O denominador do rácio de Sortino sobre o qual ninguém concorda

Sortino muda duas coisas no Sharpe, não uma

O resumo habitual diz que Sortino substitui a volatilidade total pela volatilidade de queda. É verdade e incompleto: também substitui, no numerador, a taxa sem risco por um retorno mínimo aceitável, isto é, um alvo que é escolhido e não uma taxa que o mercado cota. Essas duas mudanças são independentes, e confundi-las é exatamente como se acaba a comparar um Sortino calculado contra um alvo zero com outro calculado contra um índice de referência, tomando a diferença por informação sobre os fundos. Se quer que a comparação signifique alguma coisa, fixe primeiro o alvo e declare-o, e deixe depois o denominador trabalhar.

Quando o denominador trabalha, pode inverter uma ordenação, e essa inversão é a razão de ser do rácio. Oponha o nosso regular fundo A a um fundo B cujos doze meses valem 0,5, 8,0, 0,4, 0,6, 7,5, 0,5, −0,4, 9,0, 0,5, 0,4, −0,2 e 0,6 % — plano no essencial, com três meses explosivos. O fundo B mostra um desvio-padrão anualizado de 12,3881 % contra 4,3338 do fundo A, pelo que o Sharpe põe A em primeiro, 2,5843 contra 1,8728. Mas quase toda a variabilidade de B é de subida: só dois meses caem abaixo do alvo e a soma dos seus défices ao quadrado vale 0,8650 contra 2,0875 de A, pelo que o desvio de queda anualizado de B é 0,9301 % contra 1,4448 de A. O Sortino põe B em primeiro, 24,9448 contra 7,7518. Nenhuma das duas medidas está avariada. O Sharpe responde a uma pergunta sobre quanto oscila o retorno; o Sortino responde a uma pergunta sobre com que frequência e com que gravidade desilude. São perguntas diferentes, e um gestor que nunca perde dinheiro mas ganha muito com frequência será castigado pela primeira e premiado pela segunda.

Dois denominadores, um fator, e uma ordenação que se inverte por causa dele

A relação entre as duas convenções é mecânica. Ambas partem da mesma soma de défices ao quadrado; uma divide pelo número total de períodos, a outra pelo número de períodos abaixo do alvo; portanto o segundo denominador é o primeiro multiplicado pela raiz quadrada do total sobre os deficitários, e o segundo rácio é o primeiro dividido por esse mesmo fator. No fundo A, com três meses em doze abaixo do alvo, o fator vale exatamente dois. No fundo B, com dois em doze, vale 2,4495. Repare no que isso implica: a segunda convenção penaliza tanto mais um fundo quanto menos períodos maus ele teve, porque um divisor menor infla o risco de queda medido. Um fundo com um único mês mau em doze é penalizado pela raiz de doze, ou seja 3,4641, unicamente pela raridade desse mês mau.

Essa propriedade não é uma curiosidade: pode inverter uma ordenação sozinha. Compare um fundo C com retornos de 2,0, −0,2, 2,1, −0,3, 2,2, −0,1, 2,0, −0,2, 2,3, −0,3, 2,1 e −0,1 % — seis meses em doze mesmo abaixo do alvo, nenhum grave — com um fundo D de 1,6, 1,7, 1,5, 1,8, −0,9, 1,7, 1,6, 1,8, 1,5, 1,7, −0,8 e 1,7 %, que só falha duas vezes mas falha por mais. Dividindo pelos doze meses ganha o fundo D, 6,2996 contra 5,3598. Dividindo só pelos meses abaixo do alvo ganha o fundo C, 3,7900 contra 2,5718. Os mesmos dados, o mesmo alvo, conclusões opostas, e toda a inversão vem de C ser penalizado pela raiz de dois enquanto D o é pela raiz de seis. Se compara dois rácios de Sortino, têm de ter sido calculados da mesma maneira, e se a fonte não diz qual, o número não é comparável a nada.

Mova o alvo e o mesmo fundo obtém 17,90 ou −1,83

O retorno mínimo aceitável trabalha pelo menos tanto como a convenção do denominador e, ao contrário dela, é suposto ser uma decisão. Mantenha fixos os doze retornos do fundo A e suba o alvo. Contra um alvo zero o rácio de Sortino vale 17,9021. Contra 3 % ao ano, 9,7199. Contra 4,20 %, o nosso caso de referência, 7,7518. Contra 6 % ao ano, 5,5199; contra 12 %, 1,2944; e contra 18 %, torna-se negativo em −0,7195. Uma só série, uma só convenção de denominador, e um número que vai de dezoito a abaixo de zero. Duas coisas se movem quando o alvo sobe: o numerador encolhe diretamente, e o denominador cresce porque mais períodos caem abaixo da linha e os défices existentes se aprofundam.

Este é um argumento para escolher o alvo de propósito em vez de aceitar um valor por defeito. Um alvo zero pergunta se o fundo alguma vez perdeu dinheiro, e é a escolha certa para a preservação de capital. Um alvo igual à taxa sem risco reproduz a pergunta do Sharpe e torna os dois rácios comparáveis na intenção. Um alvo igual à inflação pergunta se o poder de compra foi preservado. Um alvo igual ao que os seus compromissos exigem — uma pensão a pagar, uma taxa de levantamento, um limiar de comissão num contrato de gestão — é a versão da pergunta com consequências reais, e é aquela para a qual o enquadramento de Sortino foi construído. Declare o alvo sempre que citar o número, na mesma frase, porque um rácio de Sortino sem o seu alvo não é uma grandeza mal especificada: é uma grandeza por especificar.

Onde o rácio degenera, e o que fazer então

Os modos de falha são todos falhas do denominador, e vale a pena reconhecê-los porque se parecem com um desempenho excecional. Se nenhum período caiu abaixo do alvo, a soma dos défices ao quadrado vale zero, o desvio de queda vale zero, e o rácio é infinito. Isso não é um fundo com retorno ajustado ao risco ilimitado; é uma amostra que não contém informação sobre risco de queda, e o relato honesto é o número de períodos e o facto de nenhum ter falhado, não um número. Se exatamente um período caiu abaixo, o rácio é finito mas assenta inteiramente nessa observação: o nosso exemplo de onze meses à volta de 1,2 % e um mês a −9,0 % dá um desvio de queda anualizado de 9,3500 % com a convenção de todos os períodos e de 32,3894 % com a outra, um fator de 3,4641 sobre um único dado. As amostras pequenas fazem isto a qualquer medida de risco, mas as medidas de queda sofrem mais porque descartam a maior parte da amostra por construção.

Dois hábitos resolvem quase tudo. Primeiro, publique o número de períodos abaixo do alvo ao lado do rácio; é um número a mais e diz de imediato ao leitor se o denominador assenta em três observações ou em trinta, e permite-lhe ainda converter sozinho entre as duas convenções multiplicando ou dividindo pela raiz do total sobre esse número. Segundo, trate a anualização como a hipótese que é. Multiplicar um desvio mensal pela raiz de doze pressupõe períodos independentes e identicamente distribuídos, isto é, exatamente o pressuposto que falha para as estratégias que mais se medem com Sortino: tudo o que tenha retornos autocorrelacionados, avaliações ilíquidas ou um perfil de venda de volatilidade verá o seu risco subavaliado por esse escalonamento. O rácio é uma ferramenta de comparação entre séries medidas da mesma forma sobre a mesma janela, não uma constante física, e deve ser citado com o seu alvo, a sua convenção, a sua frequência e o comprimento da sua amostra.

Perguntas frequentes

Que convenção usa esta calculadora, e como passo à outra?

Divide a soma dos défices ao quadrado pelo número de períodos da série, e não pelo número de períodos abaixo do alvo, pelo que o desvio de queda que mostra é a raiz de um momento parcial inferior de ordem dois em torno do seu alvo. A conversão é uma multiplicação. Para obter a versão restrita aos períodos deficitários, multiplique o desvio de queda mostrado pela raiz quadrada do número total de períodos dividido pelo número que caiu abaixo do alvo — equivalentemente, divida o rácio de Sortino mostrado por essa mesma raiz. Com três défices em doze períodos o fator vale dois; com dois em doze, 2,4495; com um em doze, 3,4641. A calculadora não mostra diretamente a contagem de períodos abaixo do alvo, mas lê-se sem dificuldade na sua série, e é precisamente o número a registar ao lado do rácio.

Um rácio de Sortino alto é melhor prova do que um Sharpe alto?

É melhor prova sobre uma pergunta mais estreita, e pior prova de robustez. O Sortino é o instrumento certo quando a distribuição de retornos é realmente assimétrica e não quer que lhe apresentem um ganho grande como um risco — o argumento é real, e o nosso fundo B demonstra-o. Mas é estimado com menos observações do que o Sharpe, porque deita fora todos os períodos acima do alvo: o seu erro de amostragem é mais largo sobre os mesmos dados, e deixa-se lisonjear mais facilmente numa janela curta. Também se manipula mais facilmente: toda a estratégia que vende seguro — venda de opções, carry, risco de crédito, avaliações ilíquidas — produz uma longa série de ganhos pequenos e perdas grandes e raras, que é exatamente a forma que pontua bem no Sortino até chegar a perda rara. O uso honesto consiste em lê-los juntos, com a contagem de períodos abaixo do alvo e o pior período isolado, e em desconfiar em vez de se entusiasmar quando divergem no sentido que favorece o gestor.

Onde encaixa o rácio de Treynor ao lado destes dois?

Responde à mesma forma de pergunta com um terceiro denominador, e a escolha entre os três é na verdade uma escolha sobre o que considera ser o risco. O Sharpe divide o retorno em excesso pela volatilidade total: trata toda a oscilação como risco. O Sortino divide-o pelo desvio de queda em torno de um alvo: só trata a deceção como risco. O Treynor divide-o pelo beta: só trata a exposição ao mercado como risco e assume implicitamente que o resto foi diversificado. Esse pressuposto é o sinal: o Treynor é a medida certa para um componente dentro de uma carteira já diversificada, onde o risco específico se compensa mesmo com as outras posições, e a medida errada para uma posição isolada ou um fundo concentrado, onde o risco que o Treynor descarta é precisamente o que está a suportar. Daí uma consequência prática para quem ordena gestores: um fundo que pontua bem no Treynor e mal no Sortino está a dizer-lhe que os seus problemas não vêm do mercado, e esse é precisamente o caso em que o número de Treynor menos informa sobre o que irá viver.

De quantos períodos preciso antes de o número significar alguma coisa?

Faça a pergunta sobre o denominador e não sobre a amostra, porque é aí que a estimativa é fina. O que importa não é quantos períodos tem, mas quantos caíram abaixo do alvo, já que são os únicos que carregam informação sobre risco de queda. Doze observações mensais com três défices dão-lhe um denominador estimado a partir de três números, e um único mês diferente deslocá-lo-ia muito. Trinta e seis observações mensais com dez défices são outra coisa. Nenhum limiar transforma uma má estimativa numa boa, mas uma disciplina ajuda: calcule o rácio sobre várias janelas sobrepostas e olhe para a dispersão em vez da estimativa pontual, e baixe o alvo a zero como verificação cruzada, porque um fundo cujo rácio se afunda quando o alvo se mexe um pouco nunca esteve a ser medido: estava a ser lisonjeado pela posição da linha.