Modulare-Exponentiation-Rechner

Berechne aᵇ mod n effizient mit schneller Exponentiation (Quadrieren und Multiplizieren) und Großzahlen — selbst riesige Potenzen reduzieren sich im Sekundenbruchteil. Eine negative oder zu große Basis wird zuerst in den Bereich 0…n−1 gebracht, und negative Exponenten werden unterstützt, wenn die Basis modulo n invertierbar ist. Dies ist die Kernoperation von RSA, Diffie–Hellman und Primzahltests.

Das interaktive Tool braucht JavaScript. Alles andere auf dieser Seite — wie es funktioniert, ein durchgerechnetes Beispiel und die Antworten auf die üblichen Fragen — steht weiter unten und braucht nichts.

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Modulares-Inverses-RechnerFinde a⁻¹ mod m — die Zahl x mit a·x ≡ 1 (mod m) — mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus. Ein Inverses existiert genau dann, wenn ggT(a, m) = 1; sonst meldet das Tool, dass keines existiert. Das modulare Inverse erlaubt das „Dividieren“ in der modularen Arithmetik und erzeugt den privaten RSA-Exponenten d aus dem öffentlichen e.Potenz-RechnerPotenziere eine Basis mit einem beliebigen Exponenten.Primitivwurzel-RechnerFinde die Primitivwurzeln modulo n — die Erzeuger g, deren Potenzen g¹, g², … alle zu n teilerfremden Zahlen durchlaufen, bevor sie sich wiederholen (Ordnung gleich φ(n)). Primitivwurzeln existieren nur, wenn n gleich 1, 2, 4, pᵏ oder 2pᵏ für eine ungerade Primzahl p ist; das Tool nennt die kleinste, die exakte Anzahl φ(φ(n)) und listet sie. Sie sind das Rückgrat der Kryptografie mit diskretem Logarithmus und des Diffie–Hellman-Schlüsseltauschs.Löser für BetragsgleichungenLöse Betragsgleichungen wie |x+3| = 5, 3|x+2| = 12 oder |x+1| = |x−3| mit schrittweiser Fallanalyse und exakten Lösungen.Löser für BetragsungleichungenLöse Betragsungleichungen wie |x+3| < 5 oder |x−2| > 3 und erhalte die Lösung als Intervall, mit Schritt-für-Schritt-Erklärung der UND/ODER-Logik.Vereinfacher für algebraische AusdrückeFasst gleichartige Terme zusammen, multipliziert aus oder faktorisiert, und versteht implizite Multiplikation (2x ist 2·x). Streicht eine Kürzung einen Faktor, wird der ausgeschlossene Wert genannt: (x²−4)/(x−2) ist x+2 nur für x ≠ 2, und diese Einschränkung gehört zur Antwort.Beta-Funktions-RechnerBerechne die Euler-Beta-Funktion B(x, y) = Γ(x)·Γ(y) / Γ(x+y) über stabiles log-Gamma.Boolesche-Algebra-VereinfacherReduziert einen booleschen Ausdruck auf eine minimale disjunktive Normalform und akzeptiert jede gängige Schreibweise: AB, A·B, A&B für UND, A+B oder A|B für ODER, ~A, !A oder A' für NICHT, dazu XOR, NAND und NOR. Zeigt die Primimplikanten, nicht nur das Endergebnis.

Der Modulare-Exponentiation-Rechner macht aus Basis a, Exponent b, Modul n sofort und kostenlos aᵇ mod n, Basis reduziert (a mod n). Zum Beispiel liefert er mit Basis a = 7, Exponent b = 256 und Modul n = 13 aᵇ mod n = 9 und Basis reduziert (a mod n) = 7.

So funktioniert's

Gib deine Werte ein: Basis a, Exponent b, Modul n.
Lies das Ergebnis sofort ab: aᵇ mod n, Basis reduziert (a mod n).

Häufige Fragen

Was berechnet der Modulare-Exponentiation-Rechner genau?

Er nimmt Basis a, Exponent b und Modul n und leitet daraus aᵇ mod n und Basis reduziert (a mod n) ab. Gerechnet wird direkt während der Eingabe, das Ergebnis aktualisiert sich bei jeder Änderung.

Welche Angaben brauche ich?

3 Werte: Basis a, Exponent b und Modul n. Mehr ist nicht nötig — kein Konto, kein Datei-Upload.

Gibt es ein Rechenbeispiel?

Mit Basis a = 7, Exponent b = 256 und Modul n = 13 liefert der Rechner aᵇ mod n = 9 und Basis reduziert (a mod n) = 7. Diese Zahlen stammen aus genau diesem Tool — gib dieselben Werte ein, um sie nachzurechnen.

Wann brauche ich das konkret?

Eine Aufgabenserie bewältigen: nach der Unbekannten auflösen, einen Ausdruck faktorisieren und vor allem die Schritte dorthin sehen.

Was ist der häufigste Fehler?

Eine Lösung verlieren, wenn man quadriert oder durch einen Ausdruck teilt. Quadrieren kann Scheinlösungen hinzufügen, Teilen kann eine entfernen — jede Antwort in der Ausgangsgleichung prüfen.

Was ist der Unterschied zwischen dem Modulare-Exponentiation-Rechner und dem Modulares-Inverses-Rechner?

Dieser gibt aᵇ mod n und Basis reduziert (a mod n) aus, der Modulares-Inverses-Rechner gibt a⁻¹ mod m und ggT(a, m) aus. Mehr Unterschied ist da nicht — nimm den mit der Zahl, die du brauchst.

Gibt es ein Werkzeug für den nächsten Schritt?

Potenz-Rechner ist das nächstliegende danach: Potenziere eine Basis mit einem beliebigen Exponenten.

Woher stammen die Daten und wie aktuell sind sie?

Die Algebra ist symbolisch, wo der Ausdruck es zulässt, sonst numerisch — das Werkzeug nennt den Modus. Exakte Ergebnisse erscheinen als Brüche oder Wurzeln statt als gerundete Dezimalzahlen.

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