La volatilité n'est pas le risque, et la racine du temps est un choix

D'où vient réellement la racine carrée

La volatilité désigne l'écart-type des rendements, mais un écart-type n'existe que relativement à une période. Un écart-type quotidien et un écart-type mensuel sont deux nombres différents décrivant le même actif : pour comparer quoi que ce soit, il faut s'accorder sur une période, et la convention est l'année. Le pont s'écrit : volatilité annualisée = écart-type de la période × √(périodes par an).

La démonstration tient en deux lignes. Le rendement annuel est la somme des rendements de période — en logarithmes, exactement. La variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes est la somme de leurs variances : s'il y a n périodes dans l'année et que chacune a une variance σ², la variance annuelle vaut nσ². Prends la racine et l'écart-type annuel vaut σ√n. C'est tout. Pour des données quotidiennes sur un actif qui se traite tous les jours, √365 = 19,105 ; pour un marché à 252 jours de bourse, √252 = 15,875 ; l'hebdomadaire donne √52 = 7,211 ; le mensuel donne √12 = 3,464 ; le trimestriel donne exactement 2.

Note ce qu'il a fallu supposer pour y arriver : que les rendements consécutifs sont indépendants, afin que les termes de covariance dans la variance de la somme s'annulent tous. Rien dans les données ne le garantit. La racine du temps est une conséquence d'un modèle de mouvement des prix — des incréments indépendants — et quand le modèle est faux, le facteur l'est avec lui. C'est là toute la différence entre un calcul arithmétique et un choix de modélisation, et presque tout chiffre de volatilité que tu liras est présenté comme s'il relevait du premier.

De combien la réponse bouge quand les rendements ne sont pas indépendants

Garde l'hypothèse d'une variance constante par période mais autorise une autocorrélation des rendements de coefficient ρ à décroissance géométrique. La variance d'une somme de n périodes vaut alors σ²·[n + 2·Σₖ₌₁^(n−1)(n − k)·ρᵏ] au lieu de nσ². Divise par nσ² et tu obtiens un rapport de variances qui dit exactement de combien la mise à l'échelle naïve se trompe.

Prends un actif dont l'écart-type quotidien vaut 3,141 % — exactement le chiffre qui s'annualise à 60,0 % sous l'hypothèse d'indépendance avec 365 jours. Si l'autocorrélation quotidienne vaut 0,05, la volatilité annualisée honnête est de 63,1 % et le chiffre publié sous-estime de 4,9 %. À 0,1, elle vaut 66,3 %, soit 9,5 % de sous-estimation. À 0,2, elle vaut 73,4 %, soit 18,3 %. Les marchés en tendance, portés par le momentum, se trouvent de ce côté-là, et la formule standard te dit qu'ils sont plus calmes qu'ils ne le sont.

La correction joue en sens inverse pour des séries à retour à la moyenne. À une autocorrélation quotidienne de −0,1, le chiffre annualisé honnête vaut 54,3 % au lieu de 60,0, et à −0,2 il vaut 49,0 : la formule standard surévalue respectivement de 10,5 % et 22,4 %. Aucune des deux directions n'est un petit effet, et aucune n'est visible dans un chiffre de volatilité cité seul. Chaque fois qu'une volatilité compte — dimensionner une position, valoriser une option, comparer deux actifs — l'autocorrélation de la série sous-jacente mérite d'être mesurée avant d'appliquer le facteur √t.

Rendements logarithmiques, rendements simples, et pourquoi la formule veut les premiers

Un rendement simple vaut (P₁ − P₀) ÷ P₀. Un rendement logarithmique vaut ln(P₁ ÷ P₀). La démonstration ci-dessus exigeait que le rendement annuel soit la somme des rendements de période, ce qui est vrai des logs et faux des simples. Deux mois à +50 % et −50 % s'additionnent à zéro en rendements simples ; le résultat réel vaut 1,50 × 0,50 − 1 = −25 %. En logs, ils s'additionnent à ln(1,5) + ln(0,5) = −28,768 %, et exp(−0,28768) − 1 = −25 % exactement. Une seule des deux conventions possède l'additivité dont dépend l'argument sur la variance.

Pour de petits mouvements, les deux coïncident, et c'est pourquoi le choix reste d'ordinaire invisible. Un rendement simple de 1 % vaut 0,995 % en log, soit 0,005 point d'écart. À 5 %, l'écart vaut 0,121 point ; à 10 %, 0,469 ; à 20 %, 1,768 ; à 50 %, 9,453. Les pertes divergent aussi, et de façon asymétrique : un rendement simple de −20 % vaut −22,314 % en log, et un rendement simple de −50 % vaut −69,315 %. Sur un indice calme, la convention importe peu. Sur un actif qui bouge régulièrement de 10 ou 20 % en une journée, la volatilité calculée sur rendements simples et celle calculée sur rendements logarithmiques sont deux nombres différents, et un seul a sa place dans la formule en √t.

Il existe une seconde dépendance, plus discrète : la fréquence d'échantillonnage choisie. Un actif à 60 % de volatilité annualisée a un écart-type quotidien de 3,141 %, hebdomadaire de 8,321 % et mensuel de 17,321 %. Ce sont les mêmes volatilités exprimées de trois manières, tant que l'hypothèse d'indépendance tient — et quand elle ne tient pas, elles s'annualisent à trois nombres différents. Échantillonner à l'heure plutôt qu'au jour sur le même actif capte du bruit de microstructure qui ne fait pas partie du risque qui intéresse quiconque, et √8760 = 93,595 l'amplifie. Choisir une fréquence, c'est choisir ce qui compte comme un mouvement de prix.

Le frein de volatilité : pourquoi un rendement moyen positif peut quand même perdre de l'argent

C'est ici que l'argent se joue. La moyenne d'un ensemble de rendements et le taux auquel l'argent capitalise réellement à travers eux sont deux grandeurs différentes, et la seconde est toujours la plus petite. La démonstration la plus nette tient en deux périodes : +50 % puis −50 %. La moyenne arithmétique vaut zéro. Le résultat composé vaut 1,5 × 0,5 = 0,75, soit une perte de 25 %, et la moyenne géométrique par période vaut √0,75 − 1 = −13,397 %. Rien ne s'est mal passé ; c'est ce que fait une moyenne quand les grandeurs se multiplient au lieu de s'additionner.

L'ampleur de l'écart est gouvernée par la volatilité. Pour des mouvements symétriques de ±x de moyenne arithmétique nulle, la moyenne géométrique vaut √(1 − x²) − 1, et l'écart-type de population vaut exactement x. À ±10 %, la moyenne géométrique vaut −0,501 % contre un −σ² ÷ 2 = −0,500 prédit. À ±20 %, −2,020 contre −2,000 ; à ±30 %, −4,606 contre −4,500 ; à ±50 %, −13,397 contre −12,500. La règle empirique — la moyenne arithmétique dépasse le taux composé d'environ σ² ÷ 2 — est excellente à faible volatilité et commence à sous-estimer les dégâts à forte volatilité.

Appliquons cela à quelque chose qui ressemble à un placement. Prends un actif dont les rendements ont une moyenne arithmétique de 8,00 % par an — un chiffre parfaitement respectable et sans ambiguïté positif — et ne fais varier que la volatilité. Sous des rendements lognormaux, le taux de croissance composé est exact et non approché, et le tableau ci-dessus donne les deux. À 10 % de volatilité, l'actif capitalise à 7,46 %. À 30 %, il capitalise à 3,25 %, ayant perdu plus de la moitié de son rendement moyen à la seule variabilité. À 39,23 % de volatilité, il capitalise à exactement zéro. À 60 %, il capitalise à −9,79 % par an : un rendement moyen positif, et 10 000 € deviennent 3 569 € en dix ans.

Une simulation de 400 000 tirages confirme la forme fermée plutôt qu'elle ne la remplace : à 30 % de volatilité, la moyenne simple simulée ressort à 7,97 % pour un taux composé de 3,23 ; à 60 %, à 8,24 % pour −9,65. La volatilité d'équilibre pour un rendement moyen de 8 % vaut 39,23 % — au-dessus, le rendement moyen est positif et l'argent diminue. C'est le mécanisme derrière l'avertissement classique selon lequel les produits à levier rééquilibrés quotidiennement ne suivent pas leur indice sur de longues périodes de détention : multiplier le rendement quotidien par deux multiplie le frein par quatre.

Pourquoi la volatilité n'est pas la même chose que le risque

La volatilité mesure l'ampleur des mouvements de prix. Le risque est la possibilité d'un résultat que tu ne peux pas accepter. Les deux se recouvrent mais ne coïncident pas, et trois écarts comptent. D'abord, la volatilité est symétrique : elle compte identiquement une hausse de 10 % et une baisse de 10 %, ce que développe longuement l'article compagnon sur le ratio de Sharpe. Ensuite, la volatilité se mesure sur les rendements advenus : elle est aveugle à une perte qui n'a pas encore eu lieu — un actif peut être parfaitement calme jusqu'à l'instant où il ne l'est plus, et aucune quantité de données passées ne contiendra l'événement. Enfin, la volatilité ne dit rien de la permanence : un indice diversifié qui baisse de 30 % et une position unique qui baisse de 30 % s'enregistrent pareillement, alors qu'un seul des deux dispose d'un mécanisme de retour.

Ce à quoi la volatilité sert vraiment, c'est au dimensionnement des positions et à la comparaison. Un actif à 60 % de volatilité annualisée passera, sous une hypothèse de normalité elle-même imparfaite, l'essentiel de son temps dans une bande d'environ 60 % autour de sa tendance, et cela suffit à décider quelle proportion tu peux en détenir sans que tout le résultat du portefeuille en dépende. C'est aussi le bon intrant pour valoriser une option, et le bon dénominateur pour comparer deux rendements. Ce n'est pas une affirmation sur ce que tu peux perdre.

Ce qu'il faut préciser chaque fois que l'on cite une volatilité

Quatre choses, aucune facultative. La fréquence d'échantillonnage, parce que l'horaire, le quotidien, l'hebdomadaire et le mensuel donnent des réponses différentes pour le même actif. La fenêtre, parce qu'une volatilité calculée sur 30 jours et une calculée sur deux ans décrivent des périodes différentes et ne sont pas interchangeables. La convention de rendement, log ou simple, parce qu'elles divergent dès que les mouvements sont amples. Et le facteur d'annualisation réellement utilisé, puisque 365 et 252 diffèrent de 20 % et que les deux se défendent selon que l'actif se traite ou non tous les jours.

Une dernière distinction à garder au clair : tout ce qui précède porte sur la volatilité réalisée, calculée à rebours sur des prix déjà advenus. La volatilité implicite est un objet entièrement différent — c'est le chiffre de volatilité qui fait qu'un modèle de valorisation reproduit le prix coté d'une option : un nombre prospectif extrait de ce que les gens paient, non une mesure de ce qui s'est produit. Les deux se citent dans les mêmes unités et sont couramment confondues, et elles répondent à des questions différentes.

Questions fréquentes

Faut-il annualiser avec 365 jours ou 252 ?

Utilise le nombre de périodes pendant lesquelles l'actif peut réellement bouger. Un marché fermé les week-ends et jours fériés produit environ 252 observations par an : √252 = 15,875 est le bon facteur ; un actif qui se traite en continu en produit 365 : √365 = 19,105 est le bon. Les deux diffèrent de 20,4 %, ce qui est bien trop pour rester implicite : le même écart-type quotidien de 3,141 % s'annualise à 60,0 % sur 365 jours et à 49,9 % sur 252. Ce qu'il ne faut surtout pas faire, c'est comparer un chiffre calculé d'une façon avec un chiffre calculé de l'autre — exactement ce qui arrive quand on met un actif traité en continu à côté d'un actif coté en bourse sans vérifier la convention.

Une volatilité plus élevée signifie-t-elle toujours un moins bon placement ?

Non, mais cela signifie toujours un écart plus grand entre le rendement moyen et le rendement composé, et cet écart croît comme le carré de la volatilité. Doubler la volatilité de 20 à 40 % ne double pas le frein de 2,00 à 4,00 points — il le quadruple à 8,00. C'est pourquoi la question n'est pas de savoir si un actif est volatil mais si son rendement moyen suffit à payer sa propre volatilité. À 8 % de rendement moyen, le seuil est à 39,23 % de volatilité. Un actif à 25 % de moyenne pourrait porter 60 % de volatilité et capitaliser encore positivement ; un actif à 8 % non. Le chiffre de volatilité seul ne répond à rien.

Pourquoi deux sites publient-ils des volatilités différentes pour le même actif ?

Parce qu'au moins quatre choix entrent dans le nombre et que presque personne ne publie les quatre. La fréquence d'échantillonnage change la réponse dès que les rendements ne sont pas indépendants. La fenêtre d'observation la change toujours — 30 jours et 730 jours décrivent des périodes différentes. La convention de rendement la change dès que les mouvements sont amples, puisqu'un rendement simple de −20 % vaut −22,314 % en log. Et le facteur d'annualisation la change de 20,4 % entre 252 et 365. Ajoute le choix entre écart-type d'échantillon et de population, qui compte sur les fenêtres courtes, et deux calculs honnêtes du même actif sur à peu près la même période peuvent différer d'un tiers. Avant de comparer deux volatilités, vérifie que les quatre conventions coïncident ; si une page ne les précise pas, son chiffre n'est pas reproductible.

Le frein de volatilité est-il un coût réel ou une illusion comptable ?

Il est parfaitement réel, au sens où c'est la différence entre l'argent que tu obtiens et celui que le rendement moyen laisse espérer. Ce n'est pas un frais, et personne ne l'encaisse : c'est une propriété de la multiplication. L'exemple à deux périodes tranche la question — +50 % puis −50 % font une moyenne nulle et te laissent 75 % de la mise, et l'on ne dépense pas une moyenne. Ce qui est illusoire, c'est la moyenne arithmétique elle-même, qui décrit une période typique isolée et non le résultat d'une suite de périodes. Si la question est combien d'argent tu auras, le taux de croissance composé est le seul nombre pertinent, et il est toujours inférieur ou égal à la moyenne arithmétique, l'égalité n'ayant lieu que si tous les rendements sont identiques.

Combien d'observations faut-il pour qu'une estimation de volatilité soit utilisable ?

Plus que ce que la plupart des gens utilisent, et l'exigence croît si les rendements s'éloignent de la normalité. L'erreur type d'un écart-type estimé décroît à peu près comme l'inverse de la racine de la taille d'échantillon : passer de 30 observations à 120 divise l'incertitude par deux, et passer de 120 à 480 la divise encore par deux. C'est la raison pour laquelle une volatilité à 30 jours bouge tellement d'une semaine à l'autre : l'essentiel du mouvement est du bruit d'estimation et non un changement de l'actif sous-jacent. L'arbitrage est réel, puisqu'une fenêtre plus longue est plus précise sur une période plus ancienne, qui peut ne plus décrire le présent. Le compromis pratique consiste à regarder deux fenêtres — une courte et une longue — et à traiter un écart important entre elles comme une information plutôt que comme deux nombres à moyenner.