Ein r von 0,85, das nichts beweist

„73 Prozent erklärt“ ist eine Aussage über eine Gerade

r zu quadrieren ergibt 0,727, und die übliche Formulierung lautet, die Gerade erkläre 72,7 % der Varianz von y. Als technische Beschreibung einer Kleinste-Quadrate-Anpassung ist das exakt; als Alltagssprache lädt es zu einer kausalen Lesart ein, die niemand gerechnet hat. Die Arithmetik weiß nur, dass beide Spalten sich gemeinsam bewegen, und sie lieferte dieselben 0,727, wenn y x verursachte, wenn eine dritte Größe beide triebe oder wenn die Paarung ein Zufall einer kleinen Stichprobe wäre. Halte das Wort „erklärt“ in seiner Fachbedeutung, oder ersetze es durch „von der angepassten Geraden erfasst“ — länger, und genau das, was geschehen ist.

Ein einzelner Punkt kann die Korrelation schaffen — oder zerstören

Pearsons r baut auf quadrierten Abweichungen auf, sodass ein Wert fern der Wolke weit mehr zählt als einer nahebei. Bei fünf Punkten kann das Entfernen einer einzigen Beobachtung r stärker verschieben als der gesamte behauptete Effekt — deshalb verdient jede Korrelation auf kleiner Stichprobe, fünfmal gerechnet zu werden, jeweils mit einem ausgelassenen Punkt. Schwankt die Antwort, gehört die Korrelation dieser einen Beobachtung und nicht den Daten. Es ist dieselbe Schwäche, die vier grundverschiedene Punktwolken dasselbe r teilen lässt — und der Grund, warum die Grafik keine optionale Illustration, sondern Teil der Prüfung ist.

Häufige Fragen

Was gilt als starke Korrelation?

Das hängt ganz vom Fach ab, und die in Kursen verteilten Schwellentabellen sind Konventionen, keine Tatsachen. In der Physik kann ein r von 0,95 auf ein Geräteproblem hindeuten; in Psychologie oder Ökonomie kann 0,4 ein gewichtiger Befund sein, weil das Ergebnis Dutzende Ursachen hat und von einer Variablen nie erwartet wird, das meiste davon zu tragen. Was zwischen Fächern trägt, ist keine Schwelle, sondern eine Gewohnheit: Nenne r zusammen mit Stichprobengröße, Punktwolke und Konfidenzintervall um r — und lass den Leser urteilen.

Was nehmen, wenn der Zusammenhang keine Gerade ist?

Spearmans Rangkorrelation ist der übliche erste Schritt: Sie ersetzt jeden Wert durch seinen Rang und erkennt daher jeden Zusammenhang, der durchgängig steigt oder fällt, ob gekrümmt oder nicht — und lässt sich von einem Extremwert weit weniger stören. Eine Form, die erst steigt und dann fällt, wie die obige Parabel, entgeht ihr weiterhin, denn auch die Ränge steigen und fallen. Dafür transformiere die Variable, bis der Zusammenhang gerade wird — quadrieren, logarithmieren —, oder passe ein Modell an, das die Form enthält; die Grafik sagt, welches.