As quatro equações da cinemática: qual usar e o que cada uma omite

Cinco variáveis, quatro equações, uma ausente em cada

Na verdade há aqui uma só física — a aceleração é a taxa de variação da velocidade e o deslocamento é a área sob um gráfico velocidade-tempo — e as quatro equações são quatro maneiras de a escrever. Só duas são independentes; as outras duas saem de eliminar uma variável entre as duas primeiras. É por isso que cada equação omite exatamente uma das cinco grandezas: a variável ausente é a que foi eliminada para a produzir.

A consequência é uma regra de seleção que torna o tema mecânico. Leia o problema, marque as variáveis que dá e a que pede: uma das cinco ficará intacta. Essa variável intacta nomeia a sua equação. Um carro que abranda de 25 m/s até parar com 5,00 m/s² de desaceleração não diz nada sobre o tempo nem o pergunta, portanto é v² = v₀² + 2aΔx e a resposta cabe numa linha: 62,5 m. Duplicar a velocidade de entrada para 50 m/s quadruplica essa distância para 250 m, porque o deslocamento vai com o quadrado da velocidade — a lição mais útil desta equação.

A queda livre são as mesmas quatro equações com a já conhecida

A queda livre não é um tema à parte. É o caso de aceleração constante com a dada de antemão: perto da superfície da Terra, a aceleração normal da gravidade vale exatamente 9,80665 m/s² por definição. Largue algo do repouso ao longo de 45,0 m sem que seja dado qualquer tempo: v² = v₀² + 2aΔx dá v = √(2 × 9,80665 × 45,0) = 29,71 m/s; se o que quer é o tempo, Δx = ½at² reordena-se em t = √(2 × 45,0 / 9,80665) = 3,029 s. Repor esse tempo em v = at devolve 29,71 m/s, e é essa a verificação que vale a pena.

O número 9,80665 m/s² é uma convenção definida, não uma medida do seu lugar. A gravidade local real varia alguns milésimos com a latitude e a altitude, muito abaixo da precisão de qualquer problema que comece por dizer que se despreza a resistência do ar. É essa segunda hipótese que realmente limita a resposta: um objeto denso e compacto largado de algumas dezenas de metros fica bem descrito, ao passo que uma folha de papel, ou qualquer coisa que caia durante muitos segundos, atinge uma velocidade limite que as equações desconhecem.

A hipótese que torna as quatro válidas

Todas estas equações supõem que a aceleração é constante durante todo o intervalo. Não é um tecnicismo que se possa ignorar em silêncio. A quarta forma, Δx = ½(v₀ + v)t, parece usar apenas uma velocidade média e por isso deveria valer sempre — mas a média aritmética das velocidades inicial e final iguala a velocidade média verdadeira só se a velocidade variar linearmente, que é exatamente o caso de aceleração constante. Aplique-a a um carro que acelera com força e depois segue por inércia e dar-lhe-á, em silêncio, uma distância errada.

Quando a aceleração varia mesmo, o remédio honesto é partir o movimento em intervalos onde ela seja aproximadamente constante, aplicar as equações a cada um e somar os deslocamentos. É assim que se calcula na realidade uma distância de paragem: uma fase de reação a velocidade constante e depois uma fase de travagem a desaceleração quase constante. Se a aceleração varia de forma contínua e precisa de melhor, as equações deixam de ser álgebra e passam a cálculo — a velocidade como integral da aceleração, o deslocamento como integral da velocidade — e as quatro fórmulas são apenas a resposta fechada do caso particular em que o integrando é constante.

Perguntas frequentes

Porque há quatro equações e não uma só?

Porque cinco variáveis ligadas por duas relações independentes combinam-se de quatro maneiras úteis, e cada combinação elimina uma variável diferente. Ter as quatro permite resolver qualquer problema solúvel num passo em vez de dois. Poderia sobreviver só com v = v₀ + at e Δx = v₀t + ½at², mas qualquer enunciado que cale o tempo obrigá-lo-ia então a resolver antes uma equação do segundo grau, que é justamente o trabalho extra que v² = v₀² + 2aΔx existe para lhe poupar.

A desaceleração é uma aceleração negativa?

Só em relação ao sentido que declarou positivo. A aceleração é um vetor: o que importa é se aponta a favor do movimento ou contra ele. Um carro que trava a avançar no sentido positivo tem a negativo; o mesmo carro a travar em marcha-atrás tem a positivo, embora continue a abrandar. O hábito seguro é desenhar um eixo, declarar que sentido é positivo e deixar que os sinais de v₀, v e a resultem dessa declaração e não das palavras do enunciado.

Estas equações servem em duas dimensões?

Sim, aplicadas separadamente a cada eixo. Os movimentos horizontal e vertical são independentes: escreve-se um conjunto de equações para x e outro para y, e a única coisa que partilham é o tempo decorrido t. É assim que se resolve o lançamento de projéteis: a aceleração horizontal é nula, logo x = v₀ cos θ × t, enquanto o eixo vertical leva toda a aceleração da queda livre. Nunca misture componentes dentro de uma equação: uma velocidade de 20 m/s a 30 graus não é um número substituível por v₀ na equação vertical, só a sua componente vertical de 10,0 m/s o é.