Modulares-Inverses-Rechner

Finde a⁻¹ mod m — die Zahl x mit a·x ≡ 1 (mod m) — mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus. Ein Inverses existiert genau dann, wenn ggT(a, m) = 1; sonst meldet das Tool, dass keines existiert. Das modulare Inverse erlaubt das „Dividieren“ in der modularen Arithmetik und erzeugt den privaten RSA-Exponenten d aus dem öffentlichen e.

Das interaktive Tool braucht JavaScript. Alles andere auf dieser Seite — wie es funktioniert, ein durchgerechnetes Beispiel und die Antworten auf die üblichen Fragen — steht weiter unten und braucht nichts.

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Modulare-Exponentiation-RechnerBerechne aᵇ mod n effizient mit schneller Exponentiation (Quadrieren und Multiplizieren) und Großzahlen — selbst riesige Potenzen reduzieren sich im Sekundenbruchteil. Eine negative oder zu große Basis wird zuerst in den Bereich 0…n−1 gebracht, und negative Exponenten werden unterstützt, wenn die Basis modulo n invertierbar ist. Dies ist die Kernoperation von RSA, Diffie–Hellman und Primzahltests.Antilogarithmus-Rechner (Umkehrlogarithmus)Der Antilogarithmus macht den Logarithmus rückgängig: antilog_b(y) = bʸ, also log_b(bʸ) = y. Wähle Basis 10, e, 2 oder eine eigene, gib den Exponenten ein, und das Ergebnis kommt mit ausgeschriebener Umkehrbeziehung und geprüftem Hin- und Rückweg zurück. Basen kleiner oder gleich null sowie Basis 1 werden mit Begründung abgelehnt.Umkehrfunktions-RechnerLöse f(x) = y numerisch nach x und sieh die Umkehrung als Spiegelung von f an y = x.Rechner für die inverse Laplace-Transformationf(t) aus einer rationalen F(s) per Partialbruchzerlegung, mit mehrfachen Wurzeln und irreduziblen quadratischen Faktoren — 3/((s+2)²+9) ergibt eine gedämpfte Sinusschwingung — jedes Residuum aufgelistet und die Zerlegung numerisch gegen F(s) geprüft.Erweiterter-euklidischer-Algorithmus-RechnerFühre den erweiterten euklidischen Algorithmus für zwei ganze Zahlen a und b aus: er liefert ihren größten gemeinsamen Teiler samt den Bézout-Koeffizienten x und y mit a·x + b·y = ggT(a, b). Über den ggT hinaus sind diese Koeffizienten genau das, was man für modulare Inverse und lineare diophantische Gleichungen braucht. Die vollständige Divisionstabelle zeigt jede Reduktion.kgV-RechnerFinde das kleinste gemeinsame Vielfache (und den ggT) zweier Zahlen.Modulo-RechnerBerechne Rest und Quotient einer Division (Modulo).Prüfer für befreundete ZahlenPrüfe, ob zwei Zahlen befreundet sind — oder gib nur eine an und erhältst den Partnerkandidaten samt geprüftem Kreis, inklusive vollkommener und geselliger Zahlen.

Gib a, Modul m ein und der Modulares-Inverses-Rechner ermittelt sofort a⁻¹ mod m, ggT(a, m), Prüfung. Zum Beispiel liefert er mit a = 3 und Modul m = 7 a⁻¹ mod m = 5, ggT(a, m) = 1 und Prüfung = 3 × 5 = 15 ≡ 1 (mod 7).

So funktioniert's

Gib deine Werte ein: a, Modul m.
Lies das Ergebnis sofort ab: a⁻¹ mod m, ggT(a, m), Prüfung.

Häufige Fragen

Was berechnet der Modulares-Inverses-Rechner genau?

Er nimmt a und Modul m und leitet daraus a⁻¹ mod m, ggT(a, m) und Prüfung ab. Gerechnet wird direkt während der Eingabe, das Ergebnis aktualisiert sich bei jeder Änderung.

Welche Angaben brauche ich?

2 Werte: a und Modul m. Mehr ist nicht nötig — kein Konto, kein Datei-Upload.

Gibt es ein Rechenbeispiel?

Mit a = 3 und Modul m = 7 liefert der Rechner a⁻¹ mod m = 5, ggT(a, m) = 1 und Prüfung = 3 × 5 = 15 ≡ 1 (mod 7). Diese Zahlen stammen aus genau diesem Tool — gib dieselben Werte ein, um sie nachzurechnen.

Was passiert bei höheren Werten?

Deutlich. Mit a = 6 und Modul m = 14 geht ggT(a, m) von 1 auf 2 — deshalb lohnt es sich, mehrere Szenarien zu testen statt einer einzigen Zahl zu vertrauen.

Wann brauche ich das konkret?

Eine anders geschriebene Zahl lesen: eine römische Ziffer an einem Denkmal, eine Hexadezimalfarbe, ein Binärbyte oder einen zu kürzenden Bruch.

Was ist der häufigste Fehler?

Annehmen, ein Dezimalbruch überstehe einen Basiswechsel. Ein Zehntel ist dezimal exakt und binär unendlich periodisch — deshalb ergibt 0,1 + 0,2 in den meisten Sprachen nicht 0,3.

Was ist der Unterschied zwischen dem Modulares-Inverses-Rechner und dem Modulare-Exponentiation-Rechner?

Dieser gibt a⁻¹ mod m und ggT(a, m) aus, der Modulare-Exponentiation-Rechner gibt aᵇ mod n und Basis reduziert (a mod n) aus. Mehr Unterschied ist da nicht — nimm den mit der Zahl, die du brauchst.

Gibt es ein Werkzeug für den nächsten Schritt?

Antilogarithmus-Rechner (Umkehrlogarithmus) ist das nächstliegende danach: Der Antilogarithmus macht den Logarithmus rückgängig: antilog_b(y) = bʸ, also log_b(bʸ) = y. Wähle Basis 10, e, 2 oder eine eigene, gib den Exponenten ein, und das Ergebnis kommt mit ausgeschriebener Umkehrbeziehung und geprüftem Hin- und Rückweg zurück. Basen kleiner oder gleich null sowie Basis 1 werden mit Begründung abgelehnt.

Was lohnt sich sonst noch daneben offen zu haben?

Umkehrfunktions-Rechner und Rechner für die inverse Laplace-Transformation — sie tauchen in derselben Aufgabe oft genug auf, um einen zweiten Tab zu verdienen.

Woher stammen die Daten und wie aktuell sind sie?

Basisumrechnungen und zahlentheoretische Ergebnisse sind exakt. Römische Zahlen folgen der seit dem Mittelalter üblichen subtraktiven Schreibweise — nicht der einzigen, die die Römer selbst verwendeten.

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