Le ratio de Sharpe, et ce qu'il suppose sans le dire

Une division, et ce que compte réellement le dénominateur

Le ratio vaut (Rp − Rf) ÷ σp. Le numérateur est le rendement obtenu au-delà de ce qu'aurait rapporté un placement sans risque — la part attribuable au fait d'avoir pris un risque. Le dénominateur est l'écart-type de la même série de rendements sur la même période. Le quotient se lit clairement : des unités d'excès de rendement par unité de volatilité. Un fonds qui rapporte 1,2167 % par mois face à un taux sans risque mensuel de 0,15 %, avec un écart-type mensuel de 2,1595 %, obtient (1,2167 − 0,15) ÷ 2,1595 = 0,4939.

Tout ce qui suit découle du choix du dénominateur. L'écart-type mesure la dispersion autour de la moyenne sans égard au signe : une observation 4 points au-dessus de la moyenne et une observation 4 points en dessous contribuent exactement du même terme carré. Une gérante qui dépasse largement sa propre moyenne en est pénalisée autant qu'une autre qui la manque d'autant. Ce n'est pas un défaut de l'arithmétique — c'est ce qu'est l'écart-type — mais cela signifie que le ratio répond à une question plus étroite que celle que la plupart des lecteurs croient poser. Il ne mesure pas le risque. Il mesure la variabilité, et traite la variabilité comme un substitut du risque.

William Sharpe lui-même y prenait garde. Son article de 1966 appelait la mesure un ratio récompense/variabilité, et sa reprise de 1994 précise que le dénominateur est l'écart-type du rendement différentiel et que toute la construction est un concept ex ante appliqué, faute de mieux, à des données ex post. Le nom qui est resté est moins prudent que ne l'étaient les articles.

Deux fonds, un seul ratio de Sharpe : la construction en miroir

Voici une série de douze mois pour le fonds A, en pourcentage : 0,4 ; 0,3 ; 0,5 ; −0,2 ; 6,2 ; 0,3 ; 0,5 ; 0,4 ; −0,1 ; 5,4 ; 0,4 ; 0,5. Sa moyenne vaut 1,2167 et son écart-type d'échantillon 2,1595. Construis maintenant le fonds B en reflétant chaque observation autour de la moyenne de A — Bᵢ = 2μ − Aᵢ — ce qui donne 2,03 ; 2,13 ; 1,93 ; 2,63 ; −3,77 ; 2,13 ; 1,93 ; 2,03 ; 2,53 ; −2,97 ; 2,03 ; 1,93. La réflexion autour de la moyenne laisse la moyenne en place et laisse chaque écart de même amplitude : B a donc lui aussi une moyenne de 1,2167 et un écart-type de 2,1595. Le ratio de Sharpe est par conséquent identique : 0,4939 pour les deux, non pas approximativement mais exactement, et il resterait identique quel que soit le taux sans risque retenu.

Les deux fonds ne sont pas du tout équivalents. Le pire mois de A vaut −0,2 % et sa perte maximale 0,2 % ; le pire mois de B vaut −3,77 % et sa perte maximale 3,77 %, dix-neuf fois plus. La dispersion de A est presque entièrement à la hausse — deux mois exceptionnels à 6,2 et 5,4 — tandis que celle de B est à la baisse. Les deux capitalisent à peu près au même endroit sur l'année, 15,34 % pour A et 15,32 pour B. À qui l'on propose le choix prend A, et aucun calcul n'est nécessaire pour comprendre pourquoi.

Le ratio de Sortino les sépare, parce qu'il ne change que le dénominateur. On garde le même numérateur — rendement moyen moins un rendement minimal acceptable, ici le même taux sans risque de 0,15 % — et l'on remplace l'écart-type par l'écart-type des baisses : la racine de la moyenne des carrés de min(rᵢ − MAR ; 0), nulle pour tout mois au-dessus du seuil. L'écart-type des baisses de A vaut 0,1242 et son ratio de Sortino 8,59. Celui de B vaut 1,4449 et son Sortino 0,74. Le classement que le Sharpe ne savait pas exprimer — un fonds est 11,6 fois meilleur — est exactement ce que le changement de dénominateur restitue.

Une précaution sur Sortino : il n'existe pas de convention unique pour le diviseur dans l'écart-type des baisses. Diviser la somme des carrés des manques par le nombre total d'observations, comme ici, est le choix habituel et garde la mesure comparable d'une série à l'autre ; ne diviser que par le nombre de périodes perdantes donne un nombre différent, plus grand, et un classement différent. Un Sortino sans sa convention explicite est aussi glissant qu'un Sharpe sans sa fréquence explicite.

La racine de douze est un choix, pas de l'arithmétique

Les ratios de Sharpe se citent en base annuelle mais se calculent sur des observations mensuelles ou quotidiennes. Le pont universellement utilisé consiste à multiplier le ratio de la période par la racine du nombre de périodes dans l'année : √12 = 3,4641 pour des données mensuelles, √252 ≈ 15,87 pour du quotidien. Ce facteur vient de la variance d'une somme. Si douze rendements mensuels sont indépendants, la variance de leur somme vaut douze fois celle d'un seul : l'écart-type croît donc de √12 pendant que la moyenne croît de 12, et le rapport des deux croît de 12 ÷ √12 = √12. Toute la convention repose sur ce premier mot : indépendants.

Les rendements ne sont fréquemment pas indépendants. Les actifs peu liquides ou valorisés rarement — dette privée, immobilier, positions structurées, tout ce qui est marqué avec retard — produisent des séries lissées, où un bon mois tend à être suivi d'un autre bon mois. C'est de l'autocorrélation positive, et elle dégonfle l'écart-type mesuré des rendements courts sans dégonfler le véritable écart-type annuel. L'article d'Andrew Lo de 2002 en donne la correction : le facteur d'annualisation honnête pour q périodes vaut q ÷ √(q + 2·Σₖ₌₁^(q−1)(q − k)·ρₖ), qui ne se ramène à √q que si chaque autocorrélation ρₖ est nulle.

Mettons-y un chiffre plausible. Supposons une autocorrélation d'ordre un de 0,2 avec la décroissance géométrique usuelle — un niveau de lissage banal dans un fonds détenant des actifs difficiles à valoriser. Le facteur corrigé pour douze mois vaut 2,879 au lieu de 3,464. Notre Sharpe mensuel de 0,4939 s'annualise à 1,422 plutôt qu'aux 1,711 qui figurent sur la fiche : le chiffre publié est surévalué de 20,3 %. À une autocorrélation de 0,3, la surévaluation atteint 32,5 % ; à 0,5, elle atteint 63,3 %. À noter que la correction joue en sens inverse pour des rendements à retour à la moyenne : à ρ = −0,2, la convention √12 sous-évalue de 16,9 %. Le tableau ci-dessus balaie toute la plage.

Vendre de l'assurance produit un superbe ratio de Sharpe

Considère une stratégie dont le profil de gain est structurellement celui d'un assureur : elle encaisse une petite prime fiable la plupart du temps et paie rarement un gros sinistre. La vente d'options très en dehors de la monnaie, les opérations de portage et bien des stratégies dis de rendement absolu partagent cette forme. Modélise-la par 35 mois rapportant environ 0,90 % chacun, avec une variation minime, puis un mois à −22 %.

Sur les 35 premiers mois, le rendement mensuel moyen vaut 0,90 % et l'écart-type mensuel 0,0574 %, parce qu'il ne se passe jamais rien. Le ratio de Sharpe mensuel vaut (0,90 − 0,15) ÷ 0,0574 = 13,07, qui s'annualise selon la convention √12 à 45,3. Ce nombre est absurde et il est arithmétiquement exact. C'est la sortie exacte de la formule exacte sur les données exactes, et un historique de trois ans suffit pour que la plupart des allocataires regardent sérieusement.

Ajoute le 36e mois. La moyenne tombe à 0,2639 %, l'écart-type bondit à 3,8171 %, et le Sharpe mensuel devient 0,030 — soit 0,10 annualisé. Une seule observation a fait passer le score de 45,3 à 0,10. La distribution affiche désormais une asymétrie de −5,75 et un excès d'aplatissement de 31,0, et l'écart-type n'est simplement pas conçu pour décrire une forme pareille : il résume une distribution par deux nombres, et celle-ci n'est pas du tout capturée par deux nombres. Observe aussi ce qu'a fait le rendement cumulé — 36,83 % sur 35 mois, 6,73 % sur 36 — et que récupérer le mois à −22 % au rythme de 0,90 % par mois demande encore 28 mois.

La leçon générale n'est pas que le ratio ment. C'est qu'une mesure bâtie sur les deux premiers moments d'un échantillon ne peut pas voir un risque qui ne s'est pas encore matérialisé dans l'échantillon. Si la perte est assez rare, un historique de longueur réaliste n'en contiendra en général aucune, et le ratio lira l'absence de perte comme une preuve de sécurité. Demande à quoi ressemble le pire mois plausible de la stratégie, pas quel a été son écart-type historique.

Ce qu'un ratio de Sharpe doit préciser pour vouloir dire quelque chose

Un nombre nu est ininterprétable. Trois choses doivent l'accompagner. D'abord la période : 0,4939 sur douze mois et 0,4939 sur dix ans ne sont pas la même affirmation, et une fenêtre courte est dominée par la chance — l'article de Lo porte largement sur la largeur de l'intervalle de confiance autour d'un Sharpe estimé. Ensuite le taux sans risque retenu : la même série se note différemment face à un taux mensuel de 0,15 % ou de 0,35 %, et l'écart se creuse à mesure que le rendement de la stratégie baisse. Enfin la fréquence d'observation et la méthode d'annualisation, car comme le montre le tableau, la même performance sous-jacente peut être publiée à 1,048 ou à 2,060 selon ce qui a été supposé.

Deux conditions supplémentaires sont structurelles plutôt que de présentation. Le ratio n'est comparable qu'entre deux choses mesurées sur la même fenêtre, parce que les conditions de marché dominent le numérateur ; et il n'est comparable qu'entre stratégies dont les distributions de rendements ont globalement la même forme. Classer un fonds actions long-only face à un programme de vente d'options sur le seul Sharpe revient à comparer une distribution à peu près symétrique avec une distribution fortement asymétrique à gauche, et la mesure n'a aucun moyen d'enregistrer la différence.

Ce à quoi le ratio sert réellement encore

Rien de tout cela ne rend le ratio de Sharpe inutile. Il fait une chose très bien : comparer deux portefeuilles de nature semblable sur la même fenêtre, quand la question est de savoir si le supplément de rendement produit par l'un valait le supplément de variabilité. C'est la question posée par Sharpe en 1966, et pour cette question le ratio est le bon outil. Il a aussi un rôle théorique propre : c'est la pente de la droite qui va du taux sans risque à un portefeuille dans l'espace moyenne–écart-type, de sorte que le Sharpe le plus élevé identifie le portefeuille qu'on souhaiterait lever ou dé-lever pour atteindre le niveau de risque de son choix.

Le protocole pratique est court. Calcule-le, puis calcule le ratio de Sortino à côté — les deux ensemble disent si la volatilité pénalisée est celle qui te dérange. Regarde la pire période isolée et la perte maximale, qu'aucun ratio ne contient. Précise la fenêtre, le taux sans risque et la fréquence chaque fois que tu cites un chiffre, et traite tout ratio de Sharpe supérieur à 2 environ sur une stratégie en activité comme une question plutôt que comme une réponse.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un bon ratio de Sharpe ?

Aucun seuil ne veut dire quoi que ce soit isolément, parce que le nombre dépend de la fenêtre, du taux sans risque, de la fréquence d'observation et de l'hypothèse d'annualisation. Les règles empiriques que l'on voit — 1 acceptable, 2 bon, 3 excellent — sont des conventions sur des chiffres annualisés issus de distributions à peu près symétriques, et elles se cassent dès qu'on sort de ces conditions. Notre exemple le montre : le même Sharpe mensuel de 0,4939 se publie entre 1,048 et 2,060 selon la seule hypothèse d'autocorrélation. Et un chiffre très élevé est plus souvent un avertissement qu'un compliment : l'exemple de vente d'assurance de cet article affichait 45,3 annualisé sur 35 mois et 0,10 sur 36.

Faut-il utiliser le ratio de Sortino à la place ?

En complément, pas à la place. Sortino remplace l'écart-type par l'écart-type des baisses : il cesse donc de pénaliser la dispersion à la hausse — exactement le correctif qu'appelle l'exemple en miroir : 8,59 contre 0,74 là où Sharpe voyait 0,4939 contre 0,4939. Mais il hérite de toutes les autres faiblesses, dont le problème d'annualisation et l'aveuglement à une perte qui n'a pas encore eu lieu, et il en ajoute une : la convention de diviseur dans l'écart-type des baisses n'est pas normalisée, si bien que deux fournisseurs peuvent publier des Sortino différents pour la même série. Calcule les deux, précise tes conventions, et lis aussi la perte maximale.

Quel taux sans risque mettre au numérateur ?

Un taux dont l'échéance et la devise correspondent à la période de mesure et à la devise du portefeuille — un rendement de bon du Trésor court, converti en base mensuelle pour une série mensuelle. La note de Sharpe de 1994 est plus stricte que la pratique courante : la construction correcte porte sur un rendement différentiel, portefeuille moins actif sans risque période par période, et l'écart-type appartient à cette différence, non au portefeuille seul. Là où le taux sans risque est quasi constant, les deux coïncident ; là où il bouge beaucoup, non. Conséquences pratiques : ne jamais mélanger les devises, ne jamais utiliser un rendement obligataire long pour une fenêtre courte, et toujours indiquer le taux retenu, puisque la même série se note différemment à 0,15 % et à 0,35 % par mois.

Peut-on comparer un Sharpe calculé sur données quotidiennes et un Sharpe calculé sur données mensuelles ?

Pas sans risque, même après annualisation des deux. L'annualisation ne les rend comparables que si les rendements sont indépendants aux deux fréquences, ce qui n'est pas le cas de la plupart des séries réelles : le quotidien capte le bruit de court terme et tout retour à la moyenne d'un jour sur l'autre, le mensuel lisse les deux. La fréquence qui produit l'écart-type mesuré le plus faible produit le Sharpe le plus élevé, et aucune règle ne dit laquelle ce sera. Compare ce qui est comparable — même fréquence, même fenêtre, même série sans risque, même méthode d'annualisation — ou ne compare pas. Si une fiche ne dit pas quelle fréquence a servi, le ratio qui y figure n'est pas vérifiable.

Pourquoi un fonds lissé et peu liquide affiche-t-il un Sharpe plus élevé ?

Parce que le dénominateur est mesuré sur les rendements déclarés, et que les rendements déclarés d'actifs difficiles à valoriser sont périmés. Quand une position est marquée avec retard ou par expertise plutôt que par transaction, un mouvement de sa vraie valeur se répartit sur plusieurs périodes de reporting. Cet étalement élève la corrélation entre périodes consécutives et abaisse l'écart-type mesuré période par période, alors que la variabilité annuelle réelle est inchangée. La convention √12 traite ensuite le chiffre mensuel artificiellement petit comme s'il provenait de tirages indépendants, et multiplie l'erreur dans le chiffre annuel. À une autocorrélation mensuelle de 0,2, le ratio publié est surévalué de 20,3 % ; à 0,3, de 32,5 %. Il vaut la peine de tester l'autocorrélation positive d'une série mensuelle avant de comparer ce fonds à un fonds valorisé quotidiennement.

Un ratio de Sharpe négatif veut-il dire quelque chose ?

Cela signifie que le portefeuille a rapporté moins que le taux sans risque sur la fenêtre, et rien d'autre. L'amplitude n'est pas interprétable, car diviser un numérateur négatif par l'écart-type inverse le classement habituel : de deux portefeuilles perdants au même déficit, le plus volatil se note plus près de zéro et paraît donc meilleur. Un fonds qui a perdu 2 % face au taux sans risque avec un écart-type de 4 % obtient −0,50, tandis qu'un autre qui a perdu les mêmes 2 % avec un écart-type de 8 % obtient −0,25 et semble supérieur. Il ne l'est pas. Quand le numérateur est négatif, cesse de lire le ratio et lis directement le rendement et la perte maximale.