A volatilidade não é o risco, e a raiz do tempo é uma escolha

De onde vem realmente a raiz quadrada

Volatilidade significa desvio-padrão das rendibilidades, mas um desvio-padrão só existe em relação a um período. Um desvio-padrão diário e um mensal são números diferentes a descrever o mesmo ativo, pelo que para comparar seja o que for é preciso acordar um período, e a convenção é o ano. A ponte é: volatilidade anualizada = desvio-padrão do período × √(períodos por ano).

A dedução cabe em duas linhas. A rendibilidade anual é a soma das rendibilidades de período — em logaritmos, exatamente. A variância de uma soma de variáveis aleatórias independentes é a soma das suas variâncias, logo se houver n períodos no ano e cada um tiver variância σ², a variância anual é nσ². Tire a raiz e o desvio-padrão anual é σ√n. É tudo. Para dados diários de um ativo que transaciona todos os dias, √365 = 19,105; para um mercado com 252 sessões, √252 = 15,875; o semanal dá √52 = 7,211; o mensal dá √12 = 3,464; o trimestral dá exatamente 2.

Repare no que foi preciso supor para lá chegar: que as rendibilidades consecutivas são independentes, de modo que os termos de covariância na variância da soma se anulam todos. Nada nos dados o garante. A raiz do tempo é consequência de um modelo de como os preços se movem — incrementos independentes — e quando o modelo está errado, o fator está errado com ele. É essa a diferença entre uma conta aritmética e uma escolha de modelação, e quase todo o número de volatilidade que vai ler é apresentado como se fosse a primeira.

Quanto se move a resposta quando as rendibilidades não são independentes

Mantenha o pressuposto de uma variância constante por período mas permita que as rendibilidades estejam serialmente correlacionadas com coeficiente ρ de decaimento geométrico. A variância de uma soma de n períodos é então σ²·[n + 2·Σₖ₌₁^(n−1)(n − k)·ρᵏ] em vez de nσ². Divida por nσ² e obtém um quociente de variâncias que diz exatamente quanto se engana a escala ingénua.

Tome um ativo cujo desvio-padrão diário é de 3,141 % — exatamente o número que se anualiza a 60,0 % sob o pressuposto de independência com 365 dias. Se a autocorrelação diária for 0,05, a volatilidade anualizada honesta é de 63,1 % e o número publicado fica aquém em 4,9 %. Com 0,1 é de 66,3 %, aquém em 9,5. Com 0,2 é de 73,4 %, aquém em 18,3. Os mercados em tendência, movidos por momentum, estão deste lado da linha, e a fórmula padrão diz-lhe que estão mais calmos do que estão.

A correção vai em sentido inverso para séries que revertem à média. Com uma autocorrelação diária de −0,1 o número anualizado honesto é de 54,3 % em vez de 60,0, e com −0,2 é de 49,0: a fórmula padrão sobreavalia 10,5 % e 22,4 % respetivamente. Nenhuma das duas direções é um efeito pequeno, e nenhuma se vê num número de volatilidade citado sozinho. Sempre que uma volatilidade importe — dimensionar uma posição, avaliar uma opção, comparar dois ativos — vale a pena medir a autocorrelação da série subjacente antes de aplicar o fator √t.

Rendibilidades logarítmicas, simples, e porque é que a fórmula quer as primeiras

Uma rendibilidade simples é (P₁ − P₀) ÷ P₀. Uma logarítmica é ln(P₁ ÷ P₀). A dedução acima exigia que a rendibilidade anual fosse a soma das de período, o que é verdade das logarítmicas e falso das simples. Dois meses de +50 % e −50 % somam zero como rendibilidades simples; o resultado real é 1,50 × 0,50 − 1 = −25 %. Como logarítmicas somam ln(1,5) + ln(0,5) = −28,768 %, e exp(−0,28768) − 1 = −25 % exatamente. Só uma das duas convenções tem a aditividade de que depende o argumento da variância.

Para movimentos pequenos as duas coincidem, e por isso a escolha costuma ser invisível. Uma rendibilidade simples de 1 % é 0,995 % logarítmica, uma diferença de 0,005 pontos. A 5 % a diferença é de 0,121 pontos, a 10 % de 0,469, a 20 % de 1,768 e a 50 % de 9,453. As perdas também divergem, e de forma assimétrica: uma rendibilidade simples de −20 % é −22,314 % logarítmica, e uma de −50 % é −69,315 %. Num índice calmo a convenção mal importa. Num ativo que se move regularmente 10 ou 20 % num dia, a volatilidade calculada sobre rendibilidades simples e a calculada sobre logarítmicas são números diferentes, e só um pertence à fórmula do √t.

Há uma segunda dependência, mais discreta: a frequência de amostragem escolhida. Um ativo com 60 % de volatilidade anualizada tem um desvio-padrão diário de 3,141 %, semanal de 8,321 % e mensal de 17,321 %. São a mesma volatilidade expressa de três formas, enquanto o pressuposto de independência se mantiver — e quando não se mantém, anualizam-se em três números diferentes. Amostrar de hora a hora em vez de diariamente no mesmo ativo capta ruído de microestrutura que não faz parte do risco que interessa a alguém, e √8760 = 93,595 amplifica-o. Escolher uma frequência é escolher o que conta como movimento de preço.

Travão de volatilidade: porque é que uma rendibilidade média positiva pode mesmo assim perder dinheiro

É aqui que está o dinheiro. A média de um conjunto de rendibilidades e a taxa a que o dinheiro capitaliza realmente através delas são duas grandezas diferentes, e a segunda é sempre a menor. A demonstração mais limpa cabe em dois períodos: +50 % e depois −50 %. A média aritmética é zero. O resultado composto é 1,5 × 0,5 = 0,75, uma perda de 25 %, e a média geométrica por período é √0,75 − 1 = −13,397 %. Nada correu mal; é isso que uma média faz quando as grandezas se multiplicam em vez de se somarem.

O tamanho da diferença é governado pela volatilidade. Para movimentos simétricos de ±x com média aritmética nula, a média geométrica é √(1 − x²) − 1, e o desvio-padrão populacional é exatamente x. A ±10 % a média geométrica é −0,501 % contra um −σ² ÷ 2 = −0,500 previsto. A ±20 % é −2,020 contra −2,000; a ±30 %, −4,606 contra −4,500; a ±50 %, −13,397 contra −12,500. A regra prática — a média aritmética excede a taxa composta em cerca de σ² ÷ 2 — é excelente a baixa volatilidade e começa a subestimar o estrago a alta volatilidade.

Apliquemos agora a algo que se pareça com um investimento. Tome um ativo cujas rendibilidades têm uma média aritmética de 8,00 % ao ano — um número perfeitamente respeitável e inequivocamente positivo — e faça variar só a volatilidade. Com rendibilidades lognormais a taxa de crescimento composto é exata e não aproximada, e a tabela acima dá ambas. Com 10 % de volatilidade o ativo capitaliza a 7,46 %. Com 30 % capitaliza a 3,25 %, tendo perdido mais de metade da sua rendibilidade média só para a variabilidade. Com 39,23 % de volatilidade capitaliza exatamente a zero. Com 60 % capitaliza a −9,79 % ao ano: rendibilidade média positiva, e 10 000 € tornam-se 3 569 € em dez anos.

Uma simulação de 400 000 extrações confirma a forma fechada em vez de a substituir: com 30 % de volatilidade a média simples simulada saiu em 7,97 % com uma taxa composta de 3,23; com 60 %, em 8,24 % e −9,65. A volatilidade de equilíbrio para uma rendibilidade média de 8 % é de 39,23 % — acima disso, a rendibilidade média é positiva e o dinheiro encolhe. É este o mecanismo por trás do aviso clássico de que os produtos alavancados com reequilíbrio diário não seguem o seu índice em períodos longos de detenção: multiplicar por dois a rendibilidade diária multiplica o travão por quatro.

Porque é que a volatilidade não é o mesmo que o risco

A volatilidade mede quanto os preços se movem. O risco é a possibilidade de um resultado que não pode aceitar. Sobrepõem-se mas não são a mesma coisa, e há três diferenças que contam. Primeiro, a volatilidade é simétrica: conta igualmente uma subida de 10 % e uma descida de 10 %, o que o artigo companheiro sobre o rácio de Sharpe desenvolve em detalhe. Segundo, a volatilidade mede-se sobre as rendibilidades ocorridas, pelo que é cega a uma perda que ainda não aconteceu — um ativo pode estar perfeitamente calmo até ao instante em que deixa de estar, e nenhuma quantidade de dados passados conterá o acontecimento. Terceiro, a volatilidade nada diz sobre permanência: um índice diversificado que cai 30 % e uma posição única que cai 30 % registam-se da mesma forma, embora só um deles tenha um mecanismo para regressar.

Aquilo para que a volatilidade serve mesmo é para dimensionar posições e comparar. Um ativo com 60 % de volatilidade anualizada passará, sob um pressuposto de normalidade que já é imperfeito, a maior parte do tempo dentro de uma banda de cerca de 60 % em torno da sua tendência, e isso basta para decidir quanto dele pode deter sem que todo o resultado da carteira dependa disso. É também o insumo correto para avaliar uma opção, e o denominador correto ao comparar duas rendibilidades. Não é uma afirmação sobre quanto pode perder.

O que declarar sempre que se cita uma volatilidade

Quatro coisas, nenhuma opcional. A frequência de amostragem, porque dados horários, diários, semanais e mensais dão respostas diferentes para o mesmo ativo. A janela, porque uma volatilidade calculada a 30 dias e outra a dois anos descrevem períodos diferentes e não são intercambiáveis. A convenção de rendibilidade, logarítmica ou simples, porque divergem assim que os movimentos são grandes. E o fator de anualização realmente usado, já que 365 e 252 diferem 20 % e ambos se defendem consoante o ativo transacione ou não todos os dias.

Uma última distinção que convém manter clara: tudo o que antecede é volatilidade realizada, calculada para trás sobre preços já ocorridos. A volatilidade implícita é um objeto completamente diferente — é o número de volatilidade que faz um modelo de avaliação reproduzir o preço cotado de uma opção, ou seja, um número prospetivo extraído do que as pessoas pagam e não uma medição do que ocorreu. As duas citam-se nas mesmas unidades e confundem-se com frequência, e respondem a perguntas diferentes.

Perguntas frequentes

Devo anualizar com 365 dias ou 252?

Use o número de períodos em que o ativo pode realmente mover-se. Um mercado que fecha aos fins de semana e feriados produz cerca de 252 observações por ano, logo √252 = 15,875 é o correto; um ativo que transaciona em contínuo produz 365, logo √365 = 19,105 é o correto. Os dois diferem 20,4 %, demasiado para ficar por dizer: o mesmo desvio-padrão diário de 3,141 % anualiza-se a 60,0 % com 365 dias e a 49,9 % com 252. O que não se deve fazer é comparar um número calculado de uma forma com outro calculado da outra, que é exatamente o que acontece quando se põe um ativo de negociação contínua ao lado de um de bolsa sem verificar a convenção.

Uma volatilidade mais alta significa sempre um pior investimento?

Não, mas significa sempre uma diferença maior entre a rendibilidade média e a composta, e essa diferença cresce com o quadrado da volatilidade. Duplicar a volatilidade de 20 para 40 % não duplica o travão de 2,00 para 4,00 pontos — quadruplica-o para 8,00. Por isso a pergunta não é se um ativo é volátil mas se a sua rendibilidade média chega para pagar a sua própria volatilidade. Com 8 % de rendibilidade média o limiar está em 39,23 % de volatilidade. Um ativo com 25 % de média poderia suportar 60 % de volatilidade e ainda assim capitalizar positivamente; um com 8 % não. O número da volatilidade sozinho não responde a nada.

Porque é que dois sites publicam volatilidades diferentes para o mesmo ativo?

Porque pelo menos quatro escolhas entram no número e quase ninguém publica as quatro. A frequência de amostragem muda a resposta assim que as rendibilidades não são independentes. A janela de observação muda-a sempre — 30 dias e 730 dias descrevem períodos diferentes. A convenção de rendibilidade muda-a assim que os movimentos são grandes, já que uma rendibilidade simples de −20 % é −22,314 % logarítmica. E o fator de anualização muda-a 20,4 % entre 252 e 365. Acrescente a escolha entre desvio-padrão amostral e populacional, que conta em janelas curtas, e dois cálculos honestos do mesmo ativo sobre grosso modo o mesmo período podem diferir num terço. Antes de comparar duas volatilidades, verifique que as quatro convenções coincidem; se uma página não as declara, o número dela não é reproduzível.

O travão de volatilidade é um custo real ou uma ilusão contabilística?

É inteiramente real, no sentido em que é a diferença entre o dinheiro com que fica e o que a rendibilidade média sugere que devia ter. Não é uma comissão, e ninguém a cobra: é uma propriedade da multiplicação. O exemplo de dois períodos resolve a questão — +50 % e depois −50 % dão média zero e deixam-no com 75 % do que começou, e uma média não se gasta. O ilusório é a própria média aritmética, que descreve um período típico isolado e não o resultado de uma sucessão deles. Se a pergunta é quanto dinheiro terá, a taxa de crescimento composto é o único número relevante, e é sempre igual ou inferior à média aritmética, com igualdade só se todas as rendibilidades forem idênticas.

Quantas observações são precisas para que uma estimativa de volatilidade seja utilizável?

Mais do que a maioria usa, e a exigência cresce se as rendibilidades se afastarem da normalidade. O erro-padrão de um desvio-padrão estimado cai aproximadamente como um sobre a raiz do tamanho amostral, pelo que passar de 30 observações para 120 reduz a incerteza para metade e passar de 120 para 480 reduz outra vez para metade. É essa a razão de uma volatilidade a 30 dias se mexer tanto de semana para semana: a maior parte do movimento é ruído de estimação e não uma mudança no ativo subjacente. O compromisso é real, já que uma janela mais longa é mais precisa sobre um período mais antigo, que pode já não descrever o presente. A solução prática é olhar duas janelas — uma curta e uma longa — e tratar uma divergência grande entre elas como informação e não como dois números a promediar.