O que um número de rendibilidade não lhe está a dizer

Uma palavra, quatro perguntas

Quando uma ficha, uma aplicação ou um amigo citam uma rendibilidade, quatro medidas distintas disputam a mesma palavra. O dinheiro foi ponderado pelo tempo ou pelo montante — ou seja, é o desempenho do fundo ou o seu? É antes ou depois da inflação? Antes ou depois das comissões que saíram da conta? E se for uma média de vários anos, é a média aritmética dos números anuais ou a média geométrica que realmente capitalizou? Cada par pode diferir em vários pontos e, no pior caso, diferem no sinal.

Nada disto implica desonestidade. Cada medida é a resposta certa a uma pergunta concreta, e as normas que regem a publicação de desempenho existem precisamente porque é preciso fixar a pergunta antes de o número significar alguma coisa. O problema é que o leitor quase sempre quer o número ponderado pelos fluxos, real, líquido de comissões e geométrico, e o que tem à frente costuma ser o ponderado pelo tempo, nominal, bruto e aritmético. As secções seguintes separam-nos um a um, com aritmética em vez de adjetivos.

O ponderado pelo tempo mede o fundo; o ponderado pelos fluxos mede-o a si

Tome um fundo que rende +50 %, depois −30 %, depois +25 %. Encadeie os fatores: a rendibilidade ponderada pelo tempo vale 1,50 × 0,70 × 1,25 = 1,3125, um ganho de 31,25 % em três anos, ou 9,49 % ao ano capitalizados. Esse número ignora deliberadamente quando o dinheiro entrou e saiu, porque o gestor não o controla; é a rendibilidade de uma unidade detida do princípio ao fim. Agora ponha lá um investidor. Começa com prudência, 10 000 €. Depois de um primeiro ano a +50 % ganha confiança e acrescenta 100 000 €. O fundo cai então 30 % e, no início do terceiro ano, acrescenta mais 20 000 €.

Os saldos saem por si: 10 000 € tornam-se 15 000 €; 115 000 € tornam-se 80 500 €; 100 500 € tornam-se 125 625 €. O investidor entregou 130 000 € e termina com 125 625 €, menos 4 375 €. Resolvendo a série de fluxos −10 000 €, −100 000 €, −20 000 € e +125 625 € para a taxa que anula o seu valor atual líquido, obtém-se uma taxa interna de rendibilidade de −1,77 % ao ano. O fundo fez 9,49 % ao ano. O investidor perdeu dinheiro. A diferença de 11,25 pontos não é uma comissão, nem uma fraude, nem um erro de replicação — é a consequência aritmética de ter apenas 10 000 € expostos ao ano de +50 % e 115 000 € expostos ao de −30 %.

Inverta o calendário e o mesmo fundo dá o veredicto oposto. Aplique primeiro 100 000 €, depois 20 000 €, depois 10 000 € — os mesmos 130 000 €, as mesmas três rendibilidades anuais — e a conta termina em 161 250 €, uma taxa interna de rendibilidade de +8,28 % ao ano. Um fundo, a mesma soma investida, dez pontos de diferença no resultado do investidor, decididos inteiramente pela ordem dos depósitos. É por isto que fichas de produto e experiência dos aforradores se contradizem tantas vezes, e porque a Morningstar publica um estudo anual comparando a rendibilidade declarada por um fundo com a que os seus participantes realmente obtiveram.

Que medida responde a que pergunta

A rendibilidade ponderada pelo tempo existe para tornar os gestores comparáveis. Dois fundos devem ser julgados na mesma base mesmo que um tenha recebido uma enxurrada de subscrições num trimestre mau e o outro não; as Global Investment Performance Standards do CFA Institute prescrevem a metodologia exatamente por isso: impedir que uma sociedade escolha o cálculo que a favorece. Leia uma rendibilidade publicada como resposta à pergunta este fundo foi bem gerido, e é o número certo. Leia-a como resposta a como é que eu me saí, e está a responder em silêncio a outra coisa.

A rendibilidade ponderada pelos fluxos é a que corresponde ao seu saldo bancário, porque desconta cada depósito e cada levantamento pelo tempo que passou investido. A maioria das folhas de cálculo obtém-na com uma função de taxa interna de rendibilidade, e a variante com datas trata das entregas irregulares. Tem um incómodo conhecido: uma série de fluxos que muda de sinal mais de uma vez pode admitir mais do que uma taxa matematicamente válida, a mesma limitação que faz da taxa interna de rendibilidade uma má ferramenta para ordenar projetos. Para um histórico de poupança normal — entrada, entrada, entrada, um saldo no fim — comporta-se bem, e é o número que lhe diz o que lhe aconteceu.

Nominal menos inflação não é a rendibilidade real

A conversão correta divide em vez de subtrair: rendibilidade real = (1 + n) ÷ (1 + i) − 1, onde n é a rendibilidade nominal e i a inflação do mesmo período. A razão: o seu dinheiro cresce por um fator (1 + n) enquanto os preços crescem por um fator (1 + i), e o que pode comprar é o quociente dos dois. A subtração é uma aproximação aceitável quando ambos os números são pequenos e desfaz-se quando não são. A 7 % nominal e 2 % de inflação a rendibilidade real verdadeira é 4,90 % contra os 5 subtraídos — um erro de cerca de um décimo de ponto, com que ninguém precisa de se preocupar.

É com inflação alta que morde. A 20 % nominal e 15 % de inflação, a subtração diz 5 % e o número verdadeiro é (1,20 ÷ 1,15) − 1 = 4,35 %: o atalho exagera a resposta em 0,65 pontos, ou seja 15 % da própria rendibilidade real. A 40 % nominal e 35 % de inflação, a subtração continua a dizer 5 % quando a verdade é 3,70 %. Capitalize esse erro e ele torna-se visível em dinheiro: 10 000 € a crescer 20 anos a 4,35 % reais chegam a 23 424 €, enquanto os 5 % subtraídos preveem 26 533 € — uma projeção 13,3 % demasiado otimista. Use o índice oficial de preços que o seu país publica, e o mesmo período para ambos os números.

Rendibilidade bruta, rendibilidade líquida e trinta anos

Uma comissão parece uma pequena subtração à rendibilidade de um ano e comporta-se como uma fuga capitalizada. Tome 7 % de rendibilidade bruta e 1 % de comissão anual, ou seja 6 % líquidos. Em 30 anos, 10 000 € tornam-se 1,07^30 × 10 000 = 76 123 € em bruto e 1,06^30 × 10 000 = 57 435 € em líquido. A diferença é 18 688 €, ou seja 24,5 % do capital final, por um encargo que parecia a sétima parte — cerca de 14 % — da rendibilidade de um único ano. Dito de outro modo, a comissão custa-lhe 4,16 anos de crescimento bruto: a carteira líquida precisa de mais quatro anos e dois meses para chegar onde a bruta já está.

O estrago cresce com o tempo, não com a percentagem de capa. Com os mesmos pressupostos, esse mesmo 1 % custa 9,0 % do capital final em 10 anos, 17,1 % em 20, 24,5 % em 30 e 31,3 % em 40; duplicar o encargo para 2 % leva 43,2 % em 30 anos. É a menos misteriosa das quatro separações e a mais acionável, porque a comissão é divulgada e comparável — aliás, os reguladores exigem indicadores de custos correntes nos documentos normalizados precisamente por isso. Os números acima pressupõem uma entrega única e uma rendibilidade bruta constante; com entregas regulares o sentido é idêntico e a magnitude difere, por isso calcule com os seus próprios dados em vez de transplantar estes.

A quarta separação: de que média se trata?

Uma rendibilidade média anual pode calcular-se de duas maneiras, e não são iguais. A média aritmética soma os números anuais e divide pela sua contagem; a média geométrica é a taxa constante que teria produzido o mesmo saldo final, e é a que a sua conta viveu de facto. A média geométrica nunca é superior à aritmética, e a diferença alarga-se com a volatilidade — a ilustração clássica é um ano a +50 % seguido de um a −50 %, cuja média aritmética é zero enquanto o saldo caiu 13,4 %. Esse mecanismo, habitualmente chamado travão da volatilidade, é tratado por si só no nosso artigo sobre volatilidade; aqui basta reter que uma rendibilidade média citada é ambígua enquanto não souber qual das duas é.

Juntar as quatro separações transforma um número único em algo interrogável. Pergunte se é a rendibilidade do fundo ou a sua, se é antes ou depois da inflação, antes ou depois das comissões, e se uma média é aritmética ou geométrica. Cada resposta desloca o número, por vezes mais do que a diferença entre os dois fundos que tentava comparar. Nada disto torna as rendibilidades incognoscíveis; torna-as específicas.

Perguntas frequentes

Que rendibilidade devo usar para julgar os meus próprios resultados?

A ponderada pelos fluxos, ou seja, uma taxa interna de rendibilidade calculada sobre as suas entregas, levantamentos e saldo final reais. É a única medida que tem em conta quanto dinheiro tinha exposto em cada momento, que foi o que determinou o seu resultado. A rendibilidade ponderada pelo tempo publicada pelo fundo responde a outra pergunta — como se comportou o fundo por unidade detida do princípio ao fim — e no exemplo acima as duas diferem em 11,25 pontos nos mesmos três anos.

Se a rendibilidade ponderada pelo tempo pode parecer bem melhor, porque é a que se publica?

Porque isola a parte que o gestor controla. Um gestor não escolhe quando chegam as subscrições nem quando são pedidos os resgates, e julgá-lo por fluxos que não controla tornaria absurda qualquer comparação de desempenho. As Global Investment Performance Standards do CFA Institute fixam a metodologia obrigatória para que uma sociedade não possa escolher a base que a favorece. Aliás, pode parecer pior do que a experiência do investidor, e não apenas melhor — o sentido depende inteiramente de quando o dinheiro se moveu.

A rendibilidade ponderada pelos fluxos é o mesmo que uma taxa interna de rendibilidade?

Sim. É a taxa de desconto que anula o valor atual líquido da sua série de fluxos, tratando cada entrega como negativa, cada levantamento como positivo e o saldo final como um último fluxo positivo. As folhas de cálculo expõem-na como função de taxa interna de rendibilidade, com uma variante com datas para entregas irregulares. A única ressalva: uma série que muda de sinal mais de uma vez pode admitir várias raízes matematicamente válidas; um histórico de poupança normal, não.

Quando é que subtrair a inflação em vez de dividir importa mesmo?

Quando os números são grandes, quando o horizonte é longo, ou ambos. A 7 % nominal e 2 % de inflação o atalho erra cerca de um décimo de ponto: inofensivo. A 20 % nominal e 15 % de inflação anuncia 5 % em vez de 4,35 — um exagero igual a 15 % da rendibilidade real — e capitalizar esse erro durante 20 anos transforma uns verdadeiros 23 424 € em 26 533 € projetados, um resultado 13,3 % demasiado otimista.

A aritmética das comissões mantém-se se investir todos os meses em vez de uma só vez?

O sentido mantém-se, os números exatos não. A diferença de 24,5 % sobre o capital final vem de uma soma única capitalizada 30 anos a 7 % bruto contra 6 % líquido. O dinheiro entregue mais tarde é erodido durante menos tempo, pelo que um plano de entregas regulares produz uma diferença proporcional menor no mesmo período — grande na mesma, mas não este número. Recalcule com o seu próprio ritmo de entregas, o seu horizonte e os encargos correntes divulgados, em vez de reutilizar o exemplo.