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Fixpunktfreie-Permutationen-Rechner !n

Berechne die Subfakultät !n — die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen, bei denen kein Element an seinem ursprünglichen Platz bleibt. Sie nutzt die exakte Rekurrenz !n = (n−1)·(!(n−1) + !(n−2)) mit Großzahlen und zeigt das Verhältnis !n / n!, das erstaunlich schnell gegen 1/e ≈ 0,3679 strebt. Dieses Verhältnis ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Mischung kein Element fest lässt — das klassische Garderobenproblem.

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Du brauchst !n (fixpunktfrei), n!, !n / n! (→ 1/e)? Der Fixpunktfreie-Permutationen-Rechner !n leitet es in einem Schritt aus n (0 bis 1000) ab. Zum Beispiel liefert er mit n (0 bis 1000) = 5 !n (fixpunktfrei) = 44, n! = 120 und !n / n! (→ 1/e) = 0,367.

So funktioniert's

  1. Gib deine Werte ein: n (0 bis 1000).
  2. Lies das Ergebnis sofort ab: !n (fixpunktfrei), n!, !n / n! (→ 1/e).

Häufige Fragen

Was berechnet der Fixpunktfreie-Permutationen-Rechner !n genau?

Er nimmt n (0 bis 1000) und leitet daraus !n (fixpunktfrei), n! und !n / n! (→ 1/e) ab. Gerechnet wird direkt während der Eingabe, das Ergebnis aktualisiert sich bei jeder Änderung.

Welche Angaben brauche ich?

Ein einziger Wert: n (0 bis 1000). Mehr ist nicht nötig — kein Konto, kein Datei-Upload.

Gibt es ein Rechenbeispiel?

Mit n (0 bis 1000) = 5 liefert der Rechner !n (fixpunktfrei) = 44, n! = 120 und !n / n! (→ 1/e) = 0,367. Diese Zahlen stammen aus genau diesem Tool — gib dieselben Werte ein, um sie nachzurechnen.

Was passiert bei höheren Werten?

Deutlich. Mit n (0 bis 1000) = 10 geht !n / n! (→ 1/e) von 0,367 auf 0,368 — deshalb lohnt es sich, mehrere Szenarien zu testen statt einer einzigen Zahl zu vertrauen.

Was ergibt sich bei kleineren Werten?

Auf n (0 bis 1000) = 3 reduziert, ergibt !n / n! (→ 1/e) 0,333. Es lohnt sich, beide Enden zu prüfen, bevor man sich auf ein einzelnes Ergebnis verlässt.

Wann brauche ich das konkret?

Möglichkeiten zählen, bevor man sie aufzählt: Blätter im Kartenspiel, Passwörter einer bestimmten Form, Sitzordnungen oder Lotto-Chancen.

Was ist der häufigste Fehler?

Eine Variation wählen, obwohl die Reihenfolge egal ist. Drei aus zehn Personen ergeben 720 Anordnungen, aber nur 120 Gruppen — hier Faktor sechs, bei größeren Zahlen weit mehr.

Woher stammen die Daten und wie aktuell sind sie?

Abzählformeln sind per Definition exakt. Große Fakultäten werden bei Bedarf mit beliebiger Genauigkeit gerechnet, damit ein Ergebnis nicht still in wissenschaftliche Notation gerundet wird.

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