Frequência de capitalização: de onde vem a capitalização contínua

Calcule a sucessão e o tema inteiro desmorona

Uma taxa nominal anual r creditada n vezes por ano credita r/n de cada vez, e cada crédito vence juros até ao fim do ano. Um ano assim vale (1 + r/n)^n. Ponha r = 0,06 e faça subir n sobre 10 000 €: anual dá 10 600,00 €, semestral 10 609,00 €, trimestral 10 613,64 €, mensal 10 616,78 €, diária 10 618,31 €, horária 10 618,36 €, por segundo 10 618,37 €. A sucessão cresce estritamente e mesmo assim estagna à vista. De diária para por segundo — 86 400 vezes mais eventos de capitalização — ganham-se seis cêntimos.

Estagna porque cada divisão extra faz duas coisas opostas. Partir o crédito ao meio faz os juros começarem mais cedo a render juros, o que ajuda — mas cada metade é também metade do tamanho, e à segunda só resta meio ano para capitalizar, o que anula quase todo o ganho. O efeito líquido decresce como 1/n. O teto é e^r: 1,0618365465 para r = 0,06, ou seja 10 618,37 €. Nenhum calendário de capitalização, por mais fino que seja, o ultrapassa. É esse todo o conteúdo da capitalização contínua, e é por isso que a expressão intimida muito mais do que a aritmética merece.

Porque é que o teto é e, precisamente

A constante e define-se como o limite de (1 + 1/k)^k quando k cresce sem limite: 2 para k = 1, 2,5937 para k = 10, 2,7048 para k = 100, 2,71815 para k = 10 000, convergindo para 2,718281828… Reescreva a nossa sucessão com k = n/r, de modo que r/n = 1/k e n = k·r. Então (1 + r/n)^n torna-se ((1 + 1/k)^k)^r, e quando n cresce, k cresce com ele: o parêntesis tende para e e o conjunto tende para e^r. É essa toda a dedução. A capitalização contínua não é outro tipo de juro; é o mesmo juro com a substituição feita.

Daí saem de imediato duas fórmulas que vale a pena memorizar em vez de tudo o resto. Fazer crescer um montante P durante t anos a uma taxa capitalizada em contínuo r dá P·e^(r·t). Descontar no sentido inverso — a operação por trás de todo o cálculo de valor atual, incluindo os do nosso artigo irmão sobre valor atual e valor futuro — dá P·e^(−r·t). São inversas exatas, compõem-se de forma limpa sobre qualquer horizonte e, ao contrário de (1 + i)^n, não o obrigam a decidir o que é um período.

Uma taxa nominal não é uma taxa que alguma vez receba

O número anunciado numa conta poupança ou num cartão é quase sempre nominal: um rótulo anualizado de uma taxa periódica, obtido multiplicando e não capitalizando. Seis por cento nominal capitalizado mensalmente quer dizer 0,5 % ao mês, e doze meses a 0,5 % dão 6,1678 %, não 6. A taxa efetiva anual vale TAE = (1 + r/n)^n − 1; no sentido inverso, a taxa nominal que produz uma TAE pretendida vale r = n·((1 + TAE)^(1/n) − 1). Nada nesse par de fórmulas é opcional: a taxa nominal só existe como convenção de anúncio, a taxa efetiva é o dinheiro.

É exatamente aí que a TAEG e o rendimento efetivo divergem, e porque é que ambos aparecem de cada lado do mesmo produto. Num depósito, o número de rendimento está capitalizado: é o maior e o que os bancos gostam de mostrar. No crédito, o destaque é em geral a taxa nominal, pelo que 24 % nominal cobrados mensalmente dão 26,82 % efetivos, e cobrados diariamente 27,11 % — o titular do cartão paga cerca de três pontos mais do que o anúncio sugere. Junte a segunda complicação e a diferença alarga: uma TAEG no sentido da regulamentação europeia do crédito ao consumo incorpora os encargos obrigatórios, podendo por isso exceder a taxa de juro efetiva ainda antes de se considerar a capitalização. Compare depósitos pelo rendimento efetivo, compare créditos pelo número tudo incluído que o seu regulador define, e nunca compare um com o outro.

Quando a distinção vale dinheiro e quando não vale

É a parte que a maioria das explicações salta, e a única que diz ao leitor se deve importar-se. Sobre 10 000 € durante um ano a 6 %, a capitalização mensal rende 10 616,78 € e a contínua 10 618,37 €: uma diferença de 1,59 €, ou 0,016 % do capital. Ninguém deveria mudar uma decisão por isso. A 24 % — uma taxa de cartão plausível — a mesma diferença anual vale 30,07 € sobre 10 000 €, dezanove vezes mais em euros mas ainda 0,24 % do saldo. Não é a distinção que torna um cartão caro; é o 24 %.

É o tempo que transforma o erro de arredondamento num número real. Mantenha os 6 % durante dez anos e a diferença mensal-contínua sobre 10 000 € sobe para 27,22 €; mantenha-a trinta e chega a 270,72 €, ainda 0,45 %. Mantenha, em contrapartida, os 24 % durante trinta anos e a mensal dá 12 475 611 € contra 13 394 308 € em contínua — uma diferença de 918 696 €, ou 7,4 % do saldo. Essa é a regra honesta: a questão da frequência é um pormenor de arredondamento em produtos de consumo a taxas correntes, e só se torna um valor real onde a taxa é alta e o horizonte longo, o que na prática significa modelos e não contas.

Onde a capitalização contínua serve mesmo

A avaliação de opções é o caso mais nítido. O quadro de Black-Scholes desconta com e^(−r·T) e modela o preço do ativo como a exponencial de um processo com deriva capitalizada em contínuo, porque a matemática de uma difusão não contém período natural — não há mês, só instante. As mesas de obrigações e de swaps cotam igualmente em capitalização contínua quando querem uma taxa que se some de uma maturidade à outra sem que uma convenção de contagem de dias atrapalhe. Em nenhum destes casos alguém afirma que um banco credita juros a cada instante; a taxa contínua é uma mudança de coordenadas que torna a álgebra dócil.

Os rendimentos logarítmicos somam-se; as percentagens não

Pegue em 10 000 €, ganhe 50 % e depois perca 50 %. As percentagens têm média zero; o dinheiro não. 10 000 € passam a 15 000 € e depois a 7 500 € — uma rentabilidade total de −25 %, e uma média por período de −13,40 %, não 0. As rentabilidades percentuais compõem-se por multiplicação, e à multiplicação não interessa qual é a média dos fatores. Só essa assimetria está por trás de quase toda a má leitura de um histórico, e por trás de toda a afirmação de que um fundo está «na mesma» depois de uma ida e volta violenta.

Os rendimentos logarítmicos corrigem isso exatamente. Defina o rendimento logarítmico de um período como ln(fim ÷ início). Aqui ln(1,5) = 0,405465 e ln(0,5) = −0,693147; a soma vale −0,287682, e e^(−0,287682) = 0,750000, o verdadeiro fator acumulado. Os rendimentos logarítmicos somam-se no tempo porque o logaritmo transforma produtos em somas — a mesma propriedade que faz da taxa capitalizada em contínuo a unidade natural de um modelo multiperíodo. O preço desse conforto: os logs não se somam entre ativos de uma carteira, onde os rendimentos simples somam. Use logs no eixo do tempo e rendimentos simples no eixo das posições, nunca ao contrário.

Perguntas frequentes

A capitalização contínua existe mesmo num banco?

Não. Os juros são creditados em datas discretas — dia, mês, trimestre — porque uma conta é um livro e um livro tem lançamentos. A capitalização contínua é o limite de que esses calendários se aproximam, usada porque deixa as fórmulas mais limpas, não porque alguém faça um lançamento a cada instante. O seu valor prático é eliminar o período da álgebra: e^(r·t) funciona para qualquer t, pelo que uma taxa cotada em contínuo se move entre horizontes sem convenção de capitalização a discutir. Trate-a como unidade de modelação e converta-a em taxa efetiva anual assim que quiser compará-la com um produto.

Porque é que o rendimento da minha conta poupança excede a taxa anunciada?

Porque os dois números respondem a perguntas diferentes. A taxa anunciada é em geral nominal — a taxa periódica multiplicada para cobrir o ano — enquanto o rendimento capitaliza os juros efetivamente creditados. A 6 % nominal creditados mensalmente, o rendimento vale (1,005)^12 − 1 = 6,17 %; creditados diariamente, 6,18 %. A diferença alarga com a taxa, e por isso é invisível num depósito de taxa baixa e gritante num cartão de crédito. Para comparar duas contas, exija o número capitalizado das duas e confirme a frequência de capitalização escrita nas condições em vez de a supor.

Capitalizar mais vezes ajuda-me ou prejudica-me?

Depende inteiramente do lado do balanço em que está. Sobre dinheiro que lhe devem — depósito, obrigação, investimento — capitalizar mais vezes é estritamente melhor, porque os juros começam mais cedo a render juros. Sobre dinheiro que deve, é estritamente pior pela mesma razão: um cartão que capitaliza diariamente custa mais do que outro à mesma taxa nominal a capitalizar mensalmente. O sentido nunca muda; muda só a magnitude, e como o artigo mostra, é pequena a taxas correntes. Se duas propostas anunciam a mesma taxa nominal mas frequências diferentes, converta ambas em taxa efetiva anual antes de escolher.

Como converto uma taxa contínua numa taxa anual normal?

Uma exponencial em cada sentido. Uma taxa capitalizada em contínuo r corresponde a uma taxa efetiva anual de e^r − 1: com r = 0,06 dá 6,1837 %. No sentido inverso, a taxa contínua equivalente a uma taxa efetiva anual vale ln(1 + TAE): 6 % efetivos são 5,8269 % em contínuo. Repare no sentido de cada conversão — para o mesmo dinheiro, a taxa contínua é sempre a menor das duas, porque capitaliza mais vezes e precisa portanto do menor rótulo para chegar ao mesmo ponto. Confundi-las é o erro mais frequente numa folha de cálculo que mistura as duas convenções.

Porque é que os analistas usam rendimentos logarítmicos em vez de percentagens?

Porque se somam, e somar é o que a estatística precisa. Somar uma coluna de rendimentos logarítmicos dá exatamente o rendimento logarítmico acumulado, pelo que uma média, um desvio-padrão e um reescalonamento temporal se comportam bem. Os rendimentos percentuais compõem-se multiplicativamente, pelo que a sua média aritmética exagera o que aconteceu — o exemplo de +50 e depois −50 dá média zero enquanto o dinheiro caiu 25 %. Os rendimentos logarítmicos são ainda simétricos: duplicar vale +0,693 e dividir por dois −0,693, ao passo que o par percentual vale +100 e −50. A única coisa que não sabem fazer é agregar uma carteira num dado instante, onde os rendimentos simples são a ferramenta certa.