Alavancagem, liquidação e a assimetria das perdas

Derivar o preço de liquidação

Tome uma posição longa isolada. Deposita capitais próprios E e a plataforma deixa-o controlar um nocional N = L × E, onde L é a alavancagem. Se o preço cair uma fração d, a posição perde N × d, pelo que os seus capitais próprios restantes são E − N·d. A plataforma fecha-o quando esses capitais próprios restantes caem até à exigência de manutenção, que é uma taxa m aplicada ao valor atual da posição, N × (1 − d).

Iguale: E − N·d = m·N·(1 − d). Substitua E = N ÷ L e divida por N: toda a referência ao tamanho da posição desaparece: 1 ÷ L − d = m − m·d. Agrupe os termos em d e obtém d = (1 ÷ L − m) ÷ (1 − m). O preço de liquidação de uma posição longa aberta a P é portanto P × (1 − d), e para uma curta o mesmo raciocínio com o sinal invertido dá d = (1 ÷ L + m) ÷ (1 + m). Repare no que não aparece na fórmula: o tamanho da sua conta, o ativo, a direção do mercado. Apenas a alavancagem e a taxa de manutenção.

O atalho habitual é dizer que uma posição a L× morre com um movimento de 1 ÷ L — 5 % a 20×, 10 % a 10×. Essa é a resposta quando m é zero, e é sempre demasiado generosa. Com uma taxa de manutenção de 0,5 %, uma entrada a 100 liquida uma posição longa 5× a 80,402 e não a 80, uma 10× a 90,452 e não a 90, uma 20× a 95,477 e não a 95, e uma 100× a 99,497 e não a 99. Do lado curto, onde a posição cresce à medida que se move contra si, as distâncias são maiores: 5,473 % a 20× em vez de 4,523. Cada um destes números supõe uma execução limpa, sem comissões e sem salto de cotação através do nível de liquidação, e esses três pressupostos falham precisamente nas condições que produzem liquidações.

A 20×, o movimento fatal cabe num dia normal

Ponhamos números nas alavancagens que as pessoas realmente usam. Com uma taxa de manutenção de 0,5 %, uma posição longa 2× sobrevive a uma queda de 49,75 %, uma 5× a 19,60 %, uma 10× a 9,55 %, uma 20× a 4,52 %, uma 50× a 1,51 % e uma 100× a 0,50 %. As plataformas não mantêm essa taxa constante entre escalões de alavancagem, e uma alavancagem maior costuma trazer uma taxa maior: a 2,5 % o número de 20× cai para 2,56 %, e a 5 % uma posição 20× simplesmente não é oferecível, porque a exigência de manutenção já igualaria todo o depósito. É por isso que a tabela acima marca as células de alta alavancagem à taxa de 2,5 % como impossíveis e não como números pequenos — uma plataforma tem de baixar m à medida que sobe o L máximo, e a tabela concreta difere por plataforma e instrumento e tem de ser lida lá.

Se 2,56 % ou 4,52 % é muito depende do ativo, e para um volátil não é. Recorde a aritmética do artigo companheiro sobre volatilidade: um ativo com 60 % de volatilidade anualizada tem um desvio-padrão diário de 3,141 %. É um dia de um desvio-padrão. Num ativo desses, a distância de liquidação de 2,56 % a 20× é menor do que o movimento típico de um único dia vulgar, e a distância de 4,52 % vale cerca de uma vez e meia — uma magnitude que ocorre com regularidade, sem notícia nenhuma, várias vezes por mês. Eis a frase a guardar: com alavancagem alta, o mercado não precisa de lhe dar razão em contrário para lhe fechar a posição, basta-lhe ser ruidoso.

A assimetria da recuperação, que vale também sem alavancagem

Perca uma fração L do seu capital e resta-lhe (1 − L). Para voltar ao ponto de partida, esse resto tem de ser multiplicado por 1 ÷ (1 − L), logo o ganho exigido é g = 1 ÷ (1 − L) − 1. A função é convexa e acelera com força. Perder 5 % exige 5,26 % de volta. Perder 10 % exige 11,11. Perder 20 % exige 25,00. Perder 25 % exige 33,33, perder um terço exige 50,00, perder metade exige 100,00. Perder 60 % exige 150 %; 75 % exige 300; 90 % exige 900; 95 % exige 1 900; 99 % exige 9 900 %, um fator cem, para ficar onde já estava.

Isto nada tem que ver com alavancagem nem com um mercado concreto. É uma propriedade das percentagens, e é por isso que uma carteira que alterna ganhos e perdas de igual tamanho percentual deriva para baixo — o mesmo facto a que o artigo companheiro sobre volatilidade chama travão de volatilidade. A assimetria explica também por que evitar as perdas grandes importa mais do que captar os ganhos grandes: uma única perda de 50 % anula uma duplicação, qualquer que seja a ordem de chegada.

A alavancagem multiplica tanto a perda como a exigência de recuperação

Combine os dois. Uma posição a k× transforma um movimento de mercado x num movimento de capitais próprios kx. Um movimento adverso de 2 % custa 4 % dos capitais próprios a 2×, 10 % a 5×, 20 % a 10×, 40 % a 20× e 50 % a 25×. Meta cada um desses números na fórmula de recuperação e o ganho exigido é de 4,17; 11,11; 25,00; 66,67 e 100,00 % respetivamente. Traduza agora de volta para movimento de mercado, para uma posição reajustada para manter a mesma alavancagem sobre capitais próprios menores: o mercado tem de mover-se 2,08 % a 2×, 2,22 a 5×, 2,50 a 10× e 3,33 a 20× para desfazer um movimento de 2 %. A 20×, o mercado tem de subir 1,67 vezes mais do que desceu.

Uma distinção importa aqui e é muitas vezes esbatida. Se abrir uma posição de nocional fixo e nunca lhe tocar, um preço que cai e depois volta exatamente à sua entrada deixa-o em equilíbrio: a assimetria está na percentagem de capitais próprios, não no preço. A distância extra aparece quando a alavancagem é mantida — quando é reajustado, quando reforça para manter o mesmo múltiplo, ou quando detém um produto que se reequilibra a alavancagem constante todos os dias. No caso mantido, a posição encolhe com os capitais próprios, pelo que a mesma recuperação de mercado recompra menos do que custou. Os produtos de alavancagem constante são o exemplo quotidiano disto, e é a razão pela qual os reguladores lhes exigem avisar que não são feitos para se deter por períodos longos.

Apostas alavancadas repetidas perdem mesmo com uma vantagem positiva

Este é o resultado que surpreende as pessoas, e é o mesmo argumento de média geométrica que o artigo companheiro sobre volatilidade desenvolve. Construa um mercado genuinamente favorável: em cada período move-se +2 % com probabilidade 0,52 e −2 % com probabilidade 0,48. O movimento esperado é 0,52 × 2 − 0,48 × 2 = +0,08 % por período. Isso é uma vantagem real, do tipo que quase ninguém tem, e é positiva em todas as alavancagens: mantenha a posição a k× e a rendibilidade aritmética esperada por período é de 0,08k %, que cresce sem limite quando k sobe.

A taxa de crescimento composto é outra grandeza. Como os resultados se multiplicam, o que conta é a esperança do logaritmo: g(k) = 0,52·ln(1 + 0,02k) + 0,48·ln(1 − 0,02k). A 1× isso é +0,0600 % por período. A 2× é +0,0800 %, o máximo, que cai exatamente sobre a fração de Kelly (p − q) ÷ b = 0,04 ÷ 0,02 = 2. A 3× volta a descer para +0,0600. Cruza zero em k = 3,9957 — essencialmente 4× — e fica negativa a partir daí: −0,1012 % por período a 5×, −1,2302 a 10×, −7,0231 a 20× e −12,1869 a 25×. Acima de 50×, um único período adverso é a ruína total, já que 0,02 × 50 = 1.

Em 250 períodos as probabilidades binomiais exatas tornam o quadro concreto. Sem alavancagem, este mercado favorável deixa-o abaixo do capital inicial 32,87 % das vezes. A 2× sobe ligeiramente para 37,56 %, ainda com o melhor resultado composto. A 5× é 57,50 %, e 9,19 % das trajetórias perdem 90 % ou mais. A 10× acaba abaixo de onde começou 82,88 % das vezes e perde 90 % ou mais em 57,50 % das trajetórias. A 20× os números são 99,54 e 99,06 %. A rendibilidade esperada manteve-se positiva o tempo todo. O que aumentar a alavancagem fez foi converter um jogo favorável num desfavorável, sem mudar o jogo.

Financiamento, comissões e a conclusão honesta

Tudo o que antecede supunha que manter a posição é grátis. Não é. Os futuros perpétuos cobram um pagamento de financiamento periódico entre longos e curtos, e esse mecanismo — como a taxa é fixada, que lado paga e porque existe — é derivado no artigo companheiro sobre taxas de financiamento em vez de repetido aqui. O que importa para este artigo é como a alavancagem o escala: o financiamento é cobrado sobre o nocional, e o seu nocional é k vezes os seus capitais próprios, pelo que o custo em percentagem do seu próprio capital é k vezes a taxa anunciada. A uma taxa declarada de 0,01 % por oito horas, que são 0,03 % por dia sobre o nocional, uma posição 1× paga 0,03 % dos capitais próprios por dia e uma 20× paga 0,60 % — 16,52 % em trinta dias. Essa taxa é uma ilustração e não uma cotação; o financiamento real varia continuamente, pode ser negativo, e tem de ser lido na plataforma.

Acrescente as comissões de negociação, também cobradas sobre o nocional e portanto também multiplicadas por k, e acrescente o deslizamento na entrada e na saída, e o travão torna-se um terceiro mecanismo a jogar no mesmo sentido que os dois anteriores. Nada disso muda a forma da conclusão, e tudo a reforça.

A conclusão não é animadora e não há forma honesta de a tornar tal. Os reguladores europeus exigem às empresas que oferecem produtos alavancados a particulares que publiquem a proporção de contas de retalho que perdem dinheiro, e a análise que fundamentou essas medidas de intervenção reportou números da ordem de três quartos a quase nove décimos consoante o fornecedor. Não é uma afirmação sobre qualquer empresa ou instrumento em particular, e a divulgação em vigor para o produto que está a ver está na página desse fornecedor — mas a direção é coerente com tudo o que foi deduzido acima. Este artigo existe para tornar a aritmética legível, não para sugerir que compreendê-la converta uma estrutura perdedora numa vencedora. Nada disto é aconselhamento, e o mais seguro que estas fórmulas lhe podem dizer é o quanto teria de acertar.

Perguntas frequentes

O preço de liquidação é simplesmente a minha entrada menos 1 ÷ alavancagem?

Não, e o atalho é sempre otimista. A distância correta é (1 ÷ L − m) ÷ (1 − m), onde m é a taxa de margem de manutenção, e o atalho é o caso particular m = 0. Com uma taxa de manutenção de 0,5 % os números verdadeiros são 19,60 % a 5× em vez de 20, 9,55 a 10× em vez de 10, e 4,52 a 20× em vez de 5. Com uma taxa de 2,5 % a distância a 20× é de apenas 2,56 %. As comissões descontadas na entrada e qualquer financiamento já cobrado reduzem os seus capitais próprios antes de o preço se mexer, o que aproxima ainda mais o nível, e em mercados rápidos a execução pode ser pior do que o nível de disparo. Trate qualquer preço de liquidação publicado como o melhor caso e não como a fronteira.

Porque é que a distância de liquidação é diferente numa posição curta?

Porque uma posição curta cresce quando se move contra si. Quando o preço sobe, o nocional que deve sobe com ele, pelo que a exigência de manutenção — uma percentagem do nocional atual — sobe também, enquanto os seus capitais próprios descem. A mesma álgebra com os sinais invertidos dá d = (1 ÷ L + m) ÷ (1 + m) em vez de (1 ÷ L − m) ÷ (1 − m). A 20× com uma taxa de manutenção de 0,5 %, uma longa sobrevive a 4,523 % contra si e uma curta a 5,473 %, pelo que a curta tem um pouco mais de margem em termos percentuais. Isso não é uma vantagem: o pior caso da longa é limitado, pois o preço não pode descer abaixo de zero, ao passo que a perda da curta não tem teto, que é a assimetria mais importante entre os dois lados.

Se a minha rendibilidade esperada é positiva, porque é que mais alavancagem piora as coisas?

Porque a rendibilidade esperada e a taxa a que o dinheiro capitaliza realmente são duas grandezas diferentes, e só a segunda determina com que fica. A alavancagem multiplica a rendibilidade esperada por k e a variância por k ao quadrado, e a taxa de crescimento composto é aproximadamente a rendibilidade esperada menos metade da variância — logo o castigo cresce mais depressa do que a recompensa. No exemplo trabalhado, um mercado com uma vantagem real de +0,08 % por período capitaliza a +0,0600 % sem alavancagem, atinge o máximo em +0,0800 a 2×, cruza zero perto de 4× e cai para −1,2302 % por período a 10×. Em 250 períodos essa posição 10× acaba abaixo do capital inicial 82,88 % das vezes e perde 90 % ou mais em 57,50 % das trajetórias, tudo isto enquanto a rendibilidade esperada se mantém positiva. É o mesmo mecanismo de travão de volatilidade do artigo companheiro, aplicado a uma posição cuja volatilidade escolheu.

Uma ordem de stop protege-me da liquidação?

Pode aproximar a saída para aquém do nível de liquidação, o que vale alguma coisa, mas não elimina a aritmética. Um stop é uma instrução de fechar a mercado assim que um gatilho é tocado, pelo que o preço que realmente recebe depende do que estiver disponível nesse instante; num movimento rápido pode ser bastante pior do que o gatilho, e se o mercado saltar por cima de ambos os níveis o stop e a liquidação acontecem praticamente no mesmo sítio. O problema mais profundo é que com alavancagem alta o stop quase não tem para onde ir: a 20× a liquidação está a 2,56 ou 4,52 % consoante a taxa de manutenção, pelo que qualquer stop tem de caber dentro disso, o que num ativo volátil está bem dentro do movimento vulgar de um dia. Onde colocar um stop face à volatilidade própria de um ativo é trabalhado no artigo companheiro sobre colocação de stops.

Existe um nível de alavancagem matematicamente seguro?

Nenhum nível é seguro, e a aritmética só identifica quais são autodestrutivos. No exemplo trabalhado a taxa de crescimento composto é máxima a 2×, o que coincide com a fração de Kelly (p − q) ÷ b = 2, e fica negativa acima de cerca de 4×. Mas esse número depende inteiramente de conhecer p e b — a probabilidade e o tamanho verdadeiros da sua vantagem — e ninguém os conhece; são estimados a partir de uma amostra, e uma vantagem sobrestimada produz uma posição sobre-alavancada com rendibilidade composta negativa que ainda assim parece positiva no papel. Os profissionais que usam este quadro aplicam aliás rotineiramente uma fração dele. O resumo honesto é que a aritmética lhe pode indicar um nível acima do qual perde de certeza ao longo do tempo, e não lhe pode indicar um nível em que esteja seguro. Nada neste artigo é uma recomendação para usar qualquer alavancagem.