O que é o número de Reynolds? A fórmula, as unidades que se cancelam e porque 2 300 só vale para tubos

A fórmula, e a verificação de que as unidades se cancelam mesmo

Re = ρvL/μ. Em vez de acreditar na palavra adimensional, ponha as unidades. A massa volúmica ρ vai em kg·m⁻³, a velocidade v em m·s⁻¹, o comprimento L em m, pelo que o numerador ρvL leva kg·m⁻³ × m·s⁻¹ × m = kg·m⁻¹·s⁻¹. A viscosidade dinâmica μ mede-se em pascal-segundo, e um pascal é um newton por metro quadrado, logo Pa·s = (kg·m·s⁻² / m²)·s = kg·m⁻¹·s⁻¹ — a mesma combinação. Numerador e denominador levam unidades idênticas, cancelam-se, e sobra um número nu sem unidade nenhuma. É por isso que um número de Reynolds de 14 900 significa o mesmo em qualquer laboratório do planeta, e por isso escrevê-lo com uma unidade ao lado é sempre um erro.

Percorra um caso completo. A água a 20 °C tem ρ = 998,2 kg/m³ e μ = 1,002 × 10⁻³ Pa·s. Empurre-a a 1,0 m/s por um tubo de 15 mm de diâmetro interior: o numerador é 998,2 × 1,0 × 0,015 = 14,973 kg·m⁻¹·s⁻¹; divida por 1,002 × 10⁻³ kg·m⁻¹·s⁻¹ e sai 14 943, que a maioria dos engenheiros anotaria como 1,5 × 10⁴. A segunda forma é muitas vezes mais rápida: a viscosidade cinemática ν = μ/ρ = 1,002 × 10⁻³ / 998,2 = 1,0038 × 10⁻⁶ m²/s, logo Re = vL/ν = 1,0 × 0,015 / 1,0038 × 10⁻⁶ = 14 943 de novo. Aí as unidades cancelam-se igualmente bem, pois m·s⁻¹ × m ÷ m²·s⁻¹ = 1. Use a forma que corresponde à viscosidade da sua tabela, e nunca misture as duas.

2 300 pertence ao tubo: os limiares vêm com uma geometria

O número de Reynolds só fica definido quando diz o que é L, porque L não é uma propriedade fixa do objeto: é a escala de comprimento que escolhe para caracterizar o escoamento. Para o escoamento dentro de um tubo, L é o diâmetro interior, e é para essa escolha que valem os números conhecidos: abaixo de cerca de 2 300 o escoamento mantém-se laminar, acima de cerca de 4 000 é turbulento, e no meio é de transição e depende das perturbações de entrada e da rugosidade da parede. No tubo de 15 mm acima, 2 300 corresponde a 0,154 m/s, cerca de 1,6 L/min, e 4 000 a 0,268 m/s. Abra mais a torneira e está em escoamento turbulento.

Mude a geometria e o limiar muda com ela. Sobre uma placa plana em corrente livre, o valor habitual de transição é Re ≈ 5 × 10⁵ com L medido como a distância ao bordo de ataque: no ar a 50 m/s é atingido a apenas 0,152 m do bordo, e na água a 1,5 m/s a 0,335 m. O escoamento em torno de um cilindro começa a largar uma esteira de vórtices regular a partir de Re ≈ 47, e uma esfera atravessa a crise de arrasto perto de Re ≈ 3 × 10⁵. Nenhum destes números é 2 300, e nenhum o contradiz: são problemas diferentes com comprimentos característicos diferentes. Um número de Reynolds citado sem nomear L, e um limiar citado sem nomear uma geometria, são informação por acabar.

Para que serve realmente o número: comparar escoamentos de tamanhos diferentes

O número de Reynolds não é um veredicto sobre se um escoamento é bom ou mau; é uma declaração sobre que física domina. A Re baixo ganha a viscosidade e a inércia é desprezável, e por isso uma bactéria a Re = 6 × 10⁻⁵ não desliza para lado nenhum: pare o flagelo e ela imobiliza-se numa fração do próprio comprimento. A Re alto ganha a inércia, as pequenas perturbações crescem em vez de serem amortecidas, e o escoamento torna-se turbulento. As onze ordens de grandeza da tabela acima não são uma escala de qualidade: são o mapa do termo das equações de Navier-Stokes que lhe é permitido desprezar.

O ganho prático é a semelhança dinâmica. Dois escoamentos com o mesmo número de Reynolds e a mesma geometria comportam-se da mesma maneira, seja qual for o tamanho absoluto: o padrão das linhas de corrente e o coeficiente de arrasto transferem-se. É toda a base dos ensaios em túnel de vento e em tanque de reboque, e também a sua dificuldade central. Para igualar os 4,9 × 10⁶ da asa real com uma maqueta à escala de um décimo em ar comum, seriam precisas dez vezes a velocidade, 500 m/s, ou seja Mach 1,46 — e já não é de todo a mesma física. A saída habitual é aumentar a densidade: pressurizar o túnel dez vezes repõe Re aos 50 m/s originais, Mach 0,15, e é por isso que os túneis aerodinâmicos sérios são recipientes sob pressão em vez de grandes ventoinhas.

Perguntas frequentes

Um número de Reynolds alto é bom ou mau?

Nem uma coisa nem outra: é uma descrição, não uma nota. Um número de Reynolds alto significa que a inércia domina e que o escoamento será provavelmente turbulento, o que aumenta as perdas de carga num tubo mas melhora a mistura e a transferência de calor, e numa asa pode atrasar o descolamento e reduzir o arrasto. Um número baixo significa que a viscosidade domina e que o escoamento é ordenado e previsível, excelente para uma película lubrificante e inútil para agitar um reator. Pergunte o que quer que o escoamento faça antes de decidir que extremo da escala lhe convém.

Que comprimento uso para L?

O mesmo com que foi definido o limiar com que vai comparar. Dentro de um tubo circular, use o diâmetro interior; para uma conduta não circular, o diâmetro hidráulico, quatro vezes a área da secção dividida pelo perímetro molhado. Ao longo de uma placa plana, use a distância ao bordo de ataque, de modo que Re cresce para jusante. Para uma asa, a corda; para uma esfera ou um cilindro em escoamento transversal, o diâmetro; para um corpo que nada, o comprimento do corpo. O número nada significa isolado, por isso indique L sempre que reportar Re.

Qual é a diferença entre viscosidade dinâmica e cinemática?

A viscosidade dinâmica μ mede a resistência de um fluido ao corte e exprime-se em pascal-segundo; a viscosidade cinemática ν é essa resistência dividida pela massa volúmica, ν = μ/ρ, e exprime-se em metros quadrados por segundo. A água a 20 °C tem μ = 1,002 × 10⁻³ Pa·s e ν = 1,0038 × 10⁻⁶ m²/s; o ar à mesma temperatura tem um μ muito menor, 1,825 × 10⁻⁵ Pa·s, mas um ν quinze vezes maior, 1,5158 × 10⁻⁵ m²/s, porque é bem menos denso. Use Re = ρvL/μ com a primeira e Re = vL/ν com a segunda — ambas dão o mesmo, mas misturá-las produz um erro de um fator ρ.