Uma só leitura má multiplica o desvio-padrão por vinte

O ponto de rutura é o número que conta

Toda a estatística de resumo tem uma fração dos dados que se pode corromper antes de ela se tornar arbitrária, e para a média e o desvio-padrão essa fração é zero: um único valor levado suficientemente longe arrasta qualquer uma delas para onde se quiser. A mediana e o desvio absoluto mediano sobrevivem até metade dos dados estar errada, o máximo que uma estatística pode atingir — para lá de metade, não há forma de distinguir os valores corrompidos dos bons. Essa distância de zero a um meio é toda a diferença prática, e é por isso que registos de instrumentos, fluxos de sensores e tudo o que tenha um modo de falha plausível se resumem com estatísticas de ordem e não com médias.

Duas estatísticas diferentes partilham as mesmas iniciais

Desvio absoluto mediano e desvio absoluto médio abreviam-se ambos como MAD no uso corrente, e não são a mesma grandeza: o primeiro toma a mediana das distâncias à mediana, o segundo a média das distâncias à média. Só o primeiro é robusto — o segundo continua a ter um ponto de rutura nulo, porque a média aparece nele duas vezes. Um número rotulado MAD sem mais precisão é portanto ambíguo, e a diferença entre as duas leituras pode valer um fator de vinte precisamente no tipo de dados onde alguém recorreu a uma estatística robusta. Escreve qual das duas usas.

Perguntas frequentes

De onde vem o 1,4826?

De fazer com que as duas estatísticas coincidam em dados bem comportados. Para uma distribuição normal, o desvio absoluto mediano vale cerca de 0,6745 desvios-padrão, pelo que dividir por isso — equivalentemente multiplicar por 1,4826 — transforma um MAD numa estimativa de desvio-padrão que coincide quando nada correu mal. O fator é próprio da distribuição normal e de nenhuma outra, coisa a lembrar antes de citar um MAD escalado para dados visivelmente assimétricos. Sem escalar, o MAD continua a ser uma medida de dispersão perfeitamente válida; o fator existe só para que o número possa ser comparado com desvios-padrão citados noutro lado.

Deve preferir-se sempre a versão robusta?

Não, e o preço da robustez é a eficiência. Sobre dados limpos e bem comportados, o desvio-padrão extrai mais informação do mesmo número de observações do que o MAD — usa a grandeza real de cada valor e não a sua ordem, vantagem bem real quando nenhum valor está errado. A escolha versa portanto sobre o que se antecipa: estatísticas robustas para medições que podem falhar, clássicas para dados de confiança. Calcular ambas é muitas vezes a opção mais informativa, porque uma grande distância entre elas é em si mesma o achado: diz que algo nos dados não se comporta como o resto.