Si la variance n'égale pas la moyenne, ce n'est pas une loi de Poisson
Publié le 09/10/2026 · 4 min de lecture · Calculateurs du quotidien
Daniel Okonkwo — Développeur front-end et rédacteur Tech chez OneKitly
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La loi de Poisson décrit combien d'événements indépendants tombent dans une fenêtre fixe lorsqu'ils arrivent à un rythme moyen constant. Son unique paramètre est ce rythme, et la conséquence frappante est qu'il fixe aussi la dispersion : pour cette loi, la variance égale la moyenne, toutes deux valant cinq ici. Cette égalité est le meilleur diagnostic qui soit. Compte les arrivées sur de nombreuses fenêtres, calcule la moyenne et la variance de ces comptes, puis compare : si la variance est proche de la moyenne, le modèle convient et les probabilités ci-dessous sont utilisables. Si la variance est bien plus grande — ce qu'elle est généralement pour des tickets de support, des visites de site et des pannes de machine — les événements se groupent au lieu d'arriver indépendamment, et toute grandeur calculée sous l'hypothèse de Poisson sous-estimera la gravité d'un mauvais intervalle.
Avec une moyenne de cinq événements par intervalle, il en survient exactement trois 14,0 % du temps, aucun 0,7 %, et dix ou plus 3,2 % — soit une fois tous les 31 intervalles environ. La loi n'a qu'un paramètre, et il fixe à la fois la moyenne et la variance.
Une capacité calée sur la moyenne est dépassée régulièrement
Cinq en moyenne ne veut pas dire cinq la plupart du temps. Exactement cinq survient dans environ 17 % des intervalles, et tout le reste se produit dans les 83 autres — dont aucun événement une fois sur cent cinquante, et dix ou plus dans 3,2 % des cas, soit à peu près un intervalle sur trente et un. Une file, un standard ou un planning bâti sur la moyenne sera donc en dépassement plusieurs fois par heure si l'intervalle est la minute. Dimensionne plutôt contre un centile haut choisi, et dis lequel : viser le quatre-vingt-quinzième, c'est accepter qu'un intervalle sur vingt déborde, et c'est une décision de politique, pas d'arithmétique.
Le rythme constant est l'hypothèse qui lâche en premier
Presque rien n'arrive à un rythme réellement constant. Le trafic web a une forme journalière et une forme hebdomadaire ; les tickets de support explosent après une mise en production ; les accidents de la route se groupent autour de la météo. Ajuster un seul rythme sur une période contenant plusieurs régimes produit une distribution plus large que la loi de Poisson dont elle se réclame — précisément l'excès de variance décrit plus haut, souvent pris pour du groupement alors qu'il s'agit d'une moyenne mobile. Le remède est de découper les données en fenêtres où le rythme est plausiblement stable — heures de la journée, jours de la semaine — et d'ajuster chacune séparément, ce qui rétablit d'ordinaire l'égalité de la moyenne et de la variance à l'intérieur de chaque fenêtre.
| Issue | Probabilité |
|---|---|
| Exactement 0 | 0,67 % |
| Exactement 3 | 14,04 % |
| 3 ou moins | 26,50 % |
| 10 ou plus | 3,18 % |
Exemple calculé avec notre outil
Calculateur de loi de Poisson
Données
- Taux moyen λ
- 5,5
- Nombre d'événements k
- 6
Résultat
- P(X = k)
- 0,157
- P(X ≤ k)
- 0,686
- P(X ≥ k)
- 0,471
- Moyenne = variance = λ
- 5,5
Ces chiffres sont produits par le calculateur ci-dessous, pas saisis à la main — ils sont recalculés à chaque évolution de l'outil.
Refaire ce calcul avec tes chiffres →Questions fréquentes
- En quoi cela diffère-t-il de la loi binomiale ?
- La binomiale compte des succès parmi un nombre fixe d'essais : elle a donc un plafond — vingt lancers de pièce ne peuvent pas donner vingt et un piles. Poisson compte des événements dans une fenêtre sans borne supérieure : rien dans le modèle n'interdit cent arrivées dans une minute qui en compte cinq en moyenne, cela devient seulement astronomiquement improbable. Les deux convergent quand le nombre d'essais est grand et la probabilité de chacun faible, ce qui fait de Poisson le choix pratique pour des événements rares parmi de nombreuses occasions — quelques défauts dans une longue série de production, une poignée de clics parmi beaucoup d'affichages.
- Le rythme peut-il être fractionnaire ?
- Oui, et il l'est généralement. Le paramètre est une moyenne sur une fenêtre : un demi-événement par heure décrit parfaitement quelque chose qui survient une douzaine de fois par jour, et les comptes prédits restent des entiers. Changer de fenêtre met le paramètre à l'échelle proportionnellement — cinq par minute font trois cents par heure — et les probabilités suivent, ce qui oblige à énoncer la fenêtre avec le rythme. Un modèle ajusté à la minute puis appliqué à l'heure se trompe d'un facteur soixante sur le paramètre et de bien davantage dans la queue.
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