Como funciona o efeito Doppler: a fórmula, a convenção de sinais e porque mover a fonte não é o mesmo que mover o ouvinte

Uma fórmula, uma convenção de sinais, enunciada antes de qualquer número

Escreva o efeito Doppler sonoro uma só vez, como f' = f(v + v_o)/(v − v_s). Aqui f é a frequência que a fonte emite, f' a que o observador ouve e v a velocidade do som no meio — 343 m/s no ar a 20 °C. Os dois símbolos restantes são velocidades com sinal medidas em relação ao meio, não uma em relação à outra: v_o é a componente de velocidade do observador em direção à fonte, positiva ao aproximar-se e negativa ao afastar-se; v_s é a da fonte em direção ao observador, de novo positiva ao aproximar-se. Meter um v_s positivo reduz o denominador e sobe o tom: é essa a verificação física a fazer antes de confiar num resultado.

Faça a conta sobre um lá de diapasão, f = 440 Hz. Uma fonte que se aproxima a 30 m/s dá f' = 440 × (343 + 0)/(343 − 30) = 440 × 343/313 = 482,17 Hz. A mesma fonte a afastar-se corresponde a v_s = −30, logo f' = 440 × 343/373 = 404,61 Hz. Na passagem, o tom cai 77,56 Hz, uma razão de frequências de 1,1917, que em escala musical são 304 cents — quase exatamente três semitons. É esse o intervalo que realmente se ouve quando um carro passa a 108 km/h, e vale a pena memorizá-lo como verificação de plausibilidade: se uma calculadora lhe devolver meio semitom ou uma oitava para um veículo rodoviário, alguma coisa falha nas unidades.

Mover a fonte e mover o ouvinte dão números diferentes

A única fórmula combinada esconde uma assimetria real. Quando a fonte se move, persegue as suas próprias ondas e encurta mesmo o comprimento de onda no ar: uma fonte de 440 Hz tem λ = 343/440 = 0,7795 m em repouso, e a aproximar-se a 30 m/s emite λ' = (343 − 30)/440 = 0,7114 m. O ouvinte parado encontra essas ondas mais curtas aos 343 m/s de sempre e ouve 343/0,7114 = 482,17 Hz. Quando é o ouvinte que se move, o comprimento de onda no ar mantém-se em 0,7795 m; o ouvinte apenas embate nas cristas a uma velocidade de aproximação de 343 + 30 = 373 m/s e ouve 373/0,7795 = 478,48 Hz. Dois mecanismos diferentes, dois números diferentes, com os mesmos 30 m/s.

A diferença cresce com a velocidade. A 10 m/s vale 0,39 Hz, mal audível; a 30 m/s, 3,69 Hz; a 50 m/s, 10,95 Hz, ou seja 515,09 contra 504,14, isto é 37 cents — cerca de um terço de semitom, nitidamente audível para um ouvido treinado. Uma subtileza a enunciar com cuidado, porque é fácil exagerar: a razão entre o tom de aproximação e o de afastamento é a mesma nos dois casos, (v + velocidade)/(v − velocidade), pelo que uma passagem cobre o mesmo intervalo musical seja quem for que se move. O que muda é onde esse intervalo fica em relação à nota emitida. Diga qual dos dois está em movimento, ou a resposta só será aproximadamente certa.

Onde a fórmula do som para: Mach 1, o tempo e a luz

Empurre v_s para v e o denominador desmorona. Uma fonte de 440 Hz a aproximar-se a 300 m/s ouve-se a 3 510 Hz; a 340 m/s, 50 307 Hz; a exatamente 343 m/s a expressão divide por zero. Fisicamente a fonte acompanha agora as suas próprias frentes de onda, estas empilham-se num único choque, e a imagem Doppler suave deixa de descrever seja o que for. Para além disso, a fórmula devolve frequências negativas: é o modo que a álgebra tem de avisar que saiu do seu domínio. Uma segunda dependência, mais discreta, é o próprio meio: v = 331,3 × √(1 + T/273,15) para ar seco, pelo que a velocidade do som é 325,18 m/s a −10 °C e 351,89 m/s a 35 °C. A mesma aproximação a 30 m/s dá então 484,72 Hz num dia frio e 481,01 Hz num dia quente. Um vento sustentado também conta, já que v_o e v_s se definem em relação ao ar, não ao solo.

A luz é outro problema, não a mesma fórmula com um v maior. O som precisa de um meio, e é isso que permite distinguir o caso da fonte do caso do observador; a luz não o tem, pelo que só existe a velocidade relativa entre fonte e observador e os dois casos têm de dar respostas idênticas. A fórmula Doppler relativista longitudinal faz exatamente isso: f' = f√((1 + β)/(1 − β)) em aproximação, com β = v/c, e a inversa em afastamento. Com β = 0,1 o fator exato é 1,105542, ao passo que os atalhos decalcados do som dão 1/(1 − β) = 1,111111 para uma fonte móvel e 1 + β = 1,100000 para um observador móvel. Nenhum está certo, e ainda se contradizem: o sinal mais claro possível de que a equação acústica não se transfere. Com β = 0,5, uma fonte que se aproxima é desviada para o azul num fator 1,732 e uma que se afasta para o vermelho até 0,577.

Perguntas frequentes

Porque é que a sirene desce de tom quando a ambulância passa?

Porque o sinal de v_s se inverte no instante da passagem. Em aproximação, a ambulância persegue o seu próprio som e o comprimento de onda que lhe chega está comprimido, pelo que o tom sobe; depois de passar, foge do som que emite, o comprimento de onda estica-se e o tom desce. Uma sirene de 700 Hz num veículo a 25 m/s ouve-se a 755,0 Hz na aproximação e a 652,4 Hz a seguir, uma queda de 102,6 Hz. A sirene em si nunca muda; nada do som que sai do veículo é diferente antes e depois. A queda também não é gradual: é mais rápida no ponto de passagem mais próximo, porque é aí que a componente da velocidade ao longo da linha até ao seu ouvido passa de positiva a negativa.

Que velocidade do som devo pôr na fórmula?

A velocidade no meio por onde a onda viaja realmente, à sua temperatura real. Para ar seco, v = 331,3 × √(1 + T/273,15) m/s, o que dá 331,3 m/s a 0 °C, 343,2 m/s a 20 °C e 351,9 m/s a 35 °C — os 343 m/s dos manuais são um valor à temperatura ambiente, não uma constante. O efeito no resultado é modesto mas real: uma fonte de 440 Hz a aproximar-se a 30 m/s ouve-se a 484,72 Hz a −10 °C e a 481,01 Hz a 35 °C. A pressão e a altitude quase não contam para o ar, mas o meio conta: o som viaja perto de 1 480 m/s na água, pelo que um desvio Doppler debaixo de água à mesma velocidade de fonte é cerca de 4,6 vezes menor.

Posso usar a mesma fórmula Doppler para a luz?

Não. A fórmula acústica distingue uma fonte móvel de um observador móvel porque o som se propaga num meio que define um referencial de repouso; a luz não tem meio, pelo que só a velocidade relativa tem sentido físico e os dois casos têm de coincidir. A expressão longitudinal correta é f' = f√((1 + β)/(1 − β)) em aproximação e f√((1 − β)/(1 + β)) em afastamento, com β = v/c. Com β = 0,1 isso dá um fator de 1,105542, ao passo que os atalhos acústicos dão 1,111111 e 1,100000 conforme o corpo que se imagine em movimento — diferentes entre si e ambos errados. Às velocidades do dia a dia os três coincidem a poucas partes por milhão, e é por isso que os radares podem usar a forma simples; a qualquer fração apreciável de c, já não.