Kombinatorik
Permutationen, Kombinationen und Variationen — mit und ohne Wiederholung, samt resultierender Anzahl. 8 Werkzeuge, darunter Kombinations-Rechner (nCr), Fixpunktfreie-Permutationen-Rechner !n, Fakultät-Rechner und Inklusions-Exklusions-Rechner. Alle kostenlos, ohne Konto und ohne Installation.
Kombinations-Rechner (nCr)Berechne die Anzahl der Kombinationen nCr von r aus n.Fixpunktfreie-Permutationen-Rechner !nBerechne die Subfakultät !n — die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen, bei denen kein Element an seinem ursprünglichen Platz bleibt. Sie nutzt die exakte Rekurrenz !n = (n−1)·(!(n−1) + !(n−2)) mit Großzahlen und zeigt das Verhältnis !n / n!, das erstaunlich schnell gegen 1/e ≈ 0,3679 strebt. Dieses Verhältnis ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Mischung kein Element fest lässt — das klassische Garderobenproblem.Fakultät-RechnerBerechne die Fakultät n! einer ganzen Zahl.Inklusions-Exklusions-RechnerBerechne die Größe einer Vereinigung von 2 bis 5 Mengen mit Inklusion-Exklusion: addiere die Einzelgrößen, ziehe die paarweisen Überschneidungen ab, addiere die dreifachen wieder hinzu usw. mit wechselnden Vorzeichen. Arbeite direkt mit deinen Elementlisten — das Tool ordnet jedes Element seiner Region zu und prüft die Zählung gegen — oder mit Kardinalitäten wie |A|, |A∩B|, |A∩B∩C|, wenn du nur die Anzahlen kennst. Es zeigt den Beitrag jeder Ebene und das endgültige |A ∪ B ∪ …|.Permutations-Rechner (nPr)Berechne die Anzahl der Permutationen nPr von r aus n.Permutationen-mit-Wiederholung-RechnerZähle die geordneten Anordnungen der Länge r aus n Objekten, wenn Wiederholung erlaubt ist — jede Position kann unabhängig eine der n Möglichkeiten sein, was genau nʳ ergibt. Das ist die Anzahl für PIN-Codes, Passwörter, DNA-Stränge und Würfelwürfe und unterscheidet sich von gewöhnlichen Permutationen nPr, die Wiederverwendung verbieten. Das Ergebnis wird exakt mit Großzahlen berechnet, egal wie groß es wird.Schubfachprinzip-RechnerWende das Schubfachprinzip an: gehen N Objekte in M Fächer, so enthält mindestens ein Fach ⌈N/M⌉ Objekte — keine Verteilung kann alle darunter halten. Gib Objekte und Fächer ein, um dieses garantierte Minimum zu erhalten, und setze ein Ziel k, um zu sehen, wie viele Objekte ein Fach auf k zwingen, nämlich M·(k−1)+1. Eine einfache Idee mit überraschend tiefen Folgen in Kombinatorik und Informatik.Stirling-Zahlen-RechnerStirling-Zahlen erster (mit und ohne Vorzeichen) und zweiter Art, S(n,k), durch exakte Rekursion.