Calculateur de dérangements (sous-factorielle) !n

Calcule la sous-factorielle !n — le nombre de dérangements, ces permutations de n éléments où rien ne reste à sa place d'origine. L'outil utilise la récurrence exacte !n = (n−1)·(!(n−1) + !(n−2)) en grands entiers, et affiche le rapport !n / n!, qui converge très vite vers 1/e ≈ 0,3679. Ce rapport est la probabilité qu'un mélange aléatoire ne laisse aucun élément fixe — le fameux problème des chapeaux.

L'outil interactif a besoin de JavaScript pour fonctionner. Tout le reste de cette page — son fonctionnement, un exemple chiffré et les réponses aux questions courantes — se trouve plus bas et n'a besoin de rien.

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Besoin de !n (dérangements), n!, !n / n! (→ 1/e) ? Le Calculateur de dérangements (sous-factorielle) !n l'obtient à partir de n (0 à 1000) en une étape. Par exemple, avec n (0 à 1000) = 5, il renvoie !n (dérangements) = 44, n! = 120 et !n / n! (→ 1/e) = 0,367.

Comment l'utiliser

Saisis tes valeurs : n (0 à 1000).
Lis le résultat instantanément : !n (dérangements), n!, !n / n! (→ 1/e).

Questions fréquentes

Que calcule exactement le Calculateur de dérangements (sous-factorielle) !n ?

Il part de n (0 à 1000) pour en déduire !n (dérangements), n! et !n / n! (→ 1/e). Le calcul se fait au fil de la saisie : le résultat se met à jour à chaque modification.

Quelles informations dois-je fournir ?

Une seule valeur : n (0 à 1000). Rien d'autre n'est nécessaire — ni compte, ni fichier à téléverser.

Peux-tu donner un exemple chiffré ?

Avec n (0 à 1000) = 5, l'outil renvoie !n (dérangements) = 44, n! = 120 et !n / n! (→ 1/e) = 0,367. Ces chiffres proviennent de cet outil même : saisissez les mêmes valeurs pour les retrouver.

Que se passe-t-il avec des valeurs plus élevées ?

Fortement. Avec n (0 à 1000) = 10, !n / n! (→ 1/e) passe de 0,367 à 0,368 — d'où l'intérêt de tester plusieurs scénarios plutôt que de se fier à un seul chiffre.

Que donne l'outil avec des valeurs plus faibles ?

Ramené à n (0 à 1000) = 3, !n / n! (→ 1/e) vaut 0,333. Il est utile de vérifier les deux extrémités avant de se fier à un résultat unique.

Dans quels cas s'en sert-on concrètement ?

Dénombrer les possibilités avant de les énumérer : mains d'un jeu de cartes, mots de passe d'une forme donnée, placements autour d'une table, ou probabilités d'un tirage.

Quelle est l'erreur la plus fréquente ?

Choisir un arrangement quand l'ordre n'importe pas. Tirer trois personnes parmi dix donne 720 arrangements mais seulement 120 groupes — un facteur six ici, bien davantage quand les nombres augmentent.

D'où viennent les données et à quand remontent-elles ?

Les formules de dénombrement sont exactes par définition. Les grandes factorielles sont calculées en précision arbitraire quand c'est nécessaire : un résultat n'est pas discrètement arrondi en notation scientifique.

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