Effet de levier, liquidation et l'asymétrie des pertes

Dériver le prix de liquidation

Prends une position longue isolée. Tu déposes des fonds propres E et la plateforme te laisse contrôler un notionnel N = L × E, où L est le levier. Si le prix baisse d'une fraction d, la position perd N × d : tes fonds propres restants valent E − N·d. La plateforme te ferme quand ces fonds propres restants tombent à l'exigence de maintenance, soit un taux m appliqué à la valeur courante de la position, N × (1 − d).

Égalise : E − N·d = m·N·(1 − d). Substitue E = N ÷ L et divise par N : toute référence à la taille de la position disparaît : 1 ÷ L − d = m − m·d. Regroupe les termes en d et tu obtiens d = (1 ÷ L − m) ÷ (1 − m). Le prix de liquidation d'une position longue ouverte à P vaut donc P × (1 − d), et pour une position courte le même raisonnement au signe près donne d = (1 ÷ L + m) ÷ (1 + m). Note ce qui n'apparaît pas dans la formule : la taille de ton compte, l'actif, la direction du marché. Seuls le levier et le taux de maintenance.

Le raccourci courant consiste à dire qu'une position à L× meurt sur un mouvement de 1 ÷ L — 5 % à 20×, 10 % à 10×. C'est la réponse quand m vaut zéro, et elle est toujours trop généreuse. Avec un taux de maintenance de 0,5 %, une entrée à 100 liquide une position longue 5× à 80,402 et non 80, une 10× à 90,452 et non 90, une 20× à 95,477 et non 95, une 100× à 99,497 et non 99. Du côté vendeur, où la position grossit à mesure qu'elle évolue contre toi, les distances sont plus larges : 5,473 % à 20× au lieu de 4,523. Chacun de ces chiffres suppose une exécution propre, sans frais et sans trou de cotation à travers le niveau de liquidation, et ces trois hypothèses tombent précisément dans les conditions qui produisent des liquidations.

À 20×, le mouvement fatal tient dans une journée ordinaire

Mettons des chiffres sur les leviers réellement utilisés. À un taux de maintenance de 0,5 %, une position longue 2× survit à une baisse de 49,75 %, une 5× à 19,60 %, une 10× à 9,55 %, une 20× à 4,52 %, une 50× à 1,51 % et une 100× à 0,50 %. Les plateformes ne maintiennent pas ce taux constant selon les paliers de levier, et un levier plus élevé s'accompagne en général d'un taux plus élevé : à 2,5 %, le chiffre de 20× tombe à 2,56 %, et à 5 % une position 20× n'est tout simplement pas offrable, l'exigence de maintenance égalant déjà la totalité du dépôt. C'est pourquoi le tableau ci-dessus marque les cases à fort levier au taux de 2,5 % comme impossibles plutôt que comme de petits nombres — une plateforme doit abaisser m à mesure qu'elle relève le L maximal, et le barème précis diffère selon la plateforme et l'instrument et doit être lu là-bas.

Savoir si 2,56 % ou 4,52 % font beaucoup dépend de l'actif, et pour un actif volatil, non. Rappelle-toi l'arithmétique de l'article compagnon sur la volatilité : un actif à 60 % de volatilité annualisée a un écart-type quotidien de 3,141 %. C'est une journée à un écart-type. Sur un tel actif, la distance de liquidation de 2,56 % à 20× est inférieure au mouvement typique d'une seule journée ordinaire, et la distance de 4,52 % en vaut environ une fois et demie — une amplitude qui survient régulièrement, sans nouvelle particulière, plusieurs fois par mois. Voici la phrase à retenir : à fort levier, le marché n'a pas besoin de te donner tort sur le fond pour fermer ta position, il lui suffit d'être bruyant.

L'asymétrie de récupération, qui vaut aussi sans levier

Perds une fraction L de ton capital et il te reste (1 − L). Pour revenir au point de départ, ce reste doit être multiplié par 1 ÷ (1 − L) : le gain requis vaut donc g = 1 ÷ (1 − L) − 1. La fonction est convexe et accélère fortement. Perdre 5 % exige 5,26 % de retour. Perdre 10 % exige 11,11. Perdre 20 % exige 25,00. Perdre 25 % exige 33,33, perdre un tiers exige 50,00, perdre la moitié exige 100,00. Perdre 60 % exige 150 % ; 75 % exige 300 ; 90 % exige 900 ; 95 % exige 1 900 ; 99 % exige 9 900 %, soit un facteur cent, pour se retrouver là où l'on était déjà.

Cela n'a rien à voir avec le levier ni avec un marché particulier. C'est une propriété des pourcentages, et c'est pourquoi un portefeuille qui alterne gains et pertes de même ampleur en pourcentage dérive vers le bas — le fait même que l'article compagnon sur la volatilité appelle le frein de volatilité. L'asymétrie explique aussi pourquoi éviter les grosses pertes importe davantage que capter les gros gains : une seule perte de 50 % annule un doublement, quel que soit l'ordre d'arrivée.

Le levier multiplie et la perte et l'exigence de récupération

Combine les deux. Une position à k× transforme un mouvement de marché x en un mouvement de fonds propres kx. Un mouvement défavorable de 2 % coûte 4 % des fonds propres à 2×, 10 % à 5×, 20 % à 10×, 40 % à 20× et 50 % à 25×. Passe chacun de ces chiffres dans la formule de récupération et le gain requis vaut respectivement 4,17 ; 11,11 ; 25,00 ; 66,67 et 100,00 %. Retraduis maintenant en mouvement de marché, pour une position réajustée afin de conserver le même levier sur des fonds propres réduits : le marché doit bouger de 2,08 % à 2×, 2,22 à 5×, 2,50 à 10× et 3,33 à 20× pour effacer un mouvement de 2 %. À 20×, le marché doit remonter 1,67 fois plus loin qu'il n'est descendu.

Une distinction compte ici et se perd souvent. Si tu ouvres une position de notionnel fixe sans jamais y toucher, un prix qui baisse puis revient exactement à ton entrée te laisse à l'équilibre : l'asymétrie est dans le pourcentage de fonds propres, pas dans le prix. La distance supplémentaire apparaît quand le levier est maintenu — quand tu es réajusté, quand tu recharges pour conserver le même multiple, ou quand tu détiens un produit qui se rééquilibre chaque jour à levier constant. Dans le cas maintenu, la position rétrécit avec les fonds propres : la même remontée de marché rachète moins qu'elle n'a coûté. Les produits à levier constant en sont l'exemple quotidien, et c'est la raison pour laquelle les régulateurs exigent qu'ils avertissent qu'ils ne sont pas conçus pour être détenus longtemps.

Des paris à levier répétés perdent même avec un avantage positif

C'est le résultat qui surprend, et c'est le même argument de moyenne géométrique que développe l'article compagnon sur la volatilité. Construis un marché réellement favorable : à chaque période il bouge de +2 % avec probabilité 0,52 et de −2 % avec probabilité 0,48. Le mouvement espéré vaut 0,52 × 2 − 0,48 × 2 = +0,08 % par période. C'est un vrai avantage, du genre que presque personne ne possède, et il est positif à tous les leviers : tiens la position à k× et le rendement arithmétique espéré par période vaut 0,08k %, qui croît sans limite quand k monte.

Le taux de croissance composé est une autre grandeur. Comme les résultats se multiplient, ce qui compte est l'espérance du logarithme : g(k) = 0,52·ln(1 + 0,02k) + 0,48·ln(1 − 0,02k). À 1×, cela vaut +0,0600 % par période. À 2×, +0,0800 %, le maximum, qui tombe exactement sur la fraction de Kelly (p − q) ÷ b = 0,04 ÷ 0,02 = 2. À 3×, on redescend à +0,0600. La courbe croise zéro à k = 3,9957 — soit essentiellement 4× — et devient négative au-delà : −0,1012 % par période à 5×, −1,2302 à 10×, −7,0231 à 20× et −12,1869 à 25×. Au-delà de 50×, une seule période défavorable est une ruine totale, puisque 0,02 × 50 = 1.

Sur 250 périodes, les probabilités binomiales exactes rendent le tableau concret. Sans levier, ce marché favorable te laisse sous ton capital de départ 32,87 % du temps. À 2×, cela monte légèrement à 37,56 %, avec toujours le meilleur résultat composé. À 5×, on est à 57,50 %, et 9,19 % des parcours perdent 90 % ou plus. À 10×, tu finis sous ton point de départ 82,88 % du temps et perds 90 % ou plus dans 57,50 % des parcours. À 20×, les chiffres sont 99,54 et 99,06 %. Le rendement espéré est resté positif tout du long. Ce qu'a fait l'augmentation du levier, c'est convertir un jeu favorable en jeu défavorable, sans changer le jeu.

Financement, frais et la conclusion honnête

Tout ce qui précède supposait la position gratuite à détenir. Elle ne l'est pas. Les contrats perpétuels prélèvent un financement périodique entre acheteurs et vendeurs, et ce mécanisme — comment le taux est fixé, quel côté paie, et pourquoi il existe — est dérivé dans l'article compagnon sur les taux de financement plutôt que répété ici. Ce qui compte ici, c'est la façon dont le levier l'amplifie : le financement porte sur le notionnel, et ton notionnel vaut k fois tes fonds propres, donc le coût en pourcentage de ton propre capital vaut k fois le taux affiché. À un taux annoncé de 0,01 % par huit heures, soit 0,03 % par jour sur le notionnel, une position 1× paie 0,03 % de fonds propres par jour et une position 20× paie 0,60 % — 16,52 % sur trente jours. Ce taux est une illustration et non une cotation ; le financement réel varie en continu, peut être négatif, et doit être lu sur la plateforme.

Ajoute les frais de transaction, eux aussi prélevés sur le notionnel et donc eux aussi multipliés par k, ajoute le glissement à l'entrée et à la sortie, et le frein devient un troisième mécanisme jouant dans le même sens que les deux précédents. Rien de tout cela ne change la forme de la conclusion, et tout la renforce.

La conclusion n'est pas encourageante et il n'existe aucun moyen honnête de la rendre telle. Les régulateurs européens exigent des sociétés proposant des produits à effet de levier aux particuliers qu'elles publient la proportion de comptes de détail perdants, et l'analyse ayant fondé ces mesures d'intervention faisait état de chiffres de l'ordre des trois quarts à près de neuf dixièmes selon les prestataires. Ce n'est pas une affirmation sur une société ou un instrument en particulier, et la publication en vigueur pour le produit que tu regardes figure sur la page de ce prestataire — mais le sens est cohérent avec tout ce qui précède. Cet article existe pour rendre l'arithmétique lisible, non pour suggérer que la comprendre transforme une structure perdante en structure gagnante. Rien ici n'est un conseil, et la chose la plus sûre que ces formules puissent te dire, c'est l'ampleur de ce sur quoi il te faudrait avoir raison.

Questions fréquentes

Le prix de liquidation vaut-il simplement mon entrée moins 1 ÷ levier ?

Non, et le raccourci est toujours optimiste. La bonne distance vaut (1 ÷ L − m) ÷ (1 − m), où m est le taux de marge de maintenance, le raccourci n'étant que le cas particulier m = 0. À un taux de maintenance de 0,5 %, les vrais chiffres valent 19,60 % à 5× au lieu de 20, 9,55 à 10× au lieu de 10, et 4,52 à 20× au lieu de 5. À un taux de 2,5 %, la distance à 20× ne vaut que 2,56 %. Les frais prélevés à l'entrée et tout financement déjà facturé réduisent tes fonds propres avant même que le prix bouge, ce qui rapproche encore le seuil, et sur des marchés rapides l'exécution peut être pire que le niveau déclencheur. Traite tout prix de liquidation affiché comme le meilleur cas et non comme la frontière.

Pourquoi la distance de liquidation diffère-t-elle pour une position courte ?

Parce qu'une position courte grossit quand elle évolue contre toi. Quand le prix monte, le notionnel que tu dois monte avec lui : l'exigence de maintenance — un pourcentage du notionnel courant — monte donc aussi, tandis que tes fonds propres baissent. La même algèbre au signe près donne d = (1 ÷ L + m) ÷ (1 + m) au lieu de (1 ÷ L − m) ÷ (1 − m). À 20× avec un taux de maintenance de 0,5 %, une position longue survit à 4,523 % contre elle et une position courte à 5,473 % : la courte a donc un peu plus de marge en pourcentage. Ce n'est pas un avantage : le pire cas de la longue est borné, le prix ne pouvant descendre sous zéro, alors que la perte de la courte n'a pas de plafond — l'asymétrie la plus importante entre les deux côtés.

Si mon rendement espéré est positif, pourquoi plus de levier aggrave-t-il les choses ?

Parce que le rendement espéré et le taux auquel l'argent capitalise réellement sont deux grandeurs différentes, et que seule la seconde détermine ce qu'il te reste. Le levier multiplie le rendement espéré par k et la variance par k au carré, et le taux de croissance composé vaut à peu près le rendement espéré moins la moitié de la variance — la pénalité croît donc plus vite que la récompense. Sur l'exemple traité, un marché à vrai avantage de +0,08 % par période capitalise à +0,0600 % sans levier, culmine à +0,0800 à 2×, croise zéro vers 4× et tombe à −1,2302 % par période à 10×. Sur 250 périodes, cette position 10× finit sous son capital de départ 82,88 % du temps et perd 90 % ou plus dans 57,50 % des parcours, alors même que le rendement espéré reste positif. C'est le même mécanisme de frein de volatilité que dans l'article compagnon, appliqué à une position dont tu as choisi la volatilité.

Un stop de protection me protège-t-il de la liquidation ?

Il peut rapprocher la sortie du niveau de liquidation, ce qui vaut quelque chose, mais il n'efface pas l'arithmétique. Un stop est une instruction de clôture au marché dès qu'un seuil est touché : le prix réellement obtenu dépend donc de ce qui est disponible à cet instant ; sur un mouvement rapide il peut être nettement pire que le seuil, et si le marché saute par-dessus les deux niveaux, le stop et la liquidation se produisent au même endroit ou presque. Le problème plus profond est qu'à fort levier le stop n'a presque nulle part où se placer : à 20×, la liquidation se trouve à 2,56 ou 4,52 % selon le taux de maintenance, donc tout stop doit tenir à l'intérieur, ce qui sur un actif volatil est bien à l'intérieur du mouvement ordinaire d'une journée. Où placer un stop par rapport à la volatilité propre d'un actif est traité dans l'article compagnon sur le placement des stops.

Existe-t-il un niveau de levier mathématiquement sûr ?

Aucun niveau n'est sûr, et l'arithmétique identifie seulement les niveaux auto-destructeurs. Sur l'exemple traité, le taux de croissance composé est maximal à 2×, ce qui coïncide avec la fraction de Kelly (p − q) ÷ b = 2, et devient négatif au-delà de 4× environ. Mais ce nombre dépend entièrement de la connaissance de p et de b — la vraie probabilité et la vraie taille de ton avantage — et personne ne les connaît ; ils sont estimés sur un échantillon, et un avantage surestimé produit une position surlevierée au rendement composé négatif qui paraît pourtant positif sur le papier. Les praticiens qui utilisent ce cadre en appliquent d'ailleurs couramment une fraction. Le résumé honnête : l'arithmétique peut t'indiquer un niveau au-dessus duquel tu perdras à coup sûr dans la durée, et ne peut pas t'indiquer un niveau où tu serais en sécurité. Rien dans cet article n'est une recommandation d'utiliser le moindre levier.