O movimento de projéteis explicado: alcance, altura, tempo de voo — e porque 45° nem sempre é o melhor

Dois movimentos independentes ligados por um só relógio

Decomponha a velocidade inicial: horizontalmente v₀ cos θ, verticalmente v₀ sin θ. Nada empurra o projétil de lado uma vez no ar, portanto a componente horizontal não muda e a distância horizontal é simplesmente velocidade vezes tempo. Na vertical é um problema de queda livre com partida para cima. Os dois eixos não falam entre si a não ser pelo tempo comum, e esse único facto gera as três fórmulas. O tempo de voo vem do regresso a zero do eixo vertical: T = 2v₀ sinθ/g. Meta esse tempo no eixo horizontal e obtém o alcance, v₀ cos θ × T, que a trigonometria comprime em v₀² sin(2θ)/g.

A independência dos dois eixos tem uma consequência contraintuitiva: uma bola disparada na horizontal e uma bola simplesmente largada da mesma altura tocam o solo no mesmo instante. A velocidade horizontal compra distância, nunca tempo no ar. Isso explica também que a componente vertical sozinha fixe o ponto mais alto e a duração, enquanto a horizontal sozinha converte essa duração em distância. Quando um problema mistura as duas — substituindo 20 m/s onde só cabe a componente vertical de 10,0 m/s de um lançamento a 30° — todos os números seguintes ficam errados pelo mesmo fator trigonométrico.

Porque 45° maximiza o alcance e porque os ângulos complementares empatam

A fórmula do alcance contém o ângulo apenas através de sin(2θ), e um seno atinge o seu valor máximo de 1 quando o argumento vale 90 graus, ou seja, quando θ é 45°. Aí o alcance reduz-se a v₀²/g, que a 20 m/s são 40,79 m. A mesma expressão explica os empates: sin(2θ) toma o mesmo valor em θ e em 90° − θ, porque 2(90° − θ) = 180° − 2θ e o seno de um ângulo iguala o do seu suplemento. Assim, 30° e 60° caem ambos a 35,32 m, e 15° e 75° ambos a 20,39 m, com a mesma velocidade de partida.

Alcance igual não significa trajetória igual, e escolher entre dois ângulos empatados é uma decisão real. O tiro de 60° sobe a 15,30 m e fica 3,53 s no ar; o de 30° culmina em 5,10 m e cai em 2,04 s. Um jogador que lança para uma base quer a opção tensa, porque o tempo no ar favorece o corredor; uma peça de artilharia a disparar por cima de uma crista quer a opção alta. Vale também saber quão plano é o máximo: 40° e 50° dão ambos 40,17 m, apenas 1,5 % abaixo do melhor possível de 40,79 m, pelo que dois graus de erro de pontaria quase não custam nada.

A hipótese que quase todos os exemplos reais violam

R = v₀² sin(2θ)/g deduz-se perguntando quando o projétil regressa à sua altura de partida. Quase nada o faz. Uma bola sai da mão à altura do ombro e cai na relva; um peso é lançado de acima do solo; uma pedra é atirada de uma falésia. Com uma altura de lançamento h, o tempo de voo passa a ser t = (v₀ sinθ + √(v₀² sin²θ + 2gh))/g e o alcance é v₀ cos θ × t. Para 20 m/s a 45° largados de 2,00 m são 42,70 m em vez de 40,79 m — mais 4,7 %, e a fórmula de solo plano fica sempre aquém.

O ângulo ótimo também se desloca. Lançando de uma altura, o melhor ângulo satisfaz sin²θ = v₀²/(2v₀² + 2gh), que neste exemplo dá 43,66° e um alcance de 42,74 m. O ganho face a manter 45° são quatro centímetros, pelo que na prática a altura importa muito mais do que reotimizar o ângulo. A resistência do ar é a outra omissão, e a maior para tudo o que é leve ou rápido: uma bola realmente lançada perde alcance e o seu melhor ângulo desce bem abaixo de 45°, razão pela qual as fórmulas aqui dadas são apresentadas como a idealização sem arrasto e não como a descrição de um lançamento real.

Perguntas frequentes

45 graus é sempre o melhor ângulo de lançamento?

Só quando a partida e a chegada estão à mesma altura e se ignora a resistência do ar. Eleve o ponto de lançamento e o ótimo desce abaixo de 45°: de 2,00 m a 20 m/s o melhor ângulo é 43,66°. Junte resistência do ar e desce ainda mais, porque uma trajetória mais tensa passa menos tempo a ser travada. Aponte abaixo do ponto de partida e o ótimo sobe, pelo contrário, acima de 45°. O resultado dos 45° é a consequência limpa de uma hipótese limpa, não uma regra universal.

Um projétil mais pesado vai menos longe?

Nas fórmulas idealizadas não: a massa não aparece nem em R, nem em H, nem em T, pelo que dois objetos lançados à mesma velocidade e ângulo seguem trajetórias idênticas independentemente do que pesem. Na realidade o arrasto desempata, e desempata a favor do mais pesado: a força que trava depende do tamanho e da forma, ao passo que a inércia que lhe resiste depende da massa, pelo que um corpo denso de igual forma é menos travado. Por isso uma bola de aço vai mais longe do que uma de plástico do mesmo diâmetro lançada da mesma maneira, embora as fórmulas sem arrasto as deem empatadas.

Qual é a velocidade no ponto mais alto da trajetória?

Zero não — é o deslize clássico. No vértice só a componente vertical se anulou; a horizontal v₀ cos θ está intacta, porque nada atuou na horizontal. Um lançamento de 20 m/s a 30° vai ainda a 20 × cos 30° = 17,32 m/s no ponto mais alto, e a 60° faz ainda 10,0 m/s. A aceleração no vértice também não é zero: são os 9,80665 m/s² completos a apontar para baixo, que é exatamente por isso que a velocidade vertical não fica em zero.