Un tirage de Noël secret échoue 63 % du temps, quelle que soit la taille du groupe

Pourquoi la réponse cesse de dépendre du groupe

Ajouter une personne ajoute une chance qu'elle se tire elle-même, et ajoute aussi un nom que tous les autres peuvent tirer à la place. Les deux effets se compensent presque, et le reste est une série alternée dont les termes décroissent comme les inverses des factorielles — précisément la série de 1/e. Comme les factorielles croissent très vite, la queue de cette série est négligeable après une poignée de termes, et la réponse se fige. L'intuition attend qu'un grand groupe soit plus sûr, au motif que le nom d'une personne représente une plus petite fraction du chapeau ; l'arithmétique répond que les occasions d'échec supplémentaires arrivent au même rythme.

Retirer au sort n'est pas le remède qu'on croit

Retirer jusqu'à ce que personne n'ait son propre nom produit bien une attribution valide, et il faut en moyenne environ 2,7 tentatives pour y parvenir — un divisé par 0,368. Ce que cela ne produit pas, c'est une attribution valide uniformément aléatoire, si le nouveau tirage est bâclé : échanger seulement la paire fautive, ou laisser celui qui s'est tiré lui-même repiocher dans ce qui reste, biaise le résultat d'une façon invisible sur un tirage et évidente sur quelques années de la même fête de bureau. Les approches propres consistent à rejeter le tirage entier et recommencer, ou à construire un unique cycle aléatoire passant par tous les noms, ce qui est un dérangement par construction.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un sous-factoriel exactement ?

Il compte les permutations de n objets qui ne laissent rien en place, et s'écrit !n, le point d'exclamation devant. Il possède une récurrence propre — !n vaut n−1 fois la somme des deux sous-factoriels précédents — et un raccourci encore plus propre : !n est l'entier le plus proche de n! divisé par e, pour tout n à partir de un. Ce second fait explique que le rapport du tableau converge si visiblement ; le nombre de dérangements est essentiellement une factorielle divisée par e, arrondie, et l'arrondi est la seule chose qui sépare la suite de la constante.

La même mathématique couvre-t-elle les problèmes d'appariement en général ?

Elle couvre la version pure et s'arrête où commencent les contraintes. Les dérangements répondent à la question de personne ne se tirant soi-même, et à rien d'autre : dès qu'une règle s'ajoute — les couples ne doivent pas se tirer, les paires de l'an dernier sont interdites, une personne est absente — le compte change et la jolie convergence vers 1/e disparaît. Ces variantes restent dénombrables, généralement par inclusion-exclusion, mais elles n'ont plus de réponse unique et mémorable. Les 36,8 pour cent sont une référence pour le cas sans contrainte, et il vaut la peine de la connaître précisément parce que tant de tirages réels partent de là avant que quelqu'un n'ajoute une règle.