenção nenhuma.

Quanto custa realmente uma subida de um ponto num empréstimo?

Bastante mais do que um por cento, e a resposta depende do número que olhar. Tome um empréstimo a trinta anos de 300 000 €. A 4 % a prestação mensal é de 1 432,25 €; a 5 % é de 1 610,46 €. Isso é um ponto percentual na taxa, mais 178,22 € por mês, e uma subida de 12,4 % na prestação. Olhe para os juros totais de todo o prazo e o quadro muda outra vez: 215 608,52 € a 4 % contra 279 767,35 € a 5 %, mais 64 158,83 €, uma subida de 29,8 %. Um movimento, três percentagens legítimas, cada uma a sustentar uma frase diferente — e é por isso que uma manchete a dizer que as taxas subiram "apenas um ponto" e outra a dizer que o custo do crédito "disparou trinta por cento" podem descrever o mesmo acontecimento sem que nenhuma seja falsa. Antes de assinar seja o que for, calcule o valor mensal e o valor do prazo completo, porque respondem a perguntas diferentes sobre o mesmo empréstimo.