Investimento programado: o que compra realmente

A identidade que quase ninguém enuncia: o seu custo médio é uma média harmónica

Suponha que gasta um montante fixo C em cada um de n períodos, aos preços p₁ … pₙ. As unidades compradas no período i são C ÷ pᵢ, logo o total de unidades é C·Σ(1 ÷ pᵢ) e o total gasto nC. O seu custo médio por unidade é o segundo dividido pelo primeiro: nC ÷ [C·Σ(1 ÷ pᵢ)] = n ÷ Σ(1 ÷ pᵢ). Essa expressão é a definição da média harmónica dos preços. O C simplifica-se, portanto o resultado não depende de quanto investe, apenas de o montante ser constante.

Mude agora a regra. Compre um número fixo de unidades U em cada período em vez de gastar um montante fixo. O total gasto é U·Σpᵢ e o total de unidades nU, logo o custo médio é Σpᵢ ÷ n — a média aritmética dos preços, que é também simplesmente o preço médio que um observador passivo citaria. As duas regras produzem duas médias diferentes exatamente da mesma série de preços, e é esse todo o conteúdo matemático do investimento programado.

Tome uma trajetória concreta de doze preços mensais: 100, 84, 72, 95, 120, 140, 105, 88, 76, 92, 130, 118. A média aritmética é 101,6667. Gastar 200 € por mês compra 24,575589 unidades por 2 400 €, o que é um custo médio de exatamente 97,6579 — e a média harmónica desses doze preços é 97,6579 até à última casa decimal que um computador queira imprimir. Comprar 2 unidades por mês custa em vez disso 2 440,00 € por 24 unidades, uma média de exatamente 101,6667. A diferença é 4,0088, ou 4,10 % da média harmónica, e apareceu sem outra razão que não a forma da regra de gasto.

Porque é que a média harmónica é sempre a menor das duas

A desigualdade não é uma regularidade empírica, é um teorema. Para quaisquer números positivos, a desigualdade de Cauchy-Schwarz dá (Σpᵢ)·(Σ1÷pᵢ) ≥ n². Divida ambos os membros por n²: (Σpᵢ ÷ n) · (1 ÷ [n ÷ Σ(1÷pᵢ)]) ≥ 1, o que diz média aritmética ÷ média harmónica ≥ 1. A igualdade só ocorre se todos os preços forem idênticos. Portanto a média harmónica é no máximo igual à aritmética, sempre, para toda a trajetória de preços que tenha existido ou venha a existir, sem qualquer pressuposto sobre tendência, distribuição ou direção do mercado.

O tamanho da diferença é governado pela dispersão dos preços. Em boa aproximação, a diferença entre as duas médias é a variância dos preços dividida pela sua média aritmética. Na trajetória acima o desvio-padrão populacional dos preços é 20,544 — um coeficiente de variação de 20,21 % — e a aproximação dá 20,544² ÷ 101,6667 = 4,151 contra uma diferença real de 4,009. Numa trajetória mais calma, 100, 102, 98, 101, 103, 99, 100, 102, 101, 99, 100, 101, a média aritmética é 100,5000, a harmónica 100,4809, e a diferença desaba para 0,019 %. O benefício é real, é proporcional à dispersão dos preços, e num ativo calmo arredonda para nada.

O que a média harmónica não demonstra

A comparação que o teorema estabelece é entre um plano de montante fixo e um de quantidade fixa sobre os mesmos preços. Não é uma comparação com investir tudo no dia 1, e tomá-la por tal é onde vive quase toda a confusão neste assunto. Bater o preço médio é fácil e um pouco ao lado da questão: o investidor de uma vez também não pagou o preço médio. Pagou o primeiro preço, 100, que nesta trajetória está abaixo de ambas as médias.

Nesta trajetória concreta o plano ganha mesmo, e vale a pena ver porque é que isso não prova nada. Doze pagamentos de 200 € compram 24,575589 unidades, que valem 2 899,92 € ao preço de fecho de 118 — um ganho de 20,83 % sobre 2 400 € gastos. Os mesmos 2 400 € comprometidos ao preço de abertura de 100 compram 24 unidades que valem 2 832,00 €, um ganho de 18,00 %. O plano fica à frente em 67,92 € porque esta trajetória caiu com força a meio, e o dinheiro do comprador mensal chegou quando os preços estavam em 72, 76 e 88. Inverta a trajetória para que suba primeiro e caia depois e a ordenação inverte-se com ela. Uma trajetória não prova nada; uma distribuição prova.

A comparação honesta: 200 000 trajetórias simuladas

Os parâmetros têm de ser declarados, porque são pressupostos e não observações: um horizonte de doze meses, 12 000 € a investir, rendibilidades mensais lognormais com média aritmética de 8 % ao ano e volatilidade anualizada de 20 %, e 2 % ao ano sobre a liquidez ainda não investida. O investidor de uma vez põe 12 000 € no dia 1. O do plano põe 1 000 € no início de cada um de doze meses e recebe a taxa de liquidez sobre o saldo em espera. Ambos são avaliados no fim do mês doze. Sem comissões, sem impostos, sem spread — acrescentá-los não muda o sentido do resultado.

A simulação não é precisa para obter as esperanças, o que serve para a verificar. A riqueza investida esperada do plano é Σ 1 000·(1,08)^((12−t)÷12) para t = 0 … 11, ou seja 12 513,89 €, mais 110,39 € de juros da liquidez, dando 12 624,28 €. A esperança da entrada única é simplesmente 12 000 € × 1,08 = 12 960,00 €. A diferença é de 335,72 € e as médias simuladas, 12 623 € e 12 960 €, assentam nela. A razão não é subtil: cada euro do plano está investido 6,5 meses em média em vez de 12, ganhando portanto cerca de metade da rendibilidade esperada, e entretanto metade do dinheiro dorme numa conta pouco remunerada.

É na distribuição que o plano ganha o seu lugar, e a tabela acima dá-a por inteiro. O desvio-padrão da riqueza final do plano é de 1 559 € contra 2 625 € — 41 % menos. O seu percentil cinco é 10 262 € contra 9 142 €, pelo que na pior trajetória em vinte o plano está 1 120 € melhor. O seu percentil noventa e cinco é 15 352 € contra 17 661 €, pelo que na melhor em vinte está 2 309 € pior. As duas afirmações são a mesma afirmação. O plano cedeu 2 309 € de subida para comprar 1 120 € de proteção na descida, e terminou à frente em 44,43 % das trajetórias.

Duas variantes afinam o quadro. Suba a volatilidade para 40 % e o plano ganha em 53,39 % das trajetórias e na mediana — 12 187 € contra 11 958 € — enquanto a diferença de média fica nos 340 €, porque a média é governada pelo tempo no mercado e a mediana pela forma da distribuição. Ponha a rendibilidade esperada a zero e o plano ganha em 57,47 % das trajetórias e também na média, com 12 109 € contra 12 000 €. É essa a regra geral dita com limpeza: o custo do plano é a rendibilidade esperada a que renuncia por manter liquidez, logo onde não há rendibilidade esperada não há custo. Retire os 2 % da liquidez e a média do plano cai para 12 513 € e a sua taxa de vitória para 41,15 %, lembrete de que onde o dinheiro espera faz parte da decisão.

A verdadeira razão por que se usa, e é boa

O argumento da riqueza esperada supõe um investidor que executa com calma, uma vez, o plano que a aritmética recomenda. Os investidores reais enfrentam uma decisão que têm de continuar a tomar, e o plano faseado é muitas vezes aquele que de facto vão seguir. Pôr a poupança de um ano inteiro num mercado numa única manhã exige uma tolerância ao arrependimento que muitos descobrem, tarde, não ter; um plano já montado e automatizado não exige nada no mês em que os preços caem, que é exatamente o mês em que um investidor discricionário para.

É uma vantagem real e não está medida em lado nenhum da tabela acima, porque a simulação compara dois planos ambos executados. A comparação que um particular enfrenta de facto é muitas vezes entre um plano faseado executado e uma entrada única abandonada — e face a um plano que nunca acontece, 12 623 € é um número muito bom. O enquadramento honesto é portanto: o custo esperado de fasear, sob estes pressupostos, é de cerca de 337 € sobre 12 000 € num ano, ou 2,8 % da soma, e é esse o preço de um plano que vai manter. Se vale a pena pagá-lo é uma pergunta sobre si, não sobre a aritmética.

O caso em que domina realmente

Tudo o que antecede compara um plano com uma entrada única. Essa comparação pressupõe que existe uma soma. Para a maioria de quem poupa a partir do rendimento, não existe: o dinheiro chega mensalmente, e a contribuição de cada mês é investida assim que existe. Não há estratégia alternativa a que se renuncie, nem liquidez parada, nem rendibilidade esperada cedida. Investir a poupança de cada mês no mês em que chega é simplesmente investir de imediato — é a estratégia da entrada única, aplicada doze vezes a doze somas pequenas.

A distinção importa porque as duas situações recebem o mesmo nome e só uma acarreta um custo. Se herdou, vendeu alguma coisa ou recebeu um prémio, e o dinheiro está parado numa conta, fasear tem um custo esperado mensurável e compra uma redução de dispersão mensurável: pode pesar os dois um contra o outro com os números acima. Se investe uma parte de cada salário, não há nada a pesar. O efeito da média harmónica é então um bónus autêntico e gratuito: o seu custo médio do ano sairá na mesma abaixo do preço médio, sem despesa alguma, unicamente porque uma contribuição fixa compra mais unidades quando os preços estão baixos.

Perguntas frequentes

O investimento programado bate a entrada única?

Não em riqueza final esperada, sob os pressupostos aqui usados. Em doze meses com 12 000 €, 8 % de rendibilidade média suposta, 20 % de volatilidade e 2 % sobre a liquidez em espera, a entrada única dá em média 12 960 € e o plano mensal 12 623 € — um défice de 337 €, ou 2,8 % da soma. A razão é o tempo investido: cada euro do plano está investido 6,5 meses em média em vez de 12. O plano ganha em 44,43 % das 200 000 trajetórias simuladas. O que compra é um desvio-padrão 41 % menor e um percentil cinco 1 120 € melhor. Mude o pressuposto para rendibilidade esperada nula e o plano ganha também na média, com 12 109 € contra 12 000 € — o que mostra que o custo é exatamente a rendibilidade a que se renuncia, nada mais.

A vantagem da média harmónica é real ou um truque de apresentação?

É real e demonstrável, mas responde a uma pergunta mais estreita do que parece. É um teorema que gastar um montante fixo produz um custo médio igual à média harmónica dos preços, que nunca está acima da aritmética — 97,66 contra 101,67 na trajetória deste artigo, uma vantagem de 4,10 %. É uma afirmação verdadeira sobre o seu custo face ao preço médio da mesma janela. Não é uma afirmação sobre o seu custo face a qualquer outra estratégia, e em particular o comprador de uma vez pagou o primeiro preço, não o médio, pelo que o teorema nada diz sobre qual dos dois sai melhor. A diferença encolhe além disso para quase nada quando os preços são estáveis: numa trajetória calma deste artigo era de 0,019 %.

Por quantos períodos devo repartir o dinheiro?

Os dois efeitos puxam em sentidos opostos e ambos escalam com a duração do calendário. Um calendário mais longo deixa mais dinheiro em liquidez durante mais tempo, pelo que o custo esperado sobe aproximadamente na proporção; sob os pressupostos daqui, repartir 12 000 € por doze meses custa cerca de 337 € em esperança, e um calendário com o dobro do comprimento deixaria cada euro investido 12,5 meses em 24 em vez de 6,5 em 12, com um custo proporcionalmente maior. Um calendário mais longo também reduz mais a dispersão, embora com rendimentos decrescentes, já que boa parte da redução de variância se consegue logo nas primeiras entregas. Não há um ótimo válido para todos, porque a troca opõe uma quantidade calculável a uma tolerância que só o próprio pode avaliar. O que convém evitar é um calendário tão longo que seja a alocação a liquidez, e não o investimento, a determinar o resultado.

Um plano mensal a partir do salário tem o mesmo inconveniente?

Não, e esta é a distinção mais importante do assunto. O custo esperado de um plano faseado é a rendibilidade a que se renuncia ao deixar o dinheiro em liquidez em vez de o investir. Se o dinheiro ainda não existe — porque chega com cada salário — não há liquidez parada e não se renuncia a nada. Investir a contribuição de cada mês assim que chega é investir de imediato, não fasear. Nessa situação o efeito da média harmónica é um bónus grátis: o seu custo médio do ano sai abaixo do preço médio unicamente porque uma contribuição fixa compra mais unidades quando os preços estão baixos. A comparação com a entrada única simplesmente não se aplica, porque nunca houve uma soma para investir.

As comissões de transação mudam a conclusão?

Empurram no mesmo sentido que o efeito de rendibilidade esperada, pelo que alargam a diferença em vez de a fechar. Um plano faz doze compras onde uma entrada única faz uma, pelo que qualquer encargo fixo por ordem é pago doze vezes; 2 € por ordem custam 24 € contra 2 €, e sobre 12 000 € isso são mais 0,18 % entregues. As comissões percentuais e os spreads são no geral neutros, já que escalam com o montante negociado e não com o número de operações. Consequências práticas: preferir, para um plano regular, um fornecedor sem encargo por ordem, e desconfiar de calendários muito frequentes — um plano semanal paga quatro vezes os custos fixos de um mensal por uma redução adicional de dispersão pequena.