Investissement programmé : ce que tu achètes réellement

L'identité que presque personne n'énonce : ton coût moyen est une moyenne harmonique

Supposons que tu dépenses un montant fixe C à chacune de n périodes, aux prix p₁ … pₙ. Les unités achetées en période i valent C ÷ pᵢ, donc le total des unités vaut C·Σ(1 ÷ pᵢ) et le total dépensé nC. Ton coût moyen par unité est le second divisé par le premier : nC ÷ [C·Σ(1 ÷ pᵢ)] = n ÷ Σ(1 ÷ pᵢ). Cette expression est la définition de la moyenne harmonique des prix. Le C se simplifie : le résultat ne dépend donc pas du montant investi, seulement du fait qu'il soit constant.

Change maintenant de règle. Achète un nombre fixe d'unités U à chaque période au lieu de dépenser un montant fixe. Le total dépensé vaut U·Σpᵢ et le total des unités nU : le coût moyen vaut donc Σpᵢ ÷ n — la moyenne arithmétique des prix, qui est aussi simplement le prix moyen que citerait un observateur passif. Les deux règles produisent deux moyennes différentes de la même série de prix, et c'est là tout le contenu mathématique de l'investissement programmé.

Prends une trajectoire concrète de douze prix mensuels : 100, 84, 72, 95, 120, 140, 105, 88, 76, 92, 130, 118. La moyenne arithmétique vaut 101,6667. Dépenser 200 € par mois achète 24,575589 unités pour 2 400 €, soit un coût moyen d'exactement 97,6579 — et la moyenne harmonique de ces douze prix vaut 97,6579 à toutes les décimales qu'un ordinateur veut bien afficher. Acheter 2 unités par mois coûte au contraire 2 440,00 € pour 24 unités, soit une moyenne d'exactement 101,6667. L'écart vaut 4,0088, soit 4,10 % de la moyenne harmonique, et il est apparu pour la seule raison de la forme de la règle de dépense.

Pourquoi la moyenne harmonique est toujours la plus basse des deux

L'inégalité n'est pas une régularité empirique, c'est un théorème. Pour des nombres positifs quelconques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne (Σpᵢ)·(Σ1÷pᵢ) ≥ n². Divise les deux membres par n² : (Σpᵢ ÷ n) · (1 ÷ [n ÷ Σ(1÷pᵢ)]) ≥ 1, ce qui signifie moyenne arithmétique ÷ moyenne harmonique ≥ 1. L'égalité n'a lieu que si tous les prix sont identiques. La moyenne harmonique est donc au plus égale à l'arithmétique, toujours, pour toute trajectoire de prix ayant jamais existé ou devant exister, sans aucune hypothèse de tendance, de distribution ou de direction du marché.

L'ampleur de l'écart est gouvernée par la dispersion des prix. En bonne approximation, la différence entre les deux moyennes vaut la variance des prix divisée par leur moyenne arithmétique. Sur la trajectoire ci-dessus, l'écart-type de population des prix vaut 20,544 — un coefficient de variation de 20,21 % — et l'approximation donne 20,544² ÷ 101,6667 = 4,151 contre un écart réel de 4,009. Sur une trajectoire plus calme, 100, 102, 98, 101, 103, 99, 100, 102, 101, 99, 100, 101, la moyenne arithmétique vaut 100,5000, l'harmonique 100,4809, et l'écart s'effondre à 0,019 %. Le bénéfice est réel, il est proportionnel à la dispersion des prix, et sur un actif calme il s'arrondit à zéro.

Ce que la moyenne harmonique ne démontre pas

La comparaison qu'établit le théorème oppose un plan à montant fixe et un plan à quantité fixe sur les mêmes prix. Ce n'est pas une comparaison avec l'investissement de tout au jour 1, et c'est en la prenant pour telle que naît l'essentiel de la confusion sur ce sujet. Battre le prix moyen est facile et un peu hors sujet : l'investisseur en une fois n'a pas payé le prix moyen non plus. Il a payé le premier prix, 100, qui sur cette trajectoire se situe en dessous des deux moyennes.

Sur cette trajectoire précise, le plan l'emporte, et il vaut la peine de voir pourquoi cela ne prouve rien. Douze versements de 200 € achètent 24,575589 unités, valant 2 899,92 € au prix de clôture de 118 — un gain de 20,83 % sur 2 400 € dépensés. Les mêmes 2 400 € engagés au prix d'ouverture de 100 achètent 24 unités valant 2 832,00 €, soit 18,00 % de gain. Le plan devance de 67,92 € parce que cette trajectoire a fortement baissé au milieu, et que l'argent de l'acheteur mensuel est arrivé quand les prix étaient à 72, 76 et 88. Renverse la trajectoire pour qu'elle monte d'abord et baisse ensuite, et le classement s'inverse avec elle. Une trajectoire ne prouve rien ; une distribution, si.

La comparaison honnête : 200 000 trajectoires simulées

Les paramètres doivent être énoncés, car ce sont des hypothèses et non des observations : un horizon de douze mois, 12 000 € à investir, des rendements mensuels lognormaux de moyenne arithmétique 8 % par an et de volatilité annualisée 20 %, et 2 % par an sur les liquidités pas encore investies. L'investisseur en une fois place 12 000 € au jour 1. L'investisseur programmé place 1 000 € au début de chacun des douze mois et perçoit le taux de trésorerie sur le solde en attente. Les deux sont valorisés à la fin du douzième mois. Ni frais, ni impôts, ni écart de cotation — les ajouter ne change pas le sens du résultat.

La simulation n'est pas nécessaire pour obtenir les espérances, ce qui permet de la vérifier. La richesse investie espérée du plan vaut Σ 1 000·(1,08)^((12−t)÷12) pour t = 0 … 11, soit 12 513,89 €, plus 110,39 € d'intérêts de trésorerie, donc 12 624,28 €. L'espérance du versement unique vaut simplement 12 000 € × 1,08 = 12 960,00 €. L'écart vaut 335,72 € et les moyennes simulées, 12 623 € et 12 960 €, tombent dessus. La raison n'a rien de subtil : chaque euro du plan est investi 6,5 mois en moyenne plutôt que 12, il gagne donc à peu près la moitié du rendement espéré, et la moitié de l'argent dort entre-temps sur un compte peu rémunéré.

C'est dans la distribution que le plan gagne sa place, et le tableau ci-dessus la donne intégralement. L'écart-type de la richesse finale du plan vaut 1 559 € contre 2 625 € — 41 % de moins. Son cinquième centile vaut 10 262 € contre 9 142 € : dans la pire trajectoire sur vingt, le plan est mieux loti de 1 120 €. Son quatre-vingt-quinzième centile vaut 15 352 € contre 17 661 € : dans la meilleure sur vingt, il est plus mal loti de 2 309 €. Les deux affirmations n'en font qu'une. Le plan a cédé 2 309 € de hausse pour acheter 1 120 € de protection à la baisse, et il a terminé devant dans 44,43 % des trajectoires.

Deux variantes affinent le tableau. Porte la volatilité à 40 % et le plan gagne sur 53,39 % des trajectoires et sur la médiane — 12 187 € contre 11 958 € — tandis que l'écart de moyenne reste à 340 €, parce que la moyenne est gouvernée par le temps passé sur le marché et la médiane par la forme de la distribution. Fixe le rendement espéré à zéro et le plan gagne sur 57,47 % des trajectoires et aussi sur la moyenne, à 12 109 € contre 12 000 €. Voilà la règle générale énoncée proprement : le coût du plan est le rendement espéré auquel il renonce en gardant des liquidités, donc là où il n'y a pas de rendement espéré, il n'y a pas de coût. Supprime le taux de 2 % sur les liquidités et la moyenne du plan tombe à 12 513 € et son taux de victoire à 41,15 %, rappel que l'endroit où l'argent attend fait partie de la décision.

La vraie raison pour laquelle on l'utilise, et elle est bonne

L'argument sur la richesse espérée suppose un investisseur qui exécute calmement, une fois, le plan que l'arithmétique recommande. Les vrais investisseurs affrontent une décision qu'il faut reprendre sans cesse, et le plan étalé est très souvent celui qu'ils suivront réellement. Placer une année d'épargne sur un marché en une seule matinée exige une tolérance au regret que beaucoup découvrent, tard, ne pas posséder ; un plan déjà mis en place et automatisé n'exige rien du tout le mois où les prix baissent, précisément le mois où un investisseur discrétionnaire s'arrête.

C'est un avantage réel, et il n'est mesuré nulle part dans le tableau ci-dessus, puisque la simulation compare deux plans qui sont tous deux exécutés. La comparaison à laquelle un particulier est réellement confronté oppose souvent un plan étalé exécuté à un versement unique abandonné — et face à un plan qui n'a jamais lieu, 12 623 € est un très bon chiffre. La formulation honnête est donc : le coût espéré de l'étalement, sous ces hypothèses, vaut environ 337 € sur 12 000 € en un an, soit 2,8 % de la somme, et c'est le prix d'un plan que tu tiendras. Savoir s'il vaut la peine d'être payé est une question sur toi, pas sur l'arithmétique.

Le cas où il domine réellement

Tout ce qui précède compare un plan à un versement unique. Cette comparaison présuppose l'existence d'une somme. Pour la plupart des gens qui épargnent sur leurs revenus, elle n'existe pas : l'argent arrive mensuellement, et la contribution de chaque mois est investie dès qu'elle existe. Aucune stratégie alternative n'est abandonnée, aucune liquidité ne dort, aucun rendement espéré n'est cédé. Investir l'épargne de chaque mois le mois où elle arrive, c'est simplement investir immédiatement — c'est la stratégie du versement unique, appliquée douze fois à douze petites sommes.

La distinction compte parce que les deux situations portent le même nom et qu'une seule comporte un coût. Si tu as hérité, vendu quelque chose ou reçu une prime, et que l'argent dort sur un compte, l'étaler a un coût espéré mesurable et achète une réduction de dispersion mesurable : tu peux peser les deux l'un contre l'autre avec les chiffres ci-dessus. Si tu investis une part de chaque salaire, il n'y a rien à peser. L'effet de moyenne harmonique est alors un bonus authentique et gratuit : ton coût moyen sur l'année ressortira quand même sous le prix moyen, sans la moindre dépense, uniquement parce qu'une contribution fixe achète plus d'unités quand les prix sont bas.

Questions fréquentes

L'investissement programmé bat-il le versement unique ?

Pas en richesse finale espérée, sous les hypothèses retenues ici. Sur douze mois avec 12 000 €, un rendement moyen supposé de 8 %, 20 % de volatilité et 2 % sur les liquidités en attente, le versement unique donne 12 960 € en moyenne et le plan mensuel 12 623 € — un manque de 337 €, soit 2,8 % de la somme. La raison est le temps passé investi : chaque euro du plan l'est 6,5 mois en moyenne au lieu de 12. Le plan gagne sur 44,43 % des 200 000 trajectoires simulées. Ce qu'il achète, c'est un écart-type 41 % plus bas et un cinquième centile supérieur de 1 120 €. Change l'hypothèse pour un rendement espéré nul et le plan gagne aussi en moyenne, à 12 109 € contre 12 000 € — ce qui montre que le coût est exactement le rendement auquel on renonce, rien de plus.

L'avantage de la moyenne harmonique est-il réel ou un artifice de présentation ?

Il est réel et démontrable, mais il répond à une question plus étroite qu'il n'y paraît. C'est un théorème que dépenser un montant fixe produit un coût moyen égal à la moyenne harmonique des prix, jamais supérieure à la moyenne arithmétique — 97,66 contre 101,67 sur la trajectoire de cet article, soit 4,10 % d'avantage. C'est une affirmation vraie sur ton coût rapporté au prix moyen de la même fenêtre. Ce n'est pas une affirmation sur ton coût rapporté à une autre stratégie, et en particulier l'acheteur en une fois a payé le premier prix, non le prix moyen : le théorème ne dit donc rien sur celui de toi deux qui s'en tire le mieux. L'écart se réduit d'ailleurs à presque rien quand les prix sont stables : sur une trajectoire calme de cet article, il valait 0,019 %.

Sur combien de périodes faut-il étaler l'argent ?

Les deux effets tirent en sens contraire et croissent tous deux avec la durée du calendrier. Un calendrier plus long laisse plus d'argent en liquidités plus longtemps : le coût espéré monte à peu près proportionnellement ; sous les hypothèses retenues, étaler 12 000 € sur douze mois coûte environ 337 € en espérance, et un calendrier deux fois plus long laisserait chaque euro investi 12,5 mois sur 24 au lieu de 6,5 sur 12, pour un coût proportionnellement supérieur. Un calendrier plus long réduit aussi davantage la dispersion, mais à rendement décroissant, puisque l'essentiel de la réduction de variance est déjà acquis dès les premiers versements. Il n'existe pas d'optimum valable pour tous, parce que l'arbitrage oppose une quantité calculable à une tolérance que toi seul peux évaluer. Ce qu'il vaut mieux éviter, c'est un calendrier si long que c'est l'allocation en liquidités, et non l'investissement, qui détermine le résultat.

Un plan mensuel alimenté par le salaire a-t-il le même inconvénient ?

Non, et c'est la distinction la plus importante du sujet. Le coût espéré d'un plan étalé, c'est le rendement auquel on renonce en laissant l'argent en liquidités au lieu de l'investir. Si l'argent n'existe pas encore — parce qu'il arrive avec chaque salaire — aucune liquidité ne dort et l'on ne renonce à rien. Investir la contribution de chaque mois dès son arrivée, c'est investir immédiatement, pas étaler. Dans cette situation, l'effet de moyenne harmonique est un bonus gratuit : ton coût moyen sur l'année ressort sous le prix moyen uniquement parce qu'une contribution fixe achète plus d'unités quand les prix sont bas. La comparaison avec le versement unique ne s'applique tout simplement pas, puisqu'il n'y a jamais eu de somme à déployer.

Les frais de transaction changent-ils la conclusion ?

Ils poussent dans le même sens que l'effet de rendement espéré : ils creusent l'écart au lieu de le combler. Un plan réalise douze achats là où un versement unique en fait un : tout forfait par ordre est payé douze fois ; 2 € par ordre coûtent 24 € contre 2 €, soit sur 12 000 € 0,18 % de plus abandonnés. Les commissions proportionnelles et les écarts de cotation sont globalement neutres, puisqu'ils suivent le montant traité et non le nombre d'opérations. Conséquences pratiques : préférer, pour un plan régulier, un prestataire sans frais par ordre, et se méfier des calendriers très fréquents — un plan hebdomadaire paie quatre fois les coûts fixes d'un plan mensuel pour une réduction de dispersion supplémentaire faible.