Une seule mesure aberrante multiplie l'écart-type par vingt

Le point de rupture est le nombre qui compte

Toute statistique de résumé possède une fraction des données qu'on peut corrompre avant qu'elle ne devienne arbitraire, et pour la moyenne comme pour l'écart-type cette fraction vaut zéro : une seule valeur emmenée assez loin les traîne où l'on veut. La médiane et l'écart absolu médian survivent jusqu'à ce que la moitié des données soit fausse, le maximum qu'une statistique puisse atteindre — au-delà de la moitié, plus rien ne distingue les valeurs corrompues des bonnes. Cet écart de zéro à un demi est toute la différence pratique, et c'est pourquoi journaux d'instruments, flux de capteurs et tout ce qui possède un mode de panne plausible se résument par des statistiques de rang plutôt que par des moyennes.

Deux statistiques différentes partagent les mêmes initiales

Écart absolu médian et écart absolu moyen s'abrègent tous deux en MAD dans l'usage courant, et ce ne sont pas la même grandeur : le premier prend la médiane des distances à la médiane, le second la moyenne des distances à la moyenne. Seul le premier est robuste — le second a toujours un point de rupture nul, la moyenne y figurant deux fois. Un chiffre étiqueté MAD sans autre précision est donc ambigu, et l'écart entre les deux lectures peut valoir un facteur vingt précisément sur le type de données où quelqu'un s'est tourné vers une statistique robuste. Écris laquelle tu emploies.

Questions fréquentes

D'où vient le 1,4826 ?

De la volonté de faire coïncider les deux statistiques sur des données sages. Pour une loi normale, l'écart absolu médian vaut environ 0,6745 écart-type : diviser par cette valeur — ce qui revient à multiplier par 1,4826 — transforme un MAD en une estimation d'écart-type qui coïncide quand rien n'a mal tourné. Le facteur est propre à la loi normale et à aucune autre, ce qu'il vaut mieux se rappeler avant de citer un MAD mis à l'échelle pour des données visiblement dissymétriques. Sans mise à l'échelle, l'écart absolu médian reste une parfaite mesure de dispersion ; le facteur n'existe que pour rendre le nombre comparable aux écarts-types cités ailleurs.

Faut-il toujours préférer la version robuste ?

Non, et le prix de la robustesse est l'efficacité. Sur des données propres et sages, l'écart-type extrait plus d'information du même nombre d'observations que le MAD — il utilise la grandeur réelle de chaque valeur et non son rang, avantage bien réel quand aucune valeur n'est fausse. Le choix porte donc sur ce qu'on anticipe : statistiques robustes pour des mesures qui peuvent échouer, classiques pour des données de confiance. Calculer les deux est souvent l'option la plus instructive, car un grand écart entre elles est lui-même le résultat : il dit que quelque chose dans les données ne se comporte pas comme le reste.