Der Erwartungswert ist eine Zahl, die nie eintritt

Die Wahrscheinlichkeiten müssen eins ergeben

Eine Menge, die nicht eins ergibt, ist keine Wahrscheinlichkeitsverteilung, und eine darauf gestützte Rechnung ist auf schwer erkennbare Weise sinnlos. 50, 30 und 20 einzutragen — Prozente, die der Wortlaut nicht verbot — lieferte einen hundertfach zu großen Erwartungswert, ohne jeden Hinweis auf ein Problem. Das Werkzeug prüft nun die Summe und gibt lieber nichts zurück als eine falsche Zahl, denn stilles Normieren hätte den Prozentfall gerettet und dabei einen Tippfehler wie 0,5 · 0,3 · 0,1 leise in eine Verteilung verwandelt, die niemand meinte. Kommt die Antwort leer zurück, liegt es an den Wahrscheinlichkeiten.

Ein positiver Erwartungswert ist kein Grund, die Miete zu setzen

Der Erwartungswert behandelt jede Geldeinheit als gleich viel wert wie jede andere — eine gute Näherung für kleine Einsätze und eine schlechte für große. Der Verlust einer Monatsmiete wird nicht durch eine gleich große Chance auf eine Monatsmiete aufgewogen, denn das eine Ergebnis nimmt eine Wohnung und das andere fügt einen Glücksfall hinzu. Diese Asymmetrie erklärt, warum ein günstiger Mittelwert eine notwendige und nie eine hinreichende Bedingung für eine gute Wette ist — die andere Hälfte der Frage lautet, wie viele Versuche der Mittelwert braucht, um sich durchzusetzen, und ob die schlimmste plausible Pechsträhne unterwegs noch etwas zum Weiterspielen lässt.

Häufige Fragen

Wie viele Versuche, bis sich der Durchschnitt einpendelt?

Es hängt von der Streuung der Ergebnisse ab, nicht von ihrem Mittel, und es sind meist weit mehr, als die Intuition nahelegt. Die Unsicherheit um einen beobachteten Durchschnitt schrumpft mit der Wurzel der Versuchszahl; sie zu halbieren verlangt viermal so viele. Bei einer Wette mit eng beieinanderliegenden Ergebnissen geben einige Dutzend Versuche ein stabiles Bild; bei einer, die einmal in siebenunddreißig das Fünfunddreißigfache zahlt, können Tausende Drehungen noch weit vom Erwartungswert entfernt enden, in beide Richtungen — genau deshalb beweist eine Glückssträhne nichts.

Können die Ergebnisse etwas anderes als Geld sein?

Ja — jede Größe, die sich addieren und multiplizieren lässt, taugt, und das trägt die Idee so weit. Erwartete Lieferzeit, erwartete Fehlerzahl in einer Charge, erwartete Reparaturkosten über eine Flotte oder erwartete Anrufe je Stunde an einem Servicedesk sind dieselbe Rechnung mit anderen Einheiten. Die einzige Bedingung ist, dass das Addieren der Größe etwas bedeutet: Eine erwartete Temperatur über drei Räume ist ein legitimer Mittelwert, ein Erwartungswert über Kategorien mit Zahlenetiketten — Postleitzahlen, Trikotnummern, Antwortcodes — dagegen Arithmetik ohne Gegenstand.