O rácio de Sharpe e o que pressupõe sem o dizer

Uma divisão, e o que conta realmente o denominador

O rácio é (Rp − Rf) ÷ σp. O numerador é a rendibilidade obtida acima do que um instrumento sem risco teria pago — a parte atribuível a ter assumido risco. O denominador é o desvio-padrão da mesma série de rendibilidades no mesmo período. O quociente lê-se com clareza: unidades de excesso de rendibilidade por unidade de volatilidade. Um fundo que rende 1,2167 % ao mês face a uma taxa sem risco mensal de 0,15 %, com um desvio-padrão mensal de 2,1595 %, marca (1,2167 − 0,15) ÷ 2,1595 = 0,4939.

Tudo o que se segue nasce da escolha do denominador. O desvio-padrão mede a dispersão em torno da média sem olhar ao sinal: uma observação 4 pontos acima da média e outra 4 pontos abaixo contribuem exatamente com o mesmo termo quadrático. Uma gestora que supere largamente a sua própria média é penalizada tanto quanto outra que a falhe na mesma medida. Não é um defeito da aritmética — é o que o desvio-padrão é — mas significa que o rácio responde a uma pergunta mais estreita do que aquela que a maioria dos leitores julga estar a fazer. Não mede o risco. Mede a variabilidade, e trata a variabilidade como substituto do risco.

O próprio William Sharpe teve cuidado com isto. O seu artigo de 1966 chamava à medida rácio recompensa-variabilidade, e a sua revisitação de 1994 esclarece que o denominador é o desvio-padrão da rendibilidade diferencial e que toda a construção é um conceito ex ante aplicado, por falta de melhor, a dados ex post. O nome que ficou é menos prudente do que foram os artigos.

Dois fundos, um só rácio de Sharpe: a construção em espelho

Eis uma série de doze meses para o Fundo A, em percentagem: 0,4; 0,3; 0,5; −0,2; 6,2; 0,3; 0,5; 0,4; −0,1; 5,4; 0,4; 0,5. A sua média é 1,2167 e o seu desvio-padrão amostral 2,1595. Construa agora o Fundo B refletindo cada observação em torno da média de A — Bᵢ = 2μ − Aᵢ — o que dá 2,03; 2,13; 1,93; 2,63; −3,77; 2,13; 1,93; 2,03; 2,53; −2,97; 2,03; 1,93. A reflexão em torno da média deixa a média onde estava e deixa cada desvio com a mesma dimensão, pelo que B tem também média 1,2167 e desvio-padrão 2,1595. O rácio de Sharpe é por isso idêntico: 0,4939 para ambos, não aproximadamente mas exatamente, e continuaria idêntico com qualquer taxa sem risco que quisesse usar.

Os dois fundos não são de todo equivalentes. O pior mês de A é −0,2 % e a sua queda máxima 0,2 %; o pior mês de B é −3,77 % e a sua queda máxima 3,77 %, dezanove vezes maior. A dispersão de A está quase toda do lado da subida — dois meses excecionais de 6,2 e 5,4 — enquanto a de B está do lado da descida. Ambos capitalizam sensivelmente no mesmo ponto no ano, 15,34 % para A e 15,32 para B. Quem tiver a escolha fica com A, e não é preciso cálculo nenhum para ver porquê.

O rácio de Sortino separa-os, porque só muda o denominador. Mantém-se o mesmo numerador — rendibilidade média menos uma rendibilidade mínima aceitável, aqui a mesma taxa sem risco de 0,15 % — e substitui-se o desvio-padrão pelo desvio das quedas: a raiz da média dos quadrados de mín(rᵢ − MAR; 0), nula para todo o mês acima do limiar. O desvio das quedas de A é 0,1242 e o seu Sortino 8,59. O de B é 1,4449 e o seu Sortino 0,74. A ordenação que o Sharpe não conseguia exprimir — um fundo é 11,6 vezes melhor — é exatamente o que a troca de denominador recupera.

Uma cautela sobre Sortino: não existe uma convenção única para o divisor dentro do desvio das quedas. Dividir a soma dos quadrados dos défices pelo número total de observações, como aqui, é a escolha habitual e mantém a medida comparável entre séries; dividir apenas pelo número de períodos perdedores dá um número diferente, maior, e uma ordenação diferente. Um Sortino sem a convenção declarada é tão escorregadio como um Sharpe sem a frequência declarada.

A raiz de doze é uma escolha, não aritmética

Os rácios de Sharpe citam-se em base anual mas calculam-se sobre observações mensais ou diárias. A ponte que toda a gente usa é multiplicar o rácio do período pela raiz do número de períodos do ano: √12 = 3,4641 para dados mensais, √252 ≈ 15,87 para diários. Esse fator vem da variância de uma soma. Se doze rendibilidades mensais forem independentes, a variância da sua soma é doze vezes a de uma só, logo o desvio-padrão cresce por √12 enquanto a média cresce por 12 — e o quociente das duas cresce por 12 ÷ √12 = √12. Toda a convenção assenta nessa primeira palavra: independentes.

As rendibilidades muitas vezes não são independentes. Os ativos pouco líquidos ou avaliados com pouca frequência — dívida privada, imobiliário, posições estruturadas, tudo o que é marcado com atraso — produzem séries suavizadas, em que um bom mês tende a ser seguido de outro bom mês. Isso é autocorrelação positiva, e desinfla o desvio-padrão medido das rendibilidades curtas sem desinflar o anual verdadeiro. O artigo de Andrew Lo de 2002 dá a correção: o fator de anualização honesto para q períodos é q ÷ √(q + 2·Σₖ₌₁^(q−1)(q − k)·ρₖ), que se reduz a √q apenas se toda a autocorrelação ρₖ for nula.

Ponhamos um número plausível. Suponha uma autocorrelação de primeira ordem de 0,2 com o decaimento geométrico habitual — um nível de suavização nada notável num fundo com ativos difíceis de avaliar. O fator corrigido a doze meses é 2,879 em vez de 3,464. O nosso Sharpe mensal de 0,4939 anualiza-se a 1,422 e não aos 1,711 que vão na ficha: o número publicado está 20,3 % inflacionado. Com uma autocorrelação de 0,3 a sobreavaliação chega a 32,5 %, e com 0,5 a 63,3 %. Note-se que a correção vai em sentido inverso com rendibilidades que revertem à média: com ρ = −0,2 a convenção √12 subavalia 16,9 %. A tabela acima percorre todo o intervalo.

Vender seguro produz um rácio de Sharpe soberbo

Considere uma estratégia cujo perfil de retorno é estruturalmente o de uma seguradora: cobra um prémio pequeno e fiável a maior parte do tempo e paga um sinistro grande raramente. A venda de opções muito fora do dinheiro, as operações de carry e muitas estratégias ditas de retorno absoluto partilham essa forma. Modele-a como 35 meses a render cerca de 0,90 % cada um, com variação mínima, e depois um mês a −22 %.

Nos primeiros 35 meses a rendibilidade mensal média é de 0,90 % e o desvio-padrão mensal de 0,0574 %, porque nunca acontece nada. O rácio de Sharpe mensal vale (0,90 − 0,15) ÷ 0,0574 = 13,07, que se anualiza pela convenção √12 a 45,3. Esse número é absurdo e é aritmeticamente correto. É a saída exata da fórmula exata sobre os dados exatos, e um historial de três anos chega para que a maioria dos alocadores olhe a sério.

Acrescente o 36.º mês. A média cai para 0,2639 %, o desvio-padrão salta para 3,8171 % e o Sharpe mensal passa a 0,030 — 0,10 anualizado. Uma única observação levou a pontuação de 45,3 para 0,10. A distribuição tem agora uma assimetria de −5,75 e um excesso de curtose de 31,0, e o desvio-padrão simplesmente não foi feito para descrever uma forma dessas: resume uma distribuição com dois números, e esta não é minimamente captada por dois números. Repare também no que fez a rendibilidade acumulada — 36,83 % em 35 meses, 6,73 % em 36 — e que recuperar o mês de −22 % ao ritmo de 0,90 % por mês exige mais 28 meses.

A lição geral não é que o rácio mente. É que qualquer medida construída sobre os dois primeiros momentos de uma amostra não consegue ver um risco que ainda não apareceu na amostra. Se a perda for suficientemente rara, um historial de comprimento realista não conterá em geral nenhuma, e o rácio lerá a ausência de perda como prova de segurança. Pergunte como é o pior mês plausível da estratégia, não qual foi o seu desvio-padrão histórico.

O que um rácio de Sharpe tem de declarar para significar alguma coisa

Um número nu é ininterpretável. Três coisas têm de o acompanhar. Primeiro, o período: 0,4939 a doze meses e 0,4939 a dez anos não são a mesma afirmação, e uma janela curta é dominada pela sorte — o artigo de Lo trata em boa medida da largura do intervalo de confiança em torno de um Sharpe estimado. Segundo, a taxa sem risco usada: a mesma série pontua de forma diferente face a uma taxa mensal de 0,15 % ou de 0,35 %, e a diferença alarga-se à medida que a rendibilidade da estratégia baixa. Terceiro, a frequência de observação e o método de anualização, porque como mostra a tabela o mesmo desempenho subjacente pode ser publicado como 1,048 ou como 2,060 conforme o que se tenha pressuposto.

Outras duas condições são estruturais, não de apresentação. O rácio só é comparável entre duas coisas medidas na mesma janela, porque as condições de mercado dominam o numerador; e só é comparável entre estratégias cujas distribuições de rendibilidade tenham grosso modo a mesma forma. Ordenar um fundo de ações long-only face a um programa de venda de opções só pelo Sharpe compara uma distribuição aproximadamente simétrica com uma fortemente assimétrica à esquerda, e a medida não tem forma de registar a diferença.

Para que serve realmente o rácio ainda

Nada disto torna o rácio de Sharpe inútil. Faz uma coisa muito bem: comparar duas carteiras de natureza semelhante na mesma janela, quando a pergunta é se o excesso de rendibilidade que uma produziu compensou o excesso de variabilidade. É a pergunta que Sharpe formulou em 1966, e para essa pergunta o rácio é a ferramenta certa. Tem também um papel teórico limpo: é o declive da reta que vai da taxa sem risco até uma carteira no espaço média–desvio-padrão, pelo que o Sharpe mais alto identifica a carteira que se quereria alavancar ou desalavancar para atingir o nível de risco preferido.

O protocolo prático é curto. Calcule-o, e calcule o rácio de Sortino ao lado — os dois juntos dizem se a volatilidade penalizada é do tipo que o incomoda. Olhe para o pior período isolado e para a queda máxima, que nenhum rácio contém. Declare a janela, a taxa sem risco e a frequência sempre que citar um número, e trate qualquer Sharpe acima de cerca de 2 numa estratégia em funcionamento como uma pergunta e não como uma resposta.

Perguntas frequentes

O que conta como um bom rácio de Sharpe?

Não há limiar nenhum que signifique alguma coisa por si só, porque o número depende da janela, da taxa sem risco, da frequência de observação e do pressuposto de anualização. As regras práticas que se veem — 1 aceitável, 2 bom, 3 excelente — são convenções sobre números anualizados de distribuições aproximadamente simétricas, e quebram-se assim que se sai dessas condições. O nosso exemplo mostra-o: o mesmo Sharpe mensal de 0,4939 publica-se entre 1,048 e 2,060 apenas conforme o pressuposto de autocorrelação. E um número muito alto é mais vezes um aviso do que um elogio: o exemplo de venda de seguro deste artigo marcava 45,3 anualizado em 35 meses e 0,10 em 36.

Devo usar antes o rácio de Sortino?

A par, não em vez. O Sortino substitui o desvio-padrão pelo desvio das quedas, deixando de penalizar a dispersão em alta — exatamente a correção que o exemplo em espelho pede: 8,59 contra 0,74 onde o Sharpe via 0,4939 contra 0,4939. Mas herda todas as outras fraquezas, incluindo o problema de anualização e a cegueira a uma perda que ainda não ocorreu, e acrescenta uma própria: a convenção do divisor dentro do desvio das quedas não está normalizada, pelo que dois fornecedores podem publicar Sortinos diferentes para a mesma série. Calcule ambos, declare as suas convenções e leia também a queda máxima.

Que taxa sem risco vai no numerador?

Uma cuja maturidade e moeda correspondam ao período de medição e à moeda da carteira — uma taxa de bilhete do Tesouro curto, convertida para base mensal numa série mensal. A nota de Sharpe de 1994 é mais estrita do que a prática corrente: a construção correta é uma rendibilidade diferencial, carteira menos ativo sem risco período a período, e o desvio-padrão pertence a essa diferença, não à carteira sozinha. Onde a taxa sem risco é quase constante, as duas coincidem; onde se mexe muito, não. Consequências práticas: nunca misturar moedas, nunca usar uma taxa de obrigação longa para uma janela curta e declarar sempre que taxa se usou, já que a mesma série pontua de forma diferente a 0,15 % e a 0,35 % ao mês.

Posso comparar um Sharpe calculado com dados diários com outro calculado com dados mensais?

Não com segurança, mesmo depois de anualizar ambos. A anualização só os torna comparáveis se as rendibilidades forem independentes nas duas frequências, e na maioria das séries reais não são: os dados diários captam o ruído de curto prazo e qualquer reversão de um dia para o outro, enquanto os mensais suavizam ambos. A frequência que produzir o desvio-padrão medido mais baixo produz o Sharpe mais alto, e não há regra que diga qual será. Compare o comparável — mesma frequência, mesma janela, mesma série sem risco, mesmo método de anualização — ou não compare. Se uma ficha não diz que frequência foi usada, o rácio que lá está não pode ser verificado.

Porque é que um fundo suavizado e pouco líquido mostra um Sharpe mais alto?

Porque o denominador é medido sobre rendibilidades declaradas, e as rendibilidades declaradas de ativos difíceis de avaliar estão desatualizadas. Quando uma posição é marcada com atraso ou por avaliação em vez de por transação, um movimento do seu valor real reparte-se por vários períodos de reporte. Esse espalhamento eleva a correlação entre períodos consecutivos e baixa o desvio-padrão medido período a período, enquanto a variabilidade anual verdadeira não muda. A convenção √12 trata então o número mensal artificialmente pequeno como se viesse de extrações independentes, e multiplica o erro dentro do número anual. Com uma autocorrelação mensal de 0,2 o rácio publicado está 20,3 % inflacionado; com 0,3, 32,5 %. Vale a pena testar a autocorrelação positiva de uma série mensal antes de comparar esse fundo com um avaliado diariamente.

Um rácio de Sharpe negativo significa alguma coisa?

Significa que a carteira rendeu menos do que a taxa sem risco na janela, e não significa mais nada. A magnitude não é interpretável, porque dividir um numerador negativo pelo desvio-padrão inverte a ordenação habitual: de duas carteiras perdedoras com o mesmo défice, a mais volátil pontua mais perto de zero e por isso parece melhor. Um fundo que perdeu 2 % face à taxa sem risco com um desvio-padrão de 4 % marca −0,50, enquanto outro que perdeu os mesmos 2 % com um desvio-padrão de 8 % marca −0,25 e parece superior. Não é. Quando o numerador é negativo, pare de ler o rácio e leia diretamente a rendibilidade e a queda máxima.