Uma só multiplicação em cruz por trás de seis problemas diferentes

As unidades decidem que arranjo é válido

Quatro números podem dispor-se em proporção de várias maneiras, e só algumas significam alguma coisa. Maçãs sobre preço igual a maçãs sobre preço é válido; maçãs sobre preço igual a preço sobre maçãs são quatro números com a forma certa e a ordem errada, e devolve um número sem interpretação. A salvaguarda é escrever as unidades ao lado de cada valor antes de resolver e verificar que a mesma unidade ocupa a mesma posição dos dois lados. Fá-lo uma vez e o arranjo impõe-se sozinho, o que tira o palpite que faz estes problemas parecerem mais difíceis do que são.

Uma escala de mapa é uma razão sem unidades

1:25 000 significa que uma unidade qualquer no papel vale vinte e cinco mil da mesma unidade no terreno: é por isso que a notação não leva unidade e funciona igual em centímetros, em polegadas ou em milímetros. Quatro centímetros passam a 100 000 centímetros, e levar isso a quilómetros é uma segunda conversão à parte — dividir por 100 para os metros e outra vez por 1 000 para os quilómetros. Separar os dois passos é o que evita o erro clássico de dividir por 100 000 de uma vez, que dá uma resposta cem vezes menor e parece plausível num mapa de caminhada.

Perguntas frequentes

Porque é que a multiplicação em cruz funciona?

É um passo de álgebra corrente a que se deu um nome. Parte de a ÷ b = c ÷ x, multiplica ambos os lados por b e depois por x — operação que nada muda, já que os dois lados recebem o mesmo tratamento — e as frações desaparecem, deixando a × x = b × c. Dividir depois por a isola x. Nada é cruzado e nenhuma regra especial intervém; as setas na diagonal são um auxiliar de memória para duas multiplicações que sempre foram permitidas.

Pode uma proporção ter um zero?

No denominador, nunca — uma razão com zero por baixo não está definida, e toda a calculadora que devolva um valor aí esconde uma divisão por zero. No numerador é lícito mas em geral desprovido de sentido no problema modelado: zero maçãs por cinco unidades de dinheiro diz que o preço não está definido, não que valha zero, pois nada foi comprado. Onde um zero pode aparecer legitimamente, a proporção é o modelo errado e uma equação linear com ordenada na origem é o certo, porque as relações proporcionais são precisamente as que passam pela origem.