A lei de Hooke explicada: F = kx, constantes elásticas reais e onde deixa de valer

F = kx: que força, que sinal, que unidades

Em F = kx, x não é o comprimento da mola. É o deslocamento em relação ao seu comprimento natural, sem carga, e medir a partir da bancada ou do topo da espira é o erro de montagem mais comum de todo o tema. A constante k mede-se em newtons por metro: uma mola com k = 200 N/m precisa de 200 N para se alongar um metro inteiro, ou de 2,00 N para se alongar 1,00 cm. Pendure-lhe uma massa de 1,00 kg e a força aplicada é o seu peso, mg = 1,00 × 9,80665 = 9,80665 N com a aceleração normal da gravidade do NIST, pelo que a mola fica em x = 9,80665 / 200 = 0,0490 m, pouco menos de 5 cm.

Verá a lei escrita como F = kx e como F = −kx, e ambas estão certas porque nomeiam forças diferentes. F = kx é a força que aplica para manter a mola no alongamento x; F = −kx é a força de restituição que a mola exerce de volta, e o sinal menos apenas diz que aponta para a posição de repouso. A energia armazenada resulta de somar essa força ao longo do percurso: U = ½kx². O fator um meio conta, e o quadrado também. Na mesma mola de 200 N/m, x = 0,05 m guarda 0,25 J, x = 0,10 m guarda 1,00 J, x = 0,20 m guarda 4,00 J e x = 0,30 m guarda 9,00 J. A força cresce proporcionalmente ao alongamento; a energia cresce com o quadrado, e por isso puxar um arco o dobro quadruplica, aproximadamente, a energia que pode entregar.

De que é feita uma constante elástica, e como as molas se combinam

k não é uma propriedade do material; é uma propriedade de um objeto concreto. Para uma barra reta puxada ao comprido, k = EA/L. Uma vareta de aço de 1,00 m e 1 mm² de secção, com módulo de Young perto de 200 GPa, tem k = 200 × 10⁹ × 1 × 10⁻⁶ / 1,00 = 2,00 × 10⁵ N/m, pelo que uma massa de 1,00 kg a alonga 0,049 mm. Corte-a para 0,50 m e k duplica para 4,00 × 10⁵ N/m: o mesmo aço, o dobro da rigidez. Uma mola helicoidal segue k = Gd⁴/(8D³n), com d o diâmetro do fio, D o diâmetro médio da espira e n o número de espiras ativas. Fio de aço de 1,0 mm enrolado em espiras de 10 mm, 20 voltas, com módulo de corte de 79,3 GPa, dá k = 496 N/m. Passe o fio para 2,0 mm e k salta para 7 930 N/m — exatamente dezasseis vezes mais, porque d entra à quarta potência.

Duas molas unidas uma a seguir à outra, em série, são mais moles do que qualquer uma delas isolada, porque cada uma contribui com o seu alongamento: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂. Junte 100 N/m a 300 N/m e o conjunto comporta-se como 75 N/m. Confirme com uma carga de 1,00 kg: os mesmos 9,80665 N atravessam ambas, pelo que a primeira alonga 9,80665/100 = 9,81 cm e a segunda 9,80665/300 = 3,27 cm, num total de 13,08 cm — exatamente 9,80665/75. Lado a lado, em paralelo, repartem a carga e as constantes somam-se: k = k₁ + k₂ = 400 N/m, o conjunto alonga 9,80665/400 = 2,45 cm, e as duas molas suportam 2,452 N e 7,355 N, que voltam a dar 9,80665 N. Duas molas iguais de 100 N/m dão 50 N/m em série e 200 N/m em paralelo: é a verificação mais rápida da regra que acabou de usar.

Onde a lei de Hooke deixa de ser verdadeira

A lei de Hooke é uma aproximação de primeira ordem a uma curva, não uma lei da natureza. Trace força contra alongamento numa mola real e o traço só é reto num intervalo limitado. O ponto onde começa a curvar é o limite de proporcionalidade; um pouco além está o limite elástico, o maior alongamento a partir do qual a mola ainda regressa exatamente ao comprimento inicial. Passado esse ponto o material cede e fica com deformação permanente — largue a carga e a mola está mais comprida do que começou. Nada em F = kx o avisa disso, e por isso os fabricantes publicam uma flecha máxima de trabalho ao lado do valor de k, e por isso uma experiência que continua a acrescentar massas acaba por dar pontos que se afastam da reta ajustada.

As molas de compressão têm um segundo limite, mais abrupto, do outro lado: assim que as espiras se tocam, a mola está à altura de bloqueio e a sua rigidez passa a ser a de um cilindro curto de aço, enorme e sem relação com k. O hábito útil é dar k por válida dentro de um intervalo declarado de x, e declarar esse intervalo. A mesma prudência vale quando a lei de Hooke faz de rigidez de material em geral. A relação linear tensão-deformação por trás de k = EA/L descreve bem metais e cerâmicas a pequenas deformações, mas a borracha, os polímeros e o tecido biológico afastam-se da reta quase de imediato, pelo que ajustar-lhes um único k é uma opção de modelação a declarar, não uma medida a citar.

Perguntas frequentes

A lei de Hooke é F = kx ou F = −kx?

Ambas, para forças diferentes. F = kx dá o módulo da força que aplica para manter a mola no deslocamento x, que é o que normalmente pedem uma calculadora ou um relatório de laboratório. F = −kx dá a força de restituição que a mola exerce sobre o que lhe está preso, e o sinal menos regista que aponta para a posição de repouso: é a que se substitui na segunda lei de Newton para obter o movimento harmónico simples. Se a pergunta é quanto tem de puxar, dispense o sinal; se é a força sobre a massa, guarde-o.

Quais são as unidades da constante elástica?

Newtons por metro, N/m, que em unidades SI de base é kg/s². Como F = kx, k = F/x: uma força em newtons dividida por um comprimento em metros. Duas conversões fazem tropeçar: 1 N/mm = 1 000 N/m, a forma usada pelos catálogos de automóvel e de máquinas, e 1 kgf/cm ≈ 980,665 N/m, ainda presente em fichas técnicas antigas. Se meter uma constante em N/mm numa fórmula que espera N/m, todas as forças saem mil vezes menores: verifique a unidade na ficha antes do cálculo, não depois.

A lei de Hooke aplica-se aos elásticos?

Só num alongamento inicial muito curto, e mesmo aí de forma grosseira. A curva força-alongamento de um elástico tem forma de S, pelo que um único k não a consegue descrever: o elástico é mole no início e depois enrijece bruscamente quando as cadeias do polímero se alinham. Apresenta ainda histerese — a curva de regresso fica abaixo da de ida, pelo que parte da energia fornecida volta como calor em vez de movimento. É por isso que um elástico é má escolha para a experiência de Hooke e que os cálculos do tipo ½kx² não se lhe aplicam. Use uma mola helicoidal de aço se o objetivo é a lei linear.