Le dénominateur du ratio de Sortino, sur lequel personne ne s'accorde

Sortino change deux choses au Sharpe, pas une

Le résumé courant veut que le Sortino remplace la volatilité totale par la volatilité baissière. C'est vrai et incomplet : il remplace aussi, au numérateur, le taux sans risque par un rendement minimum acceptable, c'est-à-dire une cible que tu choisis et non un taux que le marché cote. Ces deux changements sont indépendants, et les confondre est exactement ainsi qu'on finit par comparer un Sortino calculé contre une cible nulle à un Sortino calculé contre un indice de référence, en prenant l'écart pour une information sur les fonds. Si tu veux que la comparaison veuille dire quelque chose, fixe d'abord la cible et affiche-la, puis laisse le dénominateur travailler.

Quand le dénominateur travaille, il peut renverser un classement, et ce renversement est la raison d'être du ratio. Oppose notre fonds A régulier à un fonds B dont les douze mois valent 0,5, 8,0, 0,4, 0,6, 7,5, 0,5, −0,4, 9,0, 0,5, 0,4, −0,2 et 0,6 % — plat pour l'essentiel, avec trois mois explosifs. Le fonds B affiche un écart-type annualisé de 12,3881 % contre 4,3338 pour le fonds A, si bien que le Sharpe classe A premier, 2,5843 contre 1,8728. Mais la variabilité de B est presque entièrement haussière : deux mois seulement passent sous la cible et la somme de leurs écarts négatifs au carré vaut 0,8650 contre 2,0875 pour A, de sorte que l'écart-type baissier annualisé de B vaut 0,9301 % contre 1,4448 pour A. Le Sortino classe B premier, 24,9448 contre 7,7518. Aucune des deux mesures ne dysfonctionne. Le Sharpe répond à une question sur l'ampleur des oscillations du rendement ; le Sortino répond à une question sur la fréquence et la gravité des déceptions. Ce sont deux questions différentes, et un gérant qui ne perd jamais d'argent mais en gagne souvent beaucoup sera puni par la première et récompensé par la seconde.

Deux dénominateurs, un facteur, et un classement qui bascule à cause de lui

La relation entre les deux conventions est mécanique. Toutes deux partent de la même somme d'écarts négatifs au carré ; l'une divise par le nombre total de périodes, l'autre par le nombre de périodes sous la cible ; le second dénominateur vaut donc le premier multiplié par la racine carrée du nombre total sur le nombre de manques, et le second ratio vaut le premier divisé par ce même facteur. Sur le fonds A, avec trois mois sur douze sous la cible, le facteur vaut exactement deux. Sur le fonds B, avec deux sur douze, il vaut 2,4495. Vois ce que cela implique : la seconde convention pénalise d'autant plus un fonds qu'il a eu moins de mauvaises périodes, parce qu'un diviseur plus petit gonfle le risque baissier mesuré. Un fonds n'ayant qu'un seul mauvais mois sur douze est pénalisé de la racine de douze, soit 3,4641, uniquement pour la rareté de ce mauvais mois.

Cette propriété n'est pas une curiosité : elle peut renverser un classement à elle seule. Compare un fonds C de rendements 2,0, −0,2, 2,1, −0,3, 2,2, −0,1, 2,0, −0,2, 2,3, −0,3, 2,1 et −0,1 % — six mois sur douze juste sous la cible, aucun grave — à un fonds D de 1,6, 1,7, 1,5, 1,8, −0,9, 1,7, 1,6, 1,8, 1,5, 1,7, −0,8 et 1,7 %, qui ne manque la cible que deux fois mais la manque de plus loin. En divisant par les douze mois, le fonds D l'emporte, 6,2996 contre 5,3598. En divisant seulement par les mois sous la cible, le fonds C l'emporte, 3,7900 contre 2,5718. Mêmes données, même cible, conclusions inverses, et tout le renversement vient de ce que C est pénalisé de la racine de deux quand D l'est de la racine de six. Si tu compares deux ratios de Sortino, ils doivent avoir été calculés de la même façon, et si la source ne dit pas laquelle, le nombre n'est comparable à rien.

Déplace la cible et le même fonds obtient 17,90 ou −1,83

Le rendement minimum acceptable travaille au moins autant que la convention du dénominateur, et contrairement à elle il est censé être une décision. Garde les douze rendements du fonds A et fais monter la cible. Contre une cible nulle, le ratio de Sortino vaut 17,9021. Contre 3 % par an, 9,7199. Contre 4,20 %, notre cas de référence, 7,7518. Contre 6 % par an, 5,5199 ; contre 12 %, 1,2944 ; et contre 18 %, il devient négatif à −0,7195. Une seule série, une seule convention de dénominateur, et un nombre qui va de dix-huit à moins de zéro. Deux choses bougent quand la cible monte : le numérateur rétrécit directement, et le dénominateur grossit parce que davantage de périodes passent sous la barre et que les manques existants se creusent.

C'est un argument pour choisir la cible délibérément plutôt que d'accepter une valeur par défaut. Une cible nulle demande si le fonds a jamais perdu d'argent, et c'est le bon choix pour la préservation du capital. Une cible égale au taux sans risque reproduit la question du Sharpe et rend les deux ratios comparables dans l'intention. Une cible égale à l'inflation demande si le pouvoir d'achat a été préservé. Une cible égale à ce que tes engagements exigent — une pension à servir, un taux de retrait, un seuil de rémunération dans une convention de gestion — est la version de la question qui a des conséquences réelles, et c'est celle pour laquelle le cadre de Sortino a été construit. Affiche la cible chaque fois que tu cites le nombre, dans la même phrase, parce qu'un ratio de Sortino sans sa cible n'est pas une grandeur mal spécifiée : c'est une grandeur non spécifiée.

Là où le ratio dégénère, et que faire alors

Les modes de défaillance sont tous des défaillances du dénominateur, et il vaut la peine de les reconnaître parce qu'ils ressemblent à une performance exceptionnelle. Si aucune période n'est passée sous la cible, la somme des écarts négatifs au carré vaut zéro, l'écart-type baissier vaut zéro, et le ratio est infini. Ce n'est pas un fonds au rendement ajusté du risque illimité ; c'est un échantillon qui ne contient aucune information sur le risque baissier, et le compte rendu honnête, c'est le nombre de périodes et le fait qu'aucune n'a manqué la cible, pas un nombre. Si exactement une période est passée dessous, le ratio est fini mais repose entièrement sur cette observation : notre exemple de onze mois autour de 1,2 % et d'un mois à −9,0 % donne un écart-type baissier annualisé de 9,3500 % selon la convention par toutes les périodes et de 32,3894 % selon l'autre, soit un facteur 3,4641 sur un point de données unique. Les petits échantillons font cela à toutes les mesures de risque, mais les mesures baissières souffrent davantage parce qu'elles écartent l'essentiel de l'échantillon par construction.

Deux habitudes règlent l'essentiel. D'abord, affiche le nombre de périodes sous la cible à côté du ratio ; c'est un chiffre de plus et il dit immédiatement au lecteur si le dénominateur repose sur trois observations ou sur trente, et il lui permet de passer lui-même d'une convention à l'autre en multipliant ou en divisant par la racine du total sur ce nombre. Ensuite, traite l'annualisation comme l'hypothèse qu'elle est. Multiplier un écart-type mensuel par la racine de douze suppose des périodes indépendantes et identiquement distribuées, c'est-à-dire précisément l'hypothèse qui échoue pour les stratégies que l'on mesure le plus souvent au Sortino : tout ce qui présente des rendements autocorrélés, des valorisations illiquides ou un profil de vente de volatilité verra son risque sous-estimé par cette mise à l'échelle. Le ratio est un outil de comparaison entre séries mesurées de la même façon sur la même fenêtre, pas une constante physique, et il doit être cité avec sa cible, sa convention, sa fréquence et la longueur de son échantillon.

Questions fréquentes

Quelle convention le calculateur utilise-t-il, et comment passer à l'autre ?

Il divise la somme des écarts négatifs au carré par le nombre de périodes de la série, et non par le nombre de périodes sous la cible : l'écart-type baissier qu'il affiche est donc la racine d'un moment partiel inférieur d'ordre deux autour de ta cible. La conversion tient en une multiplication. Pour obtenir la version restreinte aux périodes déficitaires, multiplie l'écart-type baissier affiché par la racine carrée du nombre total de périodes divisé par le nombre de périodes sous la cible — de façon équivalente, divise le ratio de Sortino affiché par cette même racine. Avec trois manques sur douze périodes, le facteur vaut deux ; avec deux sur douze, 2,4495 ; avec un sur douze, 3,4641. Le calculateur n'affiche pas directement le nombre de périodes sous la cible, mais il se lit sans peine dans ta série, et c'est justement le nombre à consigner à côté du ratio.

Un ratio de Sortino élevé est-il une meilleure preuve qu'un Sharpe élevé ?

C'est une meilleure preuve sur une question plus étroite, et une moins bonne preuve de robustesse. Le Sortino est l'instrument adapté quand la distribution des rendements est réellement asymétrique et que tu ne veux pas qu'on te présente un gros gain comme un risque — l'argument est réel, et notre fonds B le démontre. Mais il est estimé sur moins d'observations que le Sharpe, puisqu'il jette toutes les périodes au-dessus de la cible : son erreur d'échantillonnage est donc plus large sur les mêmes données, et il se flatte plus facilement sur une fenêtre courte. Il se manipule aussi plus facilement : toute stratégie qui vend de l'assurance — vente d'options, portage, risque de crédit, valorisations illiquides — produit une longue série de petits gains et de rares pertes lourdes, c'est-à-dire exactement la forme qui obtient un bon Sortino jusqu'à l'arrivée de la perte rare. L'usage honnête consiste à les lire ensemble, avec le nombre de périodes sous la cible et la pire période isolée, et à se méfier plutôt que s'enthousiasmer quand ils divergent dans le sens qui avantage le gérant.

Où se place le ratio de Treynor à côté de ces deux-là ?

Il répond à la même forme de question avec un troisième dénominateur, et le choix entre les trois est en réalité un choix sur ce que tu appelles le risque. Le Sharpe divise l'excédent de rendement par la volatilité totale : il traite donc toute oscillation comme un risque. Le Sortino le divise par l'écart-type baissier autour d'une cible : il ne traite que la déception comme un risque. Le Treynor le divise par le bêta : il ne traite que l'exposition au marché comme un risque et suppose implicitement que le reste a été diversifié. Cette hypothèse est le signal : le Treynor est la bonne mesure pour une brique à l'intérieur d'un portefeuille déjà diversifié, où le risque spécifique se compense réellement avec les autres lignes, et la mauvaise mesure pour une ligne isolée ou un fonds concentré, où le risque que le Treynor écarte est précisément celui que tu portes. Une conséquence pratique en découle pour qui classe des gérants : un fonds qui obtient un bon Treynor et un mauvais Sortino te dit que ses ennuis ne viennent pas du marché, et c'est justement le cas où le chiffre de Treynor renseigne le moins sur ce que tu vivras.

Combien de périodes faut-il avant que le nombre veuille dire quelque chose ?

Pose la question sur le dénominateur plutôt que sur l'échantillon, parce que c'est là que l'estimation est mince. Ce qui compte n'est pas le nombre de périodes dont tu disposes, mais le nombre de celles qui sont passées sous la cible, puisque ce sont les seules à porter de l'information sur le risque baissier. Douze observations mensuelles avec trois manques te donnent un dénominateur estimé sur trois nombres, et un seul mois différent le déplacerait sensiblement. Trente-six observations mensuelles avec dix manques sont une autre affaire. Aucun seuil ne transforme une mauvaise estimation en bonne, mais une discipline aide : calcule le ratio sur plusieurs fenêtres glissantes et regarde la dispersion plutôt que l'estimation ponctuelle, et abaisse la cible à zéro comme contrôle croisé, parce qu'un fonds dont le ratio s'effondre quand la cible bouge un peu n'était pas mesuré, il était flatté par la position de la barre.