Algebra & Gleichungen
Gleichungen, Polynome, Faktorisierung und Vereinfachung — mit Rechenweg, nicht nur Ergebnis. 59 Werkzeuge, darunter Löser für Betragsgleichungen, Löser für Betragsungleichungen, Vereinfacher für algebraische Ausdrücke und Beta-Funktions-Rechner. Alle kostenlos, ohne Konto und ohne Installation.
Löser für BetragsgleichungenLöse Betragsgleichungen wie |x+3| = 5, 3|x+2| = 12 oder |x+1| = |x−3| mit schrittweiser Fallanalyse und exakten Lösungen.Löser für BetragsungleichungenLöse Betragsungleichungen wie |x+3| < 5 oder |x−2| > 3 und erhalte die Lösung als Intervall, mit Schritt-für-Schritt-Erklärung der UND/ODER-Logik.Vereinfacher für algebraische AusdrückeFasst gleichartige Terme zusammen, multipliziert aus oder faktorisiert, und versteht implizite Multiplikation (2x ist 2·x). Streicht eine Kürzung einen Faktor, wird der ausgeschlossene Wert genannt: (x²−4)/(x−2) ist x+2 nur für x ≠ 2, und diese Einschränkung gehört zur Antwort.Beta-Funktions-RechnerBerechne die Euler-Beta-Funktion B(x, y) = Γ(x)·Γ(y) / Γ(x+y) über stabiles log-Gamma.Boolesche-Algebra-VereinfacherReduziert einen booleschen Ausdruck auf eine minimale disjunktive Normalform und akzeptiert jede gängige Schreibweise: AB, A·B, A&B für UND, A+B oder A|B für ODER, ~A, !A oder A' für NICHT, dazu XOR, NAND und NOR. Zeigt die Primimplikanten, nicht nur das Endergebnis.Charakteristisches-Polynom-RechnerGib eine quadratische Matrix (2×2 bis 5×5) ein und erhalte ihr charakteristisches Polynom p(λ) = det(λI − A), dessen Nullstellen die Eigenwerte sind. Es nutzt den Faddeev–LeVerrier-Algorithmus, exakt für jede Größe, und gibt auch Spur und Determinante an.Rechner für komplementäre FehlerfunktionBerechne erfc(x) = 1 − erf(x) hochpräzise, auch weit im Randbereich.Rechner für quadratische ErgänzungSchreibe ax² + bx + c in die Scheitelpunktform a(x − h)² + k um, mit Scheitel, den Schritten der quadratischen Ergänzung und den reellen oder komplexen Nullstellen.Rechner für komplexe ZahlenAddiere, subtrahiere, multipliziere und dividiere komplexe Zahlen, mit Betrag, Argument, Konjugierter und Polarform.Kubikwurzel-RechnerBerechne die Kubikwurzel einer Zahl sowie ihre dritte Potenz.Löser für kubische GleichungenLöse ax³ + bx² + cx + d = 0 für alle drei Nullstellen (reell und komplex), mit Diskriminante, Art der Nullstellen und Schritten.Descartes-Vorzeichenregel-RechnerDie Vorzeichenwechsel von f(x) und f(−x) einzeln markiert, danach jede mögliche Kombination (positiv, negativ, komplex), die den Grad ergibt.Quersummenwurzel-RechnerBerechne die additive und die multiplikative Ziffernwurzel jeder Zahl zur Basis 2, 8, 10 oder 16 — mit voller Kette, Modulo-9-Abkürzung und Persistenz.Definitions- und Wertebereich-RechnerSchätze den Definitionsbereich (ausgeschlossene x-Werte) und Wertebereich von f(x) durch numerische Abtastung.Geradengleichung-RechnerFinde eine Gerade in allen gängigen Formen — Steigungs-Achsenabschnitt, Punkt-Steigung und Normalform — auf einmal.Fehlerfunktions-RechnerBerechne erf(x), erfc(x) und ihre Umkehrfunktionen erf⁻¹ und erfc⁻¹ hochpräzise.Polynome-Ausmultiplizieren-RechnerMultipliziere Produkte und Potenzen mit vollem Rechenweg aus — FOIL bei zwei Binomen, binomischer Lehrsatz bei einer Potenz, sonst das komplette Verteilungsraster.Potenz-RechnerPotenziere eine Basis mit einem beliebigen Exponenten.Exponentieller-Zerfall-RechnerLöse P(t) = P₀·e^(−rt) nach jeder Variablen, mit der Halbwertszeit.Löser für ExponentialgleichungenLöse sechs Typen von Exponentialgleichungen — Basis, Koeffizient, linearer Exponent, zwei Basen, quadratisch in a^x und verschoben — mit Logarithmen und vollem Rechenweg.Exponentielles-Wachstum-RechnerLöse P(t) = P₀·(1+r)^t nach jeder Variablen, mit der Verdopplungszeit.Bruch-KürzerKürze einen Bruch auf die einfachste Form und sieh den Dezimalwert.Rechner für FunktionskompositionWerte (f∘g)(x) und (g∘f)(x) für zwei Funktionen aus und zeichne sie — mit Wertetabelle und Punktauswertung.FunktionsplotterZeichne bis zu drei Funktionen f, g und h über einen eigenen x- und y-Bereich auf einer interaktiven Leinwand.Prüfer für gerade/ungerade FunktionPrüfe, ob eine Funktion gerade, ungerade oder keines von beidem ist, indem f(−x) mit ±f(x) verglichen wird.Gammafunktion-Rechner Γ(x)Werte die Gammafunktion Γ(x) aus, die stetige Fortsetzung der Fakultät mit Γ(n) = (n−1)! für positive ganze Zahlen. Sie nutzt die Lanczos-Näherung und Eulers Reflexionsformel für negative Argumente und markiert die Pole bei 0, −1, −2, …, wo Γ divergiert. Für ganze Zahlen zeigt sie zusätzlich die exakte Fakultät (x−1)!. Γ tritt überall in Wahrscheinlichkeit, Kombinatorik und der Analyse spezieller Funktionen auf.Hyperbelfunktionen-RechnerAlle sechs Hyperbelfunktionen eines Wertes x auf einmal — sinh, cosh, tanh und ihre Kehrwerte coth, sech, csch. Auf der Exponentialfunktion aufgebaut (sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2), beschreiben sie die Kettenlinie, die Relativität und mehr. coth und csch sind bei x = 0 undefiniert.UngleichungslöserLöse lineare, quadratische und rationale Ungleichungen wie x^2-5x+6>0 oder (x+2)/(x-1)>0 mit vollständiger Vorzeichentabelle und Lösungsmenge in Intervallschreibweise.Umkehrfunktions-RechnerLöse f(x) = y numerisch nach x und sieh die Umkehrung als Spiegelung von f an y = x.Löser für lineare GleichungenLöse lineare Gleichungen wie 2x + 3 = 7, x/2 + 4 = 7 oder 7x − 5 = 3x + 11 in einer Variablen, mit exakten Brüchen und Schritt-für-Schritt-Lösung.Löser für lineare OptimierungLöse lineare Programme mit dem Simplex-Verfahren: maximieren oder minimiere eine lineare Zielfunktion unter ≤-, ≥- und =-Bedingungen mit bis zu 8 Variablen — mit Optimalwert, Optimalpunkt und Erkennung unzulässiger oder unbeschränkter Probleme.Löser für FormelgleichungenStell eine Formel nach jeder Variablen um — z. B. ergibt A = pi*r^2 dann r = sqrt(A/pi) — mit echter symbolischer Isolierung für lineare, Potenz- und Produktformen.Logarithmus-RechnerBerechne einen Logarithmus zu jeder Basis — natürlich, Basis 10, Basis 2 oder eigene Basis — mit der Basiswechselformel.Löser für logarithmische GleichungenLöse sechs Typen logarithmischer Gleichungen — Basis, linear, zwei Logarithmen, Summe von Logarithmen, exponentiell und Basiswechsel — mit Rechenweg, Basis e und Verwerfen von Scheinlösungen.Möbius-Funktion-Rechner μ(n)Die Möbius-Funktion μ(n) ist 0, wenn n einen quadrierten Primfaktor hat, sonst +1 oder −1 je nach gerader oder ungerader Zahl verschiedener Primfaktoren. Gib n ein und erhalte μ(n), die Primfaktorzerlegung und ob n quadratfrei ist.Modulare-Exponentiation-RechnerBerechne aᵇ mod n effizient mit schneller Exponentiation (Quadrieren und Multiplizieren) und Großzahlen — selbst riesige Potenzen reduzieren sich im Sekundenbruchteil. Eine negative oder zu große Basis wird zuerst in den Bereich 0…n−1 gebracht, und negative Exponenten werden unterstützt, wenn die Basis modulo n invertierbar ist. Dies ist die Kernoperation von RSA, Diffie–Hellman und Primzahltests.Natürlicher-Logarithmus-RechnerBerechne ln(x), den natürlichen Logarithmus zur Basis e, mit der gewünschten Anzahl Nachkommastellen.Nernst-Gleichungs-RechnerBerechne ein Zellpotential E = E° − (RT/nF)·ln(Q) bei beliebiger Temperatur, aus Q oder Produkt-/Edukt-Konzentrationen.n-te-Wurzel-RechnerBerechne jede Wurzel (Quadrat-, Kubik-, n-te) einer Zahl.Polargleichungs-PlotterZeichne Polarkurven r(θ) — Rosen, Kardioiden, Spiralen und mehr — über jeden θ-Bereich auf einem Polargitter.Polynom-FaktorisierungsrechnerFaktorisiere über ℚ, mit benanntem Muster in jedem Schritt: gemeinsamer Faktor, Differenz von Quadraten, vollständiges Quadrat, Summe oder Differenz von Kuben (SOAP), ac-Methode und Gruppieren — inklusive Probe.Polynomdivision-RechnerDas ganze Schema, Subtraktionszeile für Subtraktionszeile, mit Quotient, Rest und geprüfter Identität Dividend = Divisor × Quotient + Rest.Polynom-Nullstellen-RechnerGib eine Polynomgleichung in x (beliebiger Grad) ein und erhalte Grad, alle reellen und komplexen Nullstellen und ihre Vielfachheit, mit Schritten.Primitivwurzel-RechnerFinde die Primitivwurzeln modulo n — die Erzeuger g, deren Potenzen g¹, g², … alle zu n teilerfremden Zahlen durchlaufen, bevor sie sich wiederholen (Ordnung gleich φ(n)). Primitivwurzeln existieren nur, wenn n gleich 1, 2, 4, pᵏ oder 2pᵏ für eine ungerade Primzahl p ist; das Tool nennt die kleinste, die exakte Anzahl φ(φ(n)) und listet sie. Sie sind das Rückgrat der Kryptografie mit diskretem Logarithmus und des Diffie–Hellman-Schlüsseltauschs.Rechner für die quadratische FormelLöse ax² + bx + c = 0: erhalte die Diskriminante, beide Wurzeln und die Art der Lösungen.Löser für quartische GleichungenLöse ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 für alle vier Nullstellen (reell und komplex) mit einem numerischen Durand–Kerner-Löser und Schritten.Löser für WurzelgleichungenLöse Wurzelgleichungen durch Isolieren und Quadrieren und prüfe jeden Kandidaten in der Ausgangsgleichung, um Scheinlösungen zu verwerfen — vier Formen mit Rechenweg.Wurzel-VereinfacherVereinfache Quadrat-, Kubik- und n-te Wurzeln, kürze Wurzelquotienten und rationalisiere Nenner — z. B. sqrt(50) → 5√2 und 1/sqrt(2) → √2/2 — mit exakter Form und Dezimalwert.Löser für BruchgleichungenLöse Bruchgleichungen, indem Nenner zu einem Polynom beseitigt und Nullstellen ausgeschlossen werden, die einen Nenner null machen — mit Lösungen, ausgeschlossenen Werten, Keine-Lösung- und Identitätsfällen.Rechner für rationale AusdrückeVereinfache, addiere, subtrahiere, multipliziere, dividiere, faktorisiere und zerlege rationale Ausdrücke in x — z. B. (x^2-1)/(x-1) → x+1 — mit exakter Polynomarithmetik und Partialbrüchen.Rationale-Nullstellen-RechnerAlle Kandidaten ±p/q, ohne Doppelte und sortiert, dann wirklich geprüft — mit den echten Nullstellen, ihrer Vielfachheit und dem verbleibenden reduzierten Polynom.Quadratwurzel-RechnerBerechne die Quadratwurzel einer Zahl sowie ihr Quadrat.Horner-Schema-Rechner (synthetische Division)Das dreizeilige Schema für (x − a), auch mit gebrochenem a wie 1/2 und nicht normierten Divisoren, samt Restsatz und Faktorsatz im Klartext.Grapher für UngleichungssystemeZeichne ein System linearer Ungleichungen in x und y: schraffiere den zulässigen Bereich, zeichne jede Grenze (gestrichelt bei strikt), liste die Ecken auf und sieh, ob er beschränkt, unbeschränkt oder leer ist.Löser für lineare GleichungssystemeLöse lineare Gleichungssysteme 2×2, 3×3 und 4×4 per Gauß-Elimination, Cramerscher Regel oder inverser Matrix — mit Determinante, ausführlichen Schritten und Erkennung von Fällen ohne Lösung oder mit unendlich vielen Lösungen.Löser für nichtlineare GleichungssystemeLöse nichtlineare Systeme mit 2 oder 3 Variablen (polynomial, trigonometrisch, exponentiell) per mehrdimensionalem Newton-Verfahren — Gleichungen als Text eingeben, Startschätzung setzen und jede reelle Lösung mit ihrem Residuum erhalten.Löser für DifferentialgleichungssystemeLöst lineare 2×2- und 3×3-Systeme x′ = Ax mit Eigenwerten, Eigenvektoren und geschlossener allgemeiner Lösung, klassifiziert den Fixpunkt (Knoten, Strudel, Zentrum, Sattel, entartet) und integriert beliebige nichtlineare 2D-Systeme numerisch mit Phasenporträt.Scheitelpunkt- und Symmetrieachsen-RechnerErmittle Scheitelpunkt, Symmetrieachse und Öffnung jeder Quadratischen f(x) = ax² + bx + c.X- und Y-Achsenabschnitts-RechnerFinde, wo eine Kurve die x- und y-Achse schneidet, aus einer Gleichung in x und y (Gerade, Parabel, Kreis…).